Ошибка 1 мм кажется маленькой. Но при измерении детали длиной 10 мм и ленты длиной 100 мм её значение различно. Сегодня сравним ошибки относительно масштаба измеряемой величины.
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Подготовьте распечатку ученической части PDF либо экран, бумагу, ручки и простой калькулятор. Все документы, карточки, реплики и числовые серии даны в уроке. Реальные опыты, интервью и регистрация детей не нужны. Предпосылки: различать наблюдение и вывод, читать таблицу, находить среднее и процент. При необходимости напомните: среднее — сумма значений, делённая на их число.
7 класс: вычисляйте по шагам и используйте предложенную форму записи; для дробей разрешён калькулятор. 8 класс: дополнительно объясняйте ограничение метода и проверяйте альтернативный вывод на контрпримере. В уроках 38–47 продолжается учебный проект бумажного чехла: обрабатываем числовые серии и оцениваем доказательность выводов. Все исходные данные приведены. Интервалы включают чтение и запись; ответы открываются после самостоятельной попытки. Матрица программы относится к подготовке учителя, не к дополнительным минутам урока.
| Минуты | Работа | Результат |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблема | Вопрос и первое решение |
| 5–14 | Понятия и пример | Способ проверки |
| 14–25 | Практика 1 | Карточка или таблица |
| 25–33 | Практика 2 | Перенос способа |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент и ограничение |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Ответ по четырём критериям |
01. Проблемная ситуация
Учебный протокол: метод А дал 10,5 мм при опорных 10,0 мм, метод Б — 102,0 мм при опорных 100,0 мм. У А модуль ошибки меньше. Значит ли это, что его относительная ошибка тоже меньше? Сначала запишите прогноз, затем проверьте деление на разные опорные значения.
02. Понятия и разобранный пример
5–14 минут: 4 минуты на понятия, 3 на разобранный пример, 2 на объяснение способа партнёру.
Как перевести ошибку в проценты
Для известного ненулевого опорного значения относительная величина ошибки равна δ = |xизм − xоп|/|xоп|. В процентах δ% = δ × 100%. Числитель и знаменатель сначала выражают в одинаковых единицах. Результат безразмерный: запись «5% мм» неверна.
В исходном сравнении |eА| = 0,5 мм, δА = 0,5/10 × 100% = 5%; |eБ| = 2 мм, δБ = 2/100 × 100% = 2%. У Б ошибка больше в миллиметрах, но меньше относительно опорной длины. Это разные вопросы, и ни одно число не заменяет описание задачи.
Если опорного значения нет, но дана граница Δ, в школьных расчётах используют приближённую относительную границу Δ/|xизм|. Её нужно так и называть, не выдавая за известную фактическую относительную ошибку. При нулевом опорном значении δ по этой формуле не определена; близко к нулю проценты могут вводить в заблуждение.
Дано: опорная масса 200 г, показание 198 г. e = −2 г, |e| = 2 г, δ = 2/200 = 0,01 = 1%. Отдельно: результат (198 ± 2) г без опорной массы позволяет оценить Δ/|xизм| = 2/198 ≈ 0,0101, или 1,01%. Это не та же постановка: знаменатель и смысл величины различаются.
03. Практика 1. Проверяем материал
Сравнение методов на разных масштабах
Учебные контрольные измерения. Опорные значения в этой задаче заданы, их неопределённость не учитывается.
| Метод | Опорное значение → показание |
|---|---|
| В | 50,0 см → 49,0 см |
| Г | 200,0 см → 197,0 см |
| Д | 0,500 м → 0,505 м |
За 2 минуты подпишите единицы; за 4 найдите e, |e| и δ% каждой строки; за 3 ранжируйте методы отдельно по абсолютной и относительной ошибке; за 2 объясните различие. Запишите расчёт дробью до округления. Для сравнения абсолютных ошибок переведите все длины в сантиметры.
Практика 1: разбор и критерии
В: e = −1 см, |e| = 1 см, δ = 2%. Г: e = −3 см, |e| = 3 см, δ = 1,5%. Д: e = +0,005 м = +0,5 см, δ = 1%. По возрастанию абсолютной ошибки: Д, В, Г; относительной: Д, Г, В. 4 критерия: единые единицы, три модуля, три процента, оба ранжирования с объяснением.
04. Практика 2. Перенос способа
Нулевое опорное значение и граница
Новый случай: термодатчик показывает 0,2 °C при опорных 0,0 °C. Другой ученик пишет «δ = 0,2/0 = 0%». За 8 минут найдите абсолютную ошибку, проверьте допустимость деления и предложите осмысленную запись без этого процента. Затем рассмотрите результат (20,0 ± 0,5) см без опорного значения и найдите приближённую относительную границу.
Практика 2: разбор и критерии
Для датчика e = +0,2 °C, |e| = 0,2 °C; деление на ноль не определено, 0% неверно. Достаточно сообщить абсолютную ошибку и условия контрольной проверки. Для длины Δ/|xизм| × 100% = 0,5/20 × 100% = 2,5%; это приближённая граница, а не известная ошибка. 4 критерия: модуль, запрет деления на ноль, осмысленная запись, верные 2,5% с названием.
05. Обсуждение и границы вывода
За 2 минуты выберите задачу: контроль зазора 1 мм или сравнение измерений разных длин. За 3 минуты объясните, когда важнее абсолютная величина, а когда полезна относительная. Возражение: «самый маленький процент всегда означает пригодный метод». Последние 2 минуты — ответ с примером и ограничением.
Обсуждение: возможный вывод
Для допуска зазора важны миллиметры и заданное требование. Для относительного сравнения масштабов полезны проценты. Даже 1% может быть слишком много для конкретного допуска. Нельзя выбрать прибор только по проценту без диапазона, условий и цели измерения.
06. Индивидуальная проверка
Опорная длина 80 см, показание 78 см. За 3 минуты найдите знак ошибки, модуль и относительную ошибку в процентах; запишите условие допустимости формулы. Ещё 2 минуты — ключ и исправление.
Индивидуальная проверка: ответ и критерии
e = −2 см, |e| = 2 см, δ = 2/80 × 100% = 2,5%. Знаменатель — ненулевое опорное значение, единицы числителя и знаменателя согласованы. Четыре балла за четыре элемента. При 0–1 вернуться к дроби; при 2–3 уточнить процент или знаменатель; при 4 сравнить с ошибкой 1 см на 20 см.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие → результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Тема 4: относительная погрешность | Делит модуль ошибки на опорное значение | Верный процент и единицы |
| Сравнение результатов | Строит два ранжирования | Не смешивает абсолютный и относительный критерии |
| Границы метода | Проверяет нулевой знаменатель | Отказывается от неопределённого процента |
Источники и права на изображения
- Исходная программа курса
- JCGM/BIPM VIM: погрешность как отличие от опорного значения
- JCGM/BIPM VIM: неопределённость измерения
Учебные протоколы, условные авторы, реплики и числовые серии созданы для обучения. Они не выдаются за реально проведённые опыты. Реальные справочные материалы NIST и JCGM/BIPM явно названы; их сведения не смешиваются с условными карточками. Иллюстрация создана для этого урока портала «Школы России», сторонние фотографии не используются. Внешние источники поддерживают понятия, но не являются источником учебных чисел. Проверка источников: 16.10.2026.