Число слоёв чехла растёт, а потеря температуры уменьшается. Можно ли выразить это прямой и сразу предсказать результат для десяти слоёв? Сегодня оценим простую модель и обозначим границы её применения.
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте распечатку ученической части PDF либо экран, бумагу, ручки и простой калькулятор. Все документы, карточки, реплики и числовые серии даны в уроке. Реальные опыты, интервью и регистрация детей не нужны. Предпосылки: различать наблюдение и вывод, читать таблицу, находить среднее и процент. При необходимости напомните: среднее — сумма значений, делённая на их число.
7 класс: вычисляйте по шагам и используйте предложенную форму записи; для дробей разрешён калькулятор. 8 класс: дополнительно объясняйте ограничение метода и проверяйте альтернативный вывод на контрпримере. В уроках 38–47 продолжается учебный проект бумажного чехла: обрабатываем числовые серии и оцениваем доказательность выводов. Все исходные данные приведены. Интервалы включают чтение и запись; ответы открываются после самостоятельной попытки. Матрица программы относится к подготовке учителя, не к дополнительным минутам урока.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Карточка или таблица |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Ответ по четырём критериям |
01. Проблемная ситуация
Учебные данные: 0 слоёв — потеря 12 °C, 1 — 10, 2 — 8, 3 — 6. Ученик продолжает ряд до 10 слоёв и получает −8 °C потери. За 5 минут объясните, что здесь вычисление по правилу, а что неподтверждённый вывод о реальном опыте. Предложите область, где модель уже проверена.
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на разобранный пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Коэффициенты прямой и остатки
Линейная модель имеет вид y = ax + b. Коэффициент a показывает изменение y при увеличении x на единицу, b — модельное значение y при x = 0. В нашем случае x — число слоёв, y — потеря температуры за 10 минут; единица a — °C на слой, b — °C.
По двум точкам с разными x: a = (y2 − y1)/(x2 − x1), b = y1 − ax1. Такая прямая точно проходит через две выбранные точки, но не обязана описывать остальные. Остаток r = yнабл − yмод показывает отклонение наблюдения от модели.
Проведение прямой через две точки не является автоматически методом наименьших квадратов по всей серии. Сегодня оцениваем модель по двум опорным точкам и проверяем на остальных. Для шумных данных выбор другой пары может изменить коэффициенты; позже можно минимизировать сумму квадратов остатков. Проверенная область и условия обязательны для любого прогноза.
Берём (0;12) и (3;6): a = (6−12)/(3−0) = −2 °C/слой, b = 12 °C. Модель y = 12 − 2x. Для x = 1 и 2 прогнозы 10 и 8 °C совпадают с учебными данными, остатки нулевые. При x = 10 формула даёт −8 °C, но точек вне 0–3 слоёв нет. Удачное совпадение в диапазоне не разрешает безграничное продолжение.
03. Практика 1. Проверяем материал
Модель потерь температуры по опорным точкам
Учебная серия Л-45: одинаковые стаканы, 100 мл, 10 минут, начальная температура 50 °C; меняется число слоёв.
| Слоёв x | Наблюдаемая потеря y, °C |
|---|---|
| 0 | 13 |
| 1 | 11,5 |
| 2 | 9 |
| 3 | 7 |
11 минут: 2 — выбрать крайние опорные точки; 3 — найти a и b; 3 — вычислить прогнозы для x = 1/2 и остатки; 3 — составить таблицу «x → наблюдение → модель → остаток» и вывод. Критерии: коэффициенты с единицами, два остатка, сохранение исходных данных, ограниченная область применения.
Практика 1: разбор и критерии
По (0;13) и (3;7): a = −2 °C/слой, b = 13 °C, yмод = 13−2x. Для x = 1 прогноз 11, остаток +0,5 °C; для x = 2 прогноз 9, остаток 0. Для крайних точек остатки 0. Одна точка выше прямой; совпадение не полное. 4 балла по критериям. Модель по крайним точкам здесь не названа оптимальной регрессией.
04. Практика 2. Перенос способа
Линейная модель координаты тележки
Перенос на движение модели тележки. Учебные пары: время 0; 2; 4 с, координата 1; 5; 9 м. За 8 минут найдите a, b, оцените координату в 3 с и отделите её от прогноза в 10 с. Объясните смысл ненулевого b: начало отсчёта координаты не обязательно равно месту старта. Дайте ответ формулой, единицами и двумя статусами оценок.
Практика 2: разбор и критерии
a = (9−1)/4 = 2 м/с, b = 1 м, s = 2t+1. При 3 с получаем 7 м — интерполяция в диапазоне 0–4 с. При 10 с 21 м — экстраполяция с допущением продолжения движения; данных для её подтверждения нет. 4 критерия: коэффициенты, единицы, 7/21, верные статусы. Здесь s обозначает координату вдоль выбранной оси, не путь от нулевого момента.
05. Обсуждение и границы вывода
Позиция А: «одна точка не на прямой — модель бесполезна». Позиция Б: «приближение полезно, если известны отклонения и область». За 2 минуты выберите аргумент по Л-45, за 3 обсудите допустимую точность для цели, за 2 запишите проверку перед применением модели к новому образцу.
Обсуждение: возможный вывод
Остаток +0,5 °C не делает модель автоматически бесполезной и не доказывает её достаточность. Нужен заранее заданный критерий точности и новые проверочные точки. Нельзя удалить неудобное наблюдение или назвать прямую физическим законом без оснований.
06. Индивидуальная проверка
Учебная прямая проходит через (0;4) и (2;10); x — минуты, y — миллиметры. Найдите a, b, прогноз для x = 1 и остаток, если наблюдалось 7,5 мм. 3 минуты расчёт, 1 ключ, 1 исправление.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
a = 3 мм/мин, b = 4 мм, y = 3x+4; y(1) = 7 мм; r = 7,5−7 = +0,5 мм. По одному баллу за коэффициенты, единицы, прогноз, остаток. При 0–1 повторить разность y/разность x; при 2–3 уточнить знак/единицы; при 4 назвать проверенную область.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Тема 4: уравнение регрессии, коэффициент | Оценивает прямую по двум точкам | Указывает способ оценки и единицы |
| Аппроксимация экспериментальных данных | Считает остатки | Не выдаёт приближение за точное совпадение |
| Представление результатов | Ограничивает прогноз | Различает интерполяцию и экстраполяцию |
Источники и права на изображения
- Исходная программа курса
- NIST/SEMATECH: линейная регрессия; в уроке используется упрощённая оценка по опорным точкам
Учебные протоколы, условные авторы, реплики и числовые серии созданы для обучения. Они не выдаются за реально проведённые опыты. Реальные справочные материалы NIST и JCGM/BIPM явно названы; их сведения не смешиваются с условными карточками. Иллюстрация создана для этого урока портала «Школы России», сторонние фотографии не используются. Внешние источники поддерживают понятия, но не являются источником учебных чисел. Проверка источников: 16.10.2026.