Чтобы сложить цифры числа, можно отделить последнюю цифру и поручить той же функции меньшую задачу. Но без остановки цепочка вызовов не завершится.
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте компьютер, редактор, папку с правом записи, распечатку ученической части PDF, бумагу и ручку. Python 3.11+ и IDLE или редактор; запуск python lesson.py (либо python3 lesson.py). Внешние библиотеки не нужны. Установку и проверку запуска учитель выполняет заранее. Все программы, данные и ожидаемые ответы даны; регистрация детей и интернет на занятии не нужны.
Уровень — начинающий программист, 9 класс. Предпосылки: функции и return, целочисленное деление и остаток. В паре автор прогнозирует и вводит код, проверяющий ведёт журнал, затем роли меняются. Без компьютера выполните трассировку полного кода на бумаге и сопоставьте с готовыми результатами; учитель демонстрирует подготовленный запуск. Бумажный вариант не считается фактическим запуском ученика. Перед практикой учитель выдаёт готовый файл разобранного примера, чтобы дети тратили время на изменение и проверку, а не длинное перепечатывание. Матрица программы предназначена учителю.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Готовый продукт и проверка |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Самостоятельный ответ |
01. Проблемная ситуация
0–5 минут. Разложите 507 на последнюю цифру и оставшуюся часть, затем повторите для 50 и 5. Запишите цепочку до нуля и предположите сумму цифр.
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Рекурсивный вызов получает меньшую задачу
Рекурсия — вызов функции из её собственного определения. Базовый случай даёт ответ без нового вызова. Для суммы цифр неотрицательного n база n==0 возвращает 0. Шаг n%10 + digit_sum(n//10) отделяет последнюю цифру и решает задачу для оставшихся.
При n>0 целое n//10 строго меньше n и неотрицательно. Поэтому за конечное число шагов достигается ноль. Спуск создаёт ожидающие сложения, возврат завершает их в обратном порядке. return обязателен и в базе, и в рекурсивной ветке.
Контракт: целое n от 0 до 1000000 включительно. Отрицательные и большие значения отклоняются ValueError. Эта учебная граница даёт не более восьми одновременно активных вызовов для суммы цифр; рекурсия не предназначена здесь для произвольно длинных последовательностей.
Отступы набирайте обычными пробелами: 4 на уровень. При копировании с веб-страницы замените неразрывные пробелы обычными; полный код с обычными пробелами есть в PDF.
digit_sum(507)=7+digit_sum(50)=7+0+digit_sum(5)=7+0+5+digit_sum(0)=12. На спуске аргументы 507,50,5,0; на возврате результаты 0,5,5,12.
| def digit_sum(n): if not 0 <= n <= 1000000: raise ValueError("range") if n == 0: return 0 return n % 10 + digit_sum(n // 10) for n in [507,0,9,1000,1000000]: print(n, digit_sum(n)) |
03. Практика 1. Проверяем материал
Трассируем спуск и возврат
14–25 минут. Для каждого числа выпишите аргументы вызовов и результаты возврата; затем запустите пример.
| n | Сумма цифр; число вызовов |
|---|---|
| 507 | 12; 4 |
| 0; 9 | 0; 1 и 9; 2 соответственно |
| 1000 | 1; 5 |
| 1000000 | 1; 8 |
2 минуты — прогноз; 4 — трассировка и запуск; 3 — тесты -1 и 1000001, каждый отдельным запуском; 2 — вывод об остановке. Критерии: верные суммы, база, уменьшение, отказ вне диапазона.
Практика 1: разбор и критерии
Для 1000: 1000→100→10→1→0, возврат 0→1→1→1→1. Для 0 функция вызывается один раз. -1 и 1000001 вызывают ValueError до рекурсивного шага. Замена n//10 на n сохраняет аргумент и не обеспечивает остановку для положительного n.
04. Практика 2. Перенос способа
Считаем число цифр
25–33 минуты. Напишите digits(n), возвращающую число десятичных цифр. Ноль имеет одну цифру. За 2 минуты выберите базу, за 4 реализуйте, за 2 проверьте 0,9,10,507,1000000. Критерии: база n<10, шаг 1+digits(n//10), прежний диапазон.
Практика 2: разбор и критерии
Ответы 1,1,2,3,7. База отличается от суммы: однозначное число уже содержит одну цифру. Полная программа:
| def digits(n): if not 0 <= n <= 1000000: raise ValueError("range") if n < 10: return 1 return 1 + digits(n // 10) for n in [0,9,10,507,1000000]: print(n, digits(n)) |
05. Обсуждение и границы вывода
33–40 минут. За 2 минуты сравните рекурсию с циклом по цифрам, за 3 объясните, где хранится отложенная работа, за 2 выберите подход для очень длинного числа в строке.
Обсуждение: возможный вывод
Цикл может накапливать сумму без цепочки вызовов; рекурсия наглядно отражает разложение задачи, но использует стек. Для длинной строки цифр удобен цикл по символам с проверкой входа. Наш код имеет малую глубину благодаря контракту, а не благодаря бесконечному запасу стека.
06. Индивидуальная проверка
40–45 минут. Для 204 запишите спуск digit_sum, сумму, число вызовов и digits(204). Четыре балла.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
204→20→2→0; 6; 4 вызова; 3 цифры. По одному баллу за пункт.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Функции. Логические функции. Рекурсивные функции. | Трассируем спуск и возврат | Построить рекурсивную сумму цифр, объяснить базовый случай и уменьшение аргумента, проверить границы контракта. |
| Структурирование решения и отладка | Считаем число цифр | Исходник, журнал обычных и граничных тестов; индивидуальный ответ |
Источники и права на изображения
Тексты, учебные данные, реплики, программы и схемы подготовлены для уроков портала «Школы России». Числовые серии — учебные модели, не результаты проведённых классом опытов. Схемы авторские, сторонние фотографии не используются. Методические ссылки приведены для учителя; ученик получает все материалы здесь. Проверка первичных источников: 18.10.2026.