Из двух лент длиной 48 и 18 см нужны одинаковые целые отрезки без остатка. Как найти наибольшую возможную длину без перебора всех чисел?
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте компьютер, локальную папку с правом записи, Python/IDLE, распечатку ученической части PDF, бумагу и ручку. Внешние библиотеки не нужны: только стандартный Python 3.11 или новее. Все программы, входные данные, таблицы и ключи находятся в статье и PDF. Детские аккаунты, сеть и регистрация не нужны.
Уровень — начинающий, 7 класс. Предпосылки: //, %, while и условный оператор. Работа в паре: автор прогнозирует и вводит код, проверяющий ведёт журнал; затем роли меняются. На бумаге трассируйте готовый код и входные данные; для графики используйте координатную сетку и схему. Учитель может показать заранее полученный вывод/PNG. Бумажный вариант проверяет понимание, но не выдаётся за реальный запуск учеником. Чтение, ввод и проверка включены в план. Матрица программы — материал учителя.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Готовый продукт и проверка |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Самостоятельный ответ |
01. Проблемная ситуация
Ленты 48 и 18 см режут на одинаковые целые отрезки. Проверьте кандидаты 2,3,6,9: какие делят обе длины? Как убедиться, что найденный общий делитель действительно наибольший, а не просто один из подходящих?
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Общий делитель сохраняется
Наибольший общий делитель двух положительных целых — наибольшее положительное число, делящее оба без остатка. Если a=q*b+r, общие делители a,b совпадают с общими делителями b,r: из двух слагаемых равенства можно выразить третье.
Алгоритм: пока b не равно нулю, заменяем пару (a,b) на (b,a%b). Строка a,b=b,a%b вычисляет обе правые части по старым значениям, затем присваивает новые. Нельзя бездумно заменить её двумя последовательными присваиваниями.
При положительном b остаток меньше b и неотрицателен, поэтому второе число уменьшается до нуля. НОД(a,0)=a при a>0, НОД(0,b)=b при b>0. Для пары (0,0) в этом уроке НОД не определяем и выводим отдельное сообщение. Все входы — неотрицательные целые.
Отступы набирайте обычными пробелами: 4 на уровень. При копировании с веб-страницы замените неразрывные пробелы обычными; полный код с обычными пробелами есть в PDF.
48=2*18+12; 18=1*12+6; 12=2*6+0. Пары: (48,18)→(18,12)→(12,6)→(6,0). Ответ 6 см. Последний ненулевой делитель — НОД. Код сначала отделяет (0,0), чтобы не выдавать 0 за положительный наибольший делитель.
| a = int(input()) b = int(input()) if a == 0 and b == 0: print("не определён") else: while b != 0: a, b = b, a % b print(a) |
03. Практика 1. Проверяем материал
Строим таблицу остатков
Сначала трассируйте 18,48: первый остаток 18, хотя первое число меньше второго. Это допустимый вход, переставлять вручную не нужно.
| Ввод a,b: две строки | Ожидаемый вывод |
|---|---|
| 48; 18 | 6 |
| 18; 48 | 6 |
| 7; 13 | 1 |
| 24; 24 | 24 |
Создайте gcd.py по полному примеру. Для каждой пары таблицы запишите последовательность пар и итог. Независимо проверьте, что ответ делит оба исходных числа; для 7,13 перечислите положительные делители 7. Критерии: пары обновляются одновременно, цикл завершается, четыре теста, независимая проверка.
Практика 1: разбор и критерии
Для 18,48: (18,48)→(48,18)→(18,12)→(12,6)→(6,0). У 7 делители 1,7; 7 не делит 13, значит НОД 1. Для равных 24 первый остаток 0, ответ 24. Полный правильный код приведён в примере. По 1 баллу за четыре критерия.
04. Практика 2. Перенос способа
Обрабатываем нулевой аргумент
Новые тесты для той же программы: 0,15; 15,0; 0,0. Предскажите число повторений и ответ. Затем самостоятельно найдите НОД для 84 и 30 и объясните, сколько отрезков длиной НОД получится из каждой ленты. Код не переписывайте ради нового набора данных.
Практика 2: разбор и критерии
0,15: один шаг к (15,0), ответ 15; 15,0: ноль шагов, ответ 15; 0,0: сообщение «не определён», цикл не запускается. 84,30→30,24→24,6→6,0: НОД 6, отрезков 14 и 5. Критерии: три нулевых случая, трасса новой пары, два количества отрезков.
05. Обсуждение и границы вывода
Ученик сначала пишет a=b, затем b=a%b. Почему это не то же самое, что одновременное присваивание? Разберите на паре 48,18 и предложите альтернативу с временной переменной.
Обсуждение: возможный вывод
После a=b оба числа равны 18; остаток 18%18=0, ошибочный ответ 18. Нужен остаток от старых значений: r=a%b; a=b; b=r. Одновременное присваивание короче, временная переменная нагляднее для трассировки.
06. Индивидуальная проверка
Найдите НОД(35,14) с парами и остатками. Назовите ответ программы для 0,9 и объясните, почему b!=0 проверяется до вычисления остатка. Критерии: трасса/ответ, нулевой вход, защита от деления на ноль.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
(35,14)→(14,7)→(7,0), НОД 7. Для 0,9 ответ 9. Проверка исключает вычисление a%0, которое недопустимо. 3 балла.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Алгоритм Евклида | Повторяет переход к делителю и остатку | НОД и трассировка |
| Цикл с условием | Проверяет нулевые аргументы | Нет операции %0 |
Источники и права на изображения
Тексты, учебные данные, реплики, программы и схемы подготовлены для уроков портала «Школы России». Числовые серии — учебные модели, не результаты проведённых классом опытов. Схемы авторские, сторонние фотографии не используются. Методические ссылки приведены для учителя; ученик получает все материалы здесь. Проверка первичных источников: 17.10.2026.