Две серии дали одинаковое среднее 7 °C. Но одна лежит от 6,8 до 7,2 °C, другая — от 6 до 8 °C. Одного среднего недостаточно: научимся показывать разброс и не путать его с точностью.
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте распечатку ученической части PDF либо экран, бумагу, ручки и простой калькулятор. Все документы, карточки, реплики и числовые серии даны в уроке. Реальные опыты, интервью и регистрация детей не нужны. Предпосылки: различать наблюдение и вывод, читать таблицу, находить среднее и процент. При необходимости напомните: среднее — сумма значений, делённая на их число.
7 класс: работайте по предложенным полям ответа, сначала объясняйте один выбор. 8 класс: дополнительно проверяйте альтернативу, независимость источников и границы числового вывода. В уроках 28–32 продолжается учебный проект бумажного чехла; в 33–37 его серии используются для обработки данных. Все исходные данные приведены. Интервалы включают чтение и запись; ответы открываются после самостоятельной попытки. Матрица программы относится к подготовке учителя, не к дополнительным минутам урока.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Карточка или таблица |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Ответ по четырём критериям |
01. Проблемная ситуация
0–5 минут. Серия А: 6,8; 7,0; 7,2 °C. Серия Б: 6; 7; 8 °C. За минуту найдите средние. В паре объясните, почему одинаковое 7 не означает одинаковую повторяемость. Нарисуйте на одной горизонтальной шкале пределы двух серий.
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на разобранный пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Зачем нужны повторные измерения
Повторные измерения нужны для наблюдения разброса при достаточно одинаковых условиях. В этой теме повтор — отдельное испытание по общему протоколу, а не повторное переписывание одного показания. Сохраняют порядок, время и условия, чтобы заметить изменение метода.
Как вычислить среднее и размах серии
Для серии найдите число наблюдений n, минимум xmin, максимум xmax и размах R = xmax − xmin. Размах имеет те же единицы, что исходная величина. Среднее описывает положение серии, размах — её крайний разброс. По трём точкам размах чувствителен к отдельному значению; он не равен доказанной погрешности прибора и не задаёт доверительный интервал.
Почему малый разброс не гарантирует точность
Малый разброс не гарантирует близости к опорному значению. Если прибор постоянно завышает на 2 °C, одинаковые повторы могут быть очень тесными, но смещёнными. Чтобы судить о смещении, нужен независимый опорный результат и проверка условий. Увеличение числа повторов не исправляет систематическую ошибку само по себе.
Разбор серий из начала. А: сумма 21,0 °C, n = 3, среднее 7,0 °C; минимум 6,8, максимум 7,2, размах 0,4 °C. Б: сумма 21 °C, среднее 7 °C; минимум 6, максимум 8, размах 2 °C. По этим трём наблюдениям А более тесная. Нельзя заключить «А точна до 0,4 °C»: размах серии не является паспортной точностью или полной неопределённостью измерения.
03. Практика 1. Проверяем материал
Учебная серия П-36. Измеряли потерю температуры одинаковых образцов за 10 минут по одному протоколу; каждое значение относится к отдельному испытанию. Для первого анализа различия условий не известны.
| Серия | Пять повторов потери температуры, °C |
|---|---|
| В | 6,8; 7,0; 7,2; 6,9; 7,1 |
| Г | 5; 6; 7; 8; 9 |
| Д | 9,0; 9,1; 8,9; 9,0; 9,0 |
| Примечание | Опорная истинная потеря для этих испытаний не задана. Серии учебные; сравнивают только доступные показатели. |
14–25 минут. За 2 минуты проверьте число значений и единицы. За 4 составьте таблицу n, сумма, среднее, минимум, максимум, размах для В, Г, Д. За 3 сравните пары В/Г и В/Д. За 2 напишите вывод: где разброс меньше и что нельзя утверждать без опоры. Критерии: верные средние, размахи, различение разброса и смещения, сохранённые границы — 4 балла.
Практика 1: разбор и критерии
В: n = 5, сумма 35,0, среднее 7,0, минимум 6,8, максимум 7,2, R = 0,4 °C. Г: n = 5, сумма 35, среднее 7, минимум 5, максимум 9, R = 4 °C. Д: n = 5, сумма 45,0, среднее 9,0, минимум 8,9, максимум 9,1, R = 0,2 °C. В и Г имеют одинаковое среднее, но разный разброс. Д теснее В, однако без независимой опоры нельзя объявить Д ближе к истинному значению. По четырём критериям максимум 4. Не смешивайте сумму пяти измерений с физической потерей одного образца.
04. Практика 2. Перенос способа
25–33 минуты. Контроль прибора при опорных 20,0 °C: прибор К показывает 22,0; 22,1; 21,9 °C. Прибор Л показывает 19,6; 20,0; 20,4 °C. За 3 минуты найдите средние и размахи. За 3 опишите компромисс: повторяемость и смещение относительно опоры. За 2 предложите действие до использования прибора К. Здесь опорные 20,0 °C заданы как учебное условие; метрологическую неопределённость опоры отдельно не оценивают.
Практика 2: разбор и критерии
К: среднее 22,0 °C, R = 0,2 °C, разность среднего и опоры +2,0 °C. Л: среднее 20,0 °C, R = 0,8 °C, разность 0,0 °C. К даёт более тесную серию, но смещён относительно заданной опоры. Л в этой серии имеет среднее на опоре, но больший разброс. До работы с К — проверить процедуру и прибор по опоре; не вычитать 2 °C из любых будущих показаний без подтверждения модели поправки. Критерии: оба средних, оба размаха, смещение, действие без необоснованной универсальной поправки — 4 балла.
05. Обсуждение и границы вывода
33–40 минут. Можно ли читать дисплей одного застывшего показания пять раз и считать это пятью независимыми опытами? Сравните такой способ с пятью заново подготовленными испытаниями чехла. Назовите, какую изменчивость показывает каждый. Составьте правило для отчёта П-36: что считать повтором и что сохранять в журнале.
Обсуждение: возможный вывод
Пять чтений застывшего дисплея не показывают изменчивость подготовки и проведения пяти опытов. Повторное чтение может проверять считывание, но не заменяет независимую подготовку образцов. Для П-36 повтором называют отдельное испытание по общему протоколу; записывают ID, порядок, условия и результат. Если измерения зависимы, это явно отмечают, а не увеличивают формально объём серии.
06. Индивидуальная проверка
40–45 минут. Серия: 12; 13; 11; 12 мм. Найдите n, среднее и размах. Напишите одно допустимое и одно недопустимое утверждение о точности, если опора неизвестна. Критерии: n, среднее с единицей, размах с единицей, граница вывода.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
n = 4; среднее (12 + 13 + 11 + 12) / 4 = 12 мм; размах 13 − 11 = 2 мм. Допустимо: «наблюдаемые значения лежат от 11 до 13 мм». Недопустимо: «истинная длина обязательно 12 мм» или «погрешность прибора равна 2 мм». По баллу за каждый критерий, максимум 4.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Случайные и систематические погрешности; размах варьирования | Сравнить серии с одинаковым средним | Разброс не перепутан со смещением |
| Расчёт описательных статистик, работа № 18 | Вычислить n, среднее и размах | Числа и единицы проверяемы по полной серии |
Источники и права на изображения
- Исходная программа курса
- JCGM/BIPM. Repeatability of measurement — повторяемость измерения
- NIST/SEMATECH. Measures of Location
Учебные протоколы, условные авторы, реплики и числовые серии созданы для обучения. Они не выдаются за реально проведённые опыты. Реальные справочные материалы NIST, ORI и JCGM/BIPM явно названы; их сведения не смешиваются с условными карточками. Иллюстрация создана для этого урока портала «Школы России», сторонние фотографии не используются. Внешние источники поддерживают понятия, но не являются источником учебных чисел. Проверка источников: 16.10.2026.