0–5 минут. Учебная мастерская делает два вида наборов. Заказчик просит выбрать самый выгодный план, но запас материала и рабочее время ограничены. Один ученик умножил доход за штуку на максимальное число изделий и забыл время. Запишите, какие два ресурса нужно проверить одновременно. Обсудите, почему верная арифметика ещё не гарантирует верного плана.
Подготовка учителю: материалы и план на 45 минут
Оборудование и предпосылки. Карточки заказов, карандаши, бумага; калькулятор необязателен. Предпосылки: умножение, сложение, сравнение. Для старших — перебор целочисленных вариантов; программирование не требуется.
Материалы полностью включены в урок: условия, данные, разобранный пример, две практики, индивидуальная проверка и ключи. Возрастные варианты: 6–7 и 8–9 классы. Выберите один вариант; старший заменяет младший, а не удваивает объём.
Без регистрации. Используйте распечатки или чтение учителем с доски; задания выполняются на бумаге. Ссылки нужны учителю для проверки источников, не являются обязательным поиском для детей. Партнёр может прочитать условие вслух; письменный ответ допускается вместо публичного выступления.
Организация. В паре распределите роли читателя условия и проверяющего, затем поменяйтесь. При обсуждении оценивайте аргумент, а не личность. Не собирайте оценки, семейные истории, диагнозы или другие личные сведения. Все персонажи и специально обозначенные наборы данных вымышлены.
Проверка. Раскрывайте разборы только после собственной попытки. На индивидуальную работу отведите 3 минуты, на сверку по четырём критериям — 2 минуты. Баллы показывают, что доработать, и не являются оценкой личности. При незавершённой работе зафиксируйте конкретный следующий шаг; дополнительные домашние задания не обязательны.
| Время | Действие и проверка |
|---|---|
| 0–5 мин | Проблемная ситуация: личная короткая запись |
| 5–14 мин | Понятия и разобранный пример: объяснение своими словами |
| 14–25 мин | Практика 1: чтение, работа в паре, взаимная проверка |
| 25–33 мин | Практика 2: перенос в новое условие и самостоятельный результат |
| 33–40 мин | Обсуждение: довод, альтернатива, общий вывод |
| 40–45 мин | Индивидуальное задание и сверка по критериям |
01. Проблемная ситуация
0–5 минут. Учебная мастерская делает два вида наборов. Заказчик просит выбрать самый выгодный план, но запас материала и рабочее время ограничены. Один ученик умножил доход за штуку на максимальное число изделий и забыл время. Запишите, какие два ресурса нужно проверить одновременно. Обсудите, почему верная арифметика ещё не гарантирует верного плана.
Запишите первоначальную версию и сохраните её. В конце обсуждения отметьте, что вы уточнили и на какое основание опирались.
02. Понятия и разобранный пример
Переменная, ограничение и цель математической модели
5–14 минут. Математическая модель оставляет существенные для решения величины и правила. Переменная описывает выбор, ограничение задаёт допустимость, целевая величина помогает сравнивать допустимые решения. Аналитик сначала уточняет единицы и данные, затем считает и объясняет, что модель не учитывает.
«Лучший» означает лучший по названному критерию и только среди допустимых вариантов. Проверка одного хорошего плана не доказывает оптимальность: нужен полный перебор или доказательство. Ниже все ресурсы, доходы и заказы учебные; налоги, износ и другие реальные расходы не моделируются. Поэтому используем слово «условный доход», а не настоящая чистая прибыль.
Математика применяется в логистике, производстве и анализе данных. Для 6–7 классов проба — таблица допустимых решений. Для 8–9 — объяснение полноты перебора; развитие через алгебру, информатику и проекты с данными. Возможны СПО, профильная старшая школа и затем высшее образование по математическим и смежным направлениям; одна задача не определяет маршрут окончательно.
Разобранный пример
Разобранный пример. На день дано 4 часа. Набор А требует 2 часа и даёт 5 условных единиц, Б — 1 час и даёт 2. Два А: 4 часа, доход 10. Один А и два Б: 4 часа, доход 9. Четыре Б: 4 часа, доход 8. План с тремя А даёт 15, но требует 6 часов — недопустим. Для доказательства оптимума достаточно перебрать число А: 0, 1, 2, а свободное время заполнить Б. Б даёт положительный доход, других ограничений нет.
03. Практика 1: исследуем материал
Сравнение производственных планов по ресурсам
14–25 минут. Учебное производство имеет 8 единиц материала и 8 часов. Разрешены только целые изделия, можно не использовать ресурс полностью; любой изготовленный набор принимается учебным заказчиком.
| Набор | Материал на штуку | Часы на штуку / условный доход |
|---|---|---|
| А | 3 | 2 / 7 |
| Б | 2 | 3 / 8 |
6–7 классы: проверьте планы (А, Б) = (2,1), (1,2), (0,2), (2,0); посчитайте расход материала, часов и доход. 8–9 классы: дополнительно найдите все допустимые сочетания, объясните границы перебора и докажите лучший результат. Форма — таблица «А / Б / материал / часы / доход / допустимость». 2 минуты условия, 5 вычисления, 2 независимая сверка, 2 вывод. Критерии: два ресурса, целые неотрицательные количества, верный доход, честное обоснование границ вывода.
Разбор практики 1
(2,1): материал 2×3+2=8, время 2×2+3=7, доход 2×7+8=22 — допустим. (1,2): материал 7, время 8, доход 23 — допустим. (0,2): 4, 6, доход 16. (2,0): 6, 4, доход 14. Полный список: (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1). Больше двух А нельзя по материалу, больше двух Б — по времени; для каждого А проверены Б=0,1,2. Максимум 23 при (1,2), остаток материала 1, времени 0. План (2,2) даёт 30, но требует 10 единиц и 10 часов — не сравнивается как допустимый.
04. Практика 2: переносим способ
Как найти лучший план после изменения лимита
25–33 минуты. Время сократилось до 6 часов, материала по-прежнему 8. Другие условия прежние. 6–7 классы: проверьте прежний лучший план и сравните (2,0), (1,1), (0,2). 8–9 классы: переберите допустимые планы заново и обоснуйте максимум. Запишите, какое ограничение изменилось и какие варианты отпали. Критерии: учтено новое время, не перенесён старый ответ, сравнение доходов, объяснение.
Ответ и возможное решение практики 2
Прежний (1,2) требует 8 часов и отпадает; (2,1) требует 7 и тоже отпадает. (2,0): 4 часа, доход 14; (1,1): 5 часов, доход 15; (0,2): 6 часов, доход 16. Остальные допустимые варианты — (0,0), (0,1), (1,0); их доходы 0, 8, 7. Максимум 16 у (0,2), хотя материал использован лишь наполовину. Модель не требует расходовать всё. Ошибка «занять всё время любым способом» заменяет целевую величину.
05. Обсуждение и обоснованный вывод
33–40 минут. «Компьютер нашёл число 23, значит мастерская точно его получит». Найдите две причины осторожности: изменился ресурс или заказчик не примет весь выпуск. Альтернатива отказу от модели — перечислить предположения и проверить их перед решением. Один участник защищает полезность расчёта, другой называет конкретное ограничение. Общий вывод должен сохранять пользу математики и границы обещания.
Вернитесь к первоначальной записи раздела 01. Закончите фразу: «Я уточнил(а) …, потому что в материале …». Допустимо сохранить исходную позицию, если вы можете её обосновать.
06. Индивидуальная проверка
40–45 минут. На день дано 5 часов. Изделие Х требует 2 часа и даёт 6 условных единиц, Y — 3 часа и даёт 10. Разрешены целые изделия, материал не ограничен. 6–7 классы сравнивают 2Х, 1Y, Х+Y. 8–9 классы доказывают оптимальность по всем целым вариантам. Запишите лучший план, время, доход и одно предположение модели. По 1 баллу за каждый пункт.
Ключ и пример качественного ответа
2Х: 4 часа и 12; Y: 3 часа и 10; Х+Y: 5 часов и 16 — лучший. Возможны также нулевой план и Х; два Y требуют 6 > 5. Полнота: Y может быть 0 или 1; при 0 максимум два Х, при 1 максимум один. Предположение: изготовленное принимается целиком, длительность не меняется, нет времени переналадки. 4 содержательных элемента — 4 балла. Фраза «потому что 16 самое большое» без проверки времени не даёт балл за время.
07. Связь с исходной программой
Матрица: программа → действие → результат
| Пункт исходной программы (смысловая формулировка) | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Математика в разных сферах труда | Строит производственную модель | Различает ресурсы и результат |
| Профессиональные действия и качества | Проверяет расчёт и полноту перебора | Доказывает максимум только среди допустимых |
| Профессионально-образовательный маршрут | Выбирает дальнейшую задачу с данными | Называет нужные предметы и ограничения модели |
Матрица конкретизирует программу, но не заменяет её текст. На занятии выбирается один возрастной вариант. Это справочный раздел учителю, отдельного времени сверх 45 минут он не требует.
Источники и права
- Исходная программа «Россия — мои горизонты», 6–9 классы; сохранённый цикл 2025/26
- Оператор курса: профориентационные и практико-ориентированные занятия
- СПбПУ: образовательные программы технических и математических направлений
Источники проверены 15.10.2026. Тексты заданий, вымышленные ситуации, таблицы и подписанные схемы — авторские учебные материалы. Схемы можно использовать вместе с уроком с указанием «Школы России». Заимствованных фотографий нет. Логотип в PDF — официальный знак портала, не учебная иллюстрация. Учебные модели не выдаются за реальные измерения. Названия и порядок тем относятся к сохранённой программе 2025/26, а не к новому календарю.
Полный материал: ученические страницы, отдельная часть с ответами и подготовкой учителю.
Связанная тема: Урок 19. Россия деловая: предпринимательство и бизнес