Четыре значения около 7, одно — 32. Среднее стало 12, но ни один обычный результат не похож на 12. Сравним два способа описать центр и сохраним неудобное наблюдение до проверки.
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте распечатку ученической части PDF либо экран, бумагу, ручки и простой калькулятор. Все документы, карточки, реплики и числовые серии даны в уроке. Реальные опыты, интервью и регистрация детей не нужны. Предпосылки: различать наблюдение и вывод, читать таблицу, находить среднее и процент. При необходимости напомните: среднее — сумма значений, делённая на их число.
7 класс: работайте по предложенным полям ответа, сначала объясняйте один выбор. 8 класс: дополнительно проверяйте альтернативу, независимость источников и границы числового вывода. В уроках 28–32 продолжается учебный проект бумажного чехла; в 33–37 его серии используются для обработки данных. Все исходные данные приведены. Интервалы включают чтение и запись; ответы открываются после самостоятельной попытки. Матрица программы относится к подготовке учителя, не к дополнительным минутам урока.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Карточка или таблица |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Ответ по четырём критериям |
01. Проблемная ситуация
0–5 минут. Учебные времена выполнения простого задания: 6, 7, 7, 8, 32 с. За минуту найдите сумму и среднее. В паре обсудите, похоже ли 12 с на большинство наблюдений. Выберите середину упорядоченной серии и сформулируйте, какой новый показатель нужен.
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на разобранный пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Как найти среднее арифметическое
Среднее арифметическое — сумма количественных значений, делённая на их число: xср = (x1 + … + xn) / n. Оно учитывает величину каждого наблюдения. Поэтому изменение одного крайнего числа может заметно изменить среднее всей серии. Единица среднего та же, что у исходной величины.
Как найти медиану при чётном и нечётном числе значений
Медиану находят после упорядочивания значений. При нечётном n берут центральное значение. При чётном n берут среднее двух центральных значений. Нельзя просто выбрать средний элемент неотсортированного списка или среднее минимума и максимума. Для количественной серии с n = 4 середина — между позициями 2 и 3.
Чем медиана отличается от среднего
Медиана менее чувствительна к величине отдельного крайнего наблюдения, но не описывает всю серию. Выбор показателя зависит от вопроса: среднее полезно для общей суммы на одно испытание, медиана — для описания центрального значения по порядку. Необычное число не становится ошибкой из-за отличия от медианы. Показывайте полные данные, n и основание выбора.
Разбор: 6, 7, 7, 8, 32 с. Сумма 60 с, n = 5, среднее 12 с. Третье число упорядоченного ряда — 7 с, это медиана. Сценарий без последнего значения: 6, 7, 7, 8 с; сумма 28, среднее 7 с, медиана (7 + 7) / 2 = 7 с. Разница показывает чувствительность среднего, но не разрешает удалить 32. Для такого решения нужно проверить первичную запись и условия.
03. Практика 1. Проверяем материал
Две учебные серии времени одной задачи в секундах. Б отличается от А одним наблюдением; причина изменения не дана. Рассматривайте Б как отдельный учебный сценарий, а не как исправление А.
| Серия | Данные и задача |
|---|---|
| А | 6; 7; 7; 8; 32 с. Найдите n, сумму, среднее, медиану. |
| Б | 6; 7; 7; 8; 52 с. Найдите те же показатели. |
| Сравнение | Как изменились среднее и медиана после замены 32 на 52? |
| Правило отчёта | Укажите оба показателя, полную серию и то, что причина крайнего наблюдения неизвестна. |
14–25 минут. 2 минуты — упорядочьте серии и отметьте центральные позиции. 4 — рассчитайте показатели с единицами. 3 — объясните изменение по разности сумм и числу наблюдений. 2 — взаимно проверьте отчёт. Критерии: правильные средние, медианы, объяснение изменения на 4 с, отсутствие самовольного удаления — по баллу.
Практика 1: разбор и критерии
А: n = 5, сумма 60 с, среднее 12 с, медиана 7 с. Б: n = 5, сумма 80 с, среднее 16 с, медиана 7 с. Одно значение увеличено на 20 с, поэтому среднее увеличилось на 20/5 = 4 с. Центральная третья позиция осталась 7. Запись «32 — ошибка» без подтверждения недопустима; оно может отражать другую процедуру или действительный долгий случай. Максимум 4 балла по четырём критериям.
04. Практика 2. Перенос способа
25–33 минуты. Новая серия масс бумажных образцов дана не по порядку: 10, 3, 4, 7 г. За 2 минуты упорядочьте её. За 3 найдите среднее и медиану. За 1 проверьте неверный ответ ученика: «медиана = (10 + 7) / 2 = 8,5 г, потому что это края списка». За 2 запишите правило для чётного n и объясните, почему среднее и медиана не обязаны совпадать.
Практика 2: разбор и критерии
Упорядоченный ряд 3, 4, 7, 10 г. Сумма 24 г, среднее 6 г. Медиана (4 + 7) / 2 = 5,5 г. В ответе 8,5 взяты крайние позиции неупорядоченного списка вместо двух центральных позиций упорядоченного. Различие среднего и медианы допустимо: они определяются разными способами. Критерии: сортировка, среднее, медиана, объяснение позиции — максимум 4 балла.
05. Обсуждение и границы вывода
33–40 минут. Для расчёта общего времени пяти одинаково учитываемых операций важна сумма; для ответа «где середина наблюдаемой серии» важен порядок. Какой показатель использовать в каждом вопросе? Обсудите риск сообщить только медиану 7 с и скрыть 32 с. Составьте двухстрочный отчёт, который ничего не прячет.
Обсуждение: возможный вывод
Среднее 12 с позволяет восстановить сумму пяти значений: 12 × 5 = 60 с. Медиана 7 с показывает центральную позицию, но не сумму и не крайнее время. Отчёт: «Учебная серия 6, 7, 7, 8, 32 с; n = 5, среднее 12 с, медиана 7 с. Крайнее 32 с требует проверки условий; до неё наблюдение сохранено». Выбор показателя обосновывают вопросом, а не удобством числа.
06. Индивидуальная проверка
40–45 минут. Данные: 2, 2, 3, 13 мин. Найдите среднее и медиану. Затем рассмотрите отдельно учебный сценарий замены 13 на 5 и найдите новые показатели. Объясните, что изменилось и почему это не разрешение исправлять исходное наблюдение. Критерии: исходные два показателя, новые два, объяснение устойчивости медианы, сохранение исходника.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
Исходно сумма 20 мин, среднее 5 мин, медиана (2 + 3) / 2 = 2,5 мин. В отдельном сценарии 2, 2, 3, 5 сумма 12 мин, среднее 3 мин, медиана по-прежнему 2,5 мин. Снижение суммы на 8 мин уменьшило среднее на 8/4 = 2 мин; центральные позиции не изменились. Заменять 13 на 5 в реальном журнале без основания нельзя. По одному баллу за четыре критерия, максимум 4.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Среднее арифметическое; отклонение от медианы | Сравнить два показателя центра на полной серии | Среднее и медиана рассчитаны по правилам |
| Описательные статистики; представление анализа | Обосновать показатель и сохранить крайнее наблюдение | Нет скрытого удаления и потери единиц |
Источники и права на изображения
Учебные протоколы, условные авторы, реплики и числовые серии созданы для обучения. Они не выдаются за реально проведённые опыты. Реальные справочные материалы NIST, ORI и JCGM/BIPM явно названы; их сведения не смешиваются с условными карточками. Иллюстрация создана для этого урока портала «Школы России», сторонние фотографии не используются. Внешние источники поддерживают понятия, но не являются источником учебных чисел. Проверка источников: 16.10.2026.