Нужно разложить 58 карточек по пакетам не более 12. Последний пакет неполный. Как программа убедится, что не потеряла и не создала карточки?
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте компьютер, рабочую папку с правом записи, редактор, распечатку ученической части PDF, бумагу и ручку. Локальный компилятор G++ с C++17 или настроенная учителем IDE; сборка g++ -std=c++17 -Wall -Wextra -pedantic main.cpp -o lesson. В Windows задайте lesson.exe. Запуск ./lesson в Linux/macOS, .\lesson.exe в Windows. Для урока 31 дополнительно обычный браузер: открывать локальный SVG, не C++-исходник. Все входы и ожидаемые результаты даны. Установку и проверку запуска учитель выполняет до занятия; детские аккаунты и интернет не нужны.
Уровень — начинающий программист, 7 класс. Предпосылки: while, if, счётчик, остаток и проверка границ. В паре автор вводит и объясняет, проверяющий сопоставляет с прогнозом, затем роли меняются. Без компьютера трассируйте полный код на бумаге, отмечайте координаты по схеме и проверяйте готовые результаты; учитель демонстрирует заранее собранный пример. Бумажная трассировка не выдаётся за реальную компиляцию или запуск ученика. План 45 минут включает чтение, ввод, сборку и обсуждение. В графических задачах сначала прогноз, затем сравнение. Матрица программы предназначена учителю.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Готовый продукт и проверка |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Самостоятельный ответ |
01. Проблемная ситуация
За 5 минут выпишите содержимое пакетов для 58 карточек и вместимости 12. Ученик отвечает 4 пакета по 12: найдите потерю. Другой создаёт 5 пакетов по 12: найдите лишние карточки. Сохраните правильную последовательность для теста.
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Состояние, инвариант и строгое уменьшение остатка
В первой задаче n — исходное число карточек; remaining — ещё не упакованные; count — готовые пакеты; last — размер последнего. За шаг берём capacity или оставшийся меньший остаток. До и после каждого шага число уже упакованных плюс remaining равно n.
При remaining>0 и capacity≥1 take положителен и не превосходит remaining, поэтому остаток строго уменьшается и не становится отрицательным. Максимум миллион шагов при capacity=1. Выход remaining=0 означает, что все карточки распределены; для n=0 пакетов нет, last по контракту равен 0.
Независимая проверка: count=n/capacity плюс 1, если остаток не ноль. Если n>0, last=(n−1)%capacity+1. Это формулы для проверки цикла, не скрытая замена требуемой реализации. В решении long long с ограниченными входами; проверка capacity выполняется до деления.
Отступы набирайте обычными пробелами: 4 на уровень. При копировании с веб-страницы замените неразрывные пробелы обычными; полный код с обычными пробелами есть в PDF.
58→46→34→22→10→0. Пять шагов с take=12,12,12,12,10; вывод 5 10. Сумма 4·12+10=58. Для 24 12 ответ 2 12, а не 3 0; для 0 12 —0 0.
| #include <iostream> int main() { long long n, capacity; if (!(std::cin >> n >> capacity) || n < 0 || n > 1000000 || capacity < 1 || capacity > 1000000) { std::cout << "error\n"; return 0; } long long remaining = n, count = 0, last = 0; while (remaining > 0) { long long take = capacity; if (remaining < take) take = remaining; remaining -= take; ++count; last = take; } std::cout << count << " " << last << "\n"; } |
03. Практика 1. Проверяем материал
Полная упаковка и независимая арифметическая проверка
14–25 минут. Закройте код, составьте свой алгоритм упаковки с while и независимые ожидаемые ответы.
| n capacity | Вывод count last |
|---|---|
| 0 12 | 0 0 |
| 1 12 | 1 1 |
| 24 12 | 2 12 |
| 25 12 | 3 1 |
| 58 12 | 5 10 |
| 5 0 | error |
2 минуты — состояния; 4 — самостоятельный исходник; 3 — таблица и 1000000 1; 2 — доказательство сохранения и остановки. Продукт: код, семь тестов и две фразы об инварианте. Критерии: карточки сохранены, остаток убывает, точное деление и ноль обработаны, последний пакет указан верно.
Практика 1: разбор и критерии
Для 1000000 1 ответ 1000000 1. Остальные ответы в таблице. Вычитание capacity без ограничения сделало бы отрицательный остаток; while remaining>=0 создал бы лишний пустой пакет либо зациклился при take=0. Полный эталонный код ниже.
| #include <iostream> int main() { long long n, capacity; if (!(std::cin >> n >> capacity) || n < 0 || n > 1000000 || capacity < 1 || capacity > 1000000) { std::cout << "error\n"; return 0; } long long remaining = n, count = 0, last = 0; while (remaining > 0) { long long take = capacity; if (remaining < take) take = remaining; remaining -= take; ++count; last = take; } std::cout << count << " " << last << "\n"; } |
04. Практика 2. Перенос способа
Разделитель расходует ресурс, но не является содержимым
25–33 минуты. Новый ресурс stock: каждый пакет требует сначала одну карточку-разделитель и от 1 до capacity карточек содержимого. Разделитель не входит в содержимое. Пока возможно, заполняют пакет максимально; пустые пакеты не делают. Ввод stock=0…1000000, capacity=1…1000000. Вывод count,items,неиспользованный stock. За 2 минуты прогноз 14 5; за 4 код; за 2 тесты 0 5,1 5,2 5,12 5. Критерии: отдельный расход разделителя, нет пустого пакета, общий ресурс сохранён.
Практика 2: разбор и критерии
14 5: пакеты содержимого 5,5,1; count=3,items=11,остаток 0. 0 5→0 0 0; 1 5→0 0 1; 2 5→1 1 0; 12 5→2 10 0. Инвариант: исходный stock = items+count+текущий stock. Каждый шаг расходует минимум 2, остаток на выходе 0 или 1.
| #include <iostream> int main() { long long stock, capacity; if (!(std::cin >> stock >> capacity) || stock < 0 || stock > 1000000 || capacity < 1 || capacity > 1000000) { std::cout << "error\n"; return 0; } long long count = 0, items = 0; while (stock > 1) { long long take = stock - 1; if (take > capacity) take = capacity; stock -= take + 1; items += take; ++count; } std::cout << count << " " << items << " " << stock << "\n"; } |
05. Обсуждение и границы вывода
33–40 минут. Можно ли перенести формулу первой задачи во вторую без изменений? Защитите независимую проверку инвариантом; найдите контрпример и объясните, какой ресурс был забыт.
Обсуждение: возможный вывод
Для 14 5 простая упаковка дала бы 3 пакета с 14 карточками внутри, но разделители требуют ещё 3. Во второй задаче только 11 внутри и 3 разделителя. Полный журнал одного теста не заменяет границы 0,1 и точное заполнение. Программа должна выполнять контракт, а не лишь совпадать с одним примером.
06. Индивидуальная проверка
40–45 минут. Для первой задачи 37 8 найдите count,last. Для второй 9 3 выпишите содержимое пакетов, count,items,остаток и проверьте баланс. Четыре критерия: первый ответ, состав, итог, баланс.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
37 8→5 5. Во второй пакеты 3 и 3, затем остаётся 1, нового пакета нет: count2,items6,stock1. Баланс 9=6+2+1. По одному баллу за четыре проверяемых элемента.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Повторение и обобщение (Марафон по программированию) | Разработать цикл упаковки, проверить сохранение количества и завершение, затем перенести способ на расход разделителей. | Самостоятельный продукт и тесты, описанные в практиках |
| Составлять и отлаживать простые диалоговые программы | Сверяет прогноз с фактическим запуском; объясняет ошибочный вариант | Журнал тестов и индивидуальный ответ по критериям |
Источники и права на изображения
Тексты, учебные данные, реплики, программы и схемы подготовлены для уроков портала «Школы России». Числовые серии — учебные модели, не результаты проведённых классом опытов. Схемы авторские, сторонние фотографии не используются. Методические ссылки приведены для учителя; ученик получает все материалы здесь. Проверка первичных источников: 17.10.2026.