Пять близких измерений могут одинаково ошибаться. Научимся записывать не только среднее, но и способ оценки неопределённости.
Учителю: подготовка и план на 45 минут
Линейка, прямоугольная карточка, бумага и калькулятор. Допустим анализ готовой таблицы без собственных измерений. Предпосылки: среднее арифметическое, миллиметр и сантиметр. Здесь используется оговорённая простая оценка Δ=max(полуразмах, приборная оценка); это не универсальная формула статистической неопределённости среднего. 8 класс считает по опорам; 9 класс сравнивает интервалы и проверяет смещение нуля.
| Минуты | Работа | Проверяемый продукт |
|---|---|---|
| 0–5 | Проблемная ситуация | Вопрос и проверяемое предположение |
| 5–14 | Понятия и разобранный пример | Пояснение величин и метода |
| 14–25 | Практика 1 | Расчёт, схема или протокол по данным |
| 25–33 | Практика 2 | Решение на новых условиях |
| 33–40 | Обсуждение | Аргумент, альтернатива и вывод |
| 40–45 | Индивидуальная проверка | Самостоятельный ответ и исправление |
Все материалы для текущего занятия включены. Вариант без регистрации: ученические листы PDF и доска. Минуты включают чтение, запись и переходы. Ответы показывайте после самостоятельной попытки. В конце соберите индивидуальную работу: 0–1 балл — вернуться к примеру, 2–3 — уточнить пропущенное звено, 4 — объяснить границу вывода. Это обратная связь, не обязательная школьная отметка.
01. Проблемная ситуация
0–5 минут · Вопрос и первоначальное решение
Пять раз измерили один брусок: 102, 102, 102, 102, 102 мм. Выяснилось, что начало линейки было повреждено, и все отсчёты брали со смещением +2 мм.
1 минута — назовите разброс; 2 — объясните, почему нулевой разброс не означает нулевую ошибку; 2 — предложите независимую проверку нуля. На уроке не требуется знать истинную длину заранее.
02. Объяснение и разобранный пример
Среднее, разброс и учебная оценка неопределённости
5–14 минут · Понятия, модель и проверка
Среднее x̄=sum(xi)/N — итог серии, но оно не уничтожает систематическое смещение. Разброс характеризует различие повторов. Истинная погрешность — отличие от истинного значения — обычно неизвестна. Неопределённость оценивают по прибору, повторениям и методу, явно называя правило.
Для этого урока Δ=max((xmax−xmin)/2; δприб). Берём большее из полуразмаха и заданной приборной оценки, чтобы нулевой разброс не давал нулевую неопределённость. Это учебное приближение для сравнения, не доверительный интервал и не стандартная неопределённость среднего. Относительная оценка δ=Δ/|x̄|×100%. Результат x̄±Δ указывает принятую оценку, а не обещает абсолютную гарантию попадания.
Разобранный пример: 49, 50, 51 мм, δприб=0,5 мм. x̄=50 мм; полуразмах=(51−49)/2=1 мм; Δ=max(1;0,5)=1 мм. Результат (50±1) мм; относительная оценка 1/50×100%=2%. Изменение записи в сантиметры даёт (5,0±0,1) см, процент не меняется.
4 минуты — определения; 3 — расчёт; 2 — отделение неопределённости от известного смещения. Известное смещение сначала корректируют, а не прячут в увеличенное число повторов.
![Интервалы по правилу урока: А [99;101], Б [101;103] мм. Касание не доказывает отсутствие систематического смещения.](/storage/blog/uploads/2026/10/uamxn8tuslvwcws8l3jpbu9o208q0nt06op3lit7.png)
03. Практика 1: данные и доказательство
Сравнение двух серий длины по правилу max
14–25 минут · Работа с первой серией
Две учебные серии длины одного предмета в мм. Для обеих приборная оценка δприб=0,5 мм. Используйте только оговорённое правило max. Можно дополнительно измерить свою безопасную карточку, но не смешивать её числа с этой серией.
| Серия | Пять отсчётов, мм |
|---|---|
| А | 99; 100; 101; 100; 100 |
| Б | 101; 102; 103; 102; 102 |
2 минуты — средние; 3 — полуразмахи и Δ; 3 — относительные оценки; 3 — сравнение интервалов и возможных объяснений. 8 класс пользуется последовательностью из примера; 9 класс отдельно называет, что пересечение интервалов не доказывает исправность приборов. Результат: две записи ±, проценты и осторожный вывод. Критерии: вычисления, единицы, отсутствие выдуманной истинной длины.
Разбор практики 1 и критерии
А: среднее 100 мм, полуразмах 1 мм, Δ=1 мм, δ=1%. Б: 102 мм, Δ=1 мм, δ≈0,98%. Интервалы [99;101] и [101;103] касаются при 101 мм. Одинаковый размах не исключает разницу нулей линеек или способов отсчёта. Нельзя по этим двум сериям назначить истинную длину или автоматически объявить одну серию неверной.
04. Практика 2: перенос на новые условия
Эталон и поправка на систематическое смещение
25–33 минуты · Самостоятельное решение
Независимая проверка на эталонной длине 50,0 мм дала средние показания приборов ниже. Здесь эталонное значение для задачи считается точным.
| Прибор | Показание эталона | Показание объекта |
|---|---|---|
| I | 52,0 мм | 102,0 мм |
| II | 50,0 мм | 100,0 мм |
1 минута — таблица; 3 — определите смещение каждого прибора; 2 — скорректируйте показания объекта; 2 — объясните, почему после коррекции неопределённость не обязательно нулевая. Форма: смещение → поправка → исправленный результат без неоправданных гарантий.
Ответ и объяснение практики 2
Прибор I завышает на 2,0 мм; поправка −2,0 мм; исправленное показание 100,0 мм. II в этой точке смещения не показывает, объект 100,0 мм. Совпадение исправленных значений полезно, но остаются разрешение шкалы, повторяемость, неопределённость эталона в реальности и возможность непостоянной ошибки по диапазону. Одна контрольная точка не калибрует все длины.
05. Обсуждение: аргумент и альтернатива
33–40 минут · Вывод, который можно обосновать
2 минуты — предложите, что полезнее: ещё 100 повторов тем же смещённым прибором или независимая проверка нуля. 3 — обсудите, когда повторы действительно помогают, а когда не решают главную проблему. 2 — сформулируйте правило отчёта: число, единица, оценка, метод.
Опора для обсуждения
Повторы помогают описывать случайный разброс; проверка нуля выявляет другой источник. Выбор зависит от преобладающей причины. Чем больше цифр на калькуляторе, тем не обязательно точнее физический результат.
06. Индивидуальная проверка
40–45 минут · Собственный ответ
Три длины 19,8; 20,0; 20,2 см; δприб=0,1 см. За 3 минуты найдите среднее, Δ по правилу max, относительную оценку и назовите ошибку, которую повторения не уберут. 1 минута — ключ, 1 — исправление.
Ключ и критерии индивидуальной работы
Среднее 20,0 см; полуразмах 0,2 см; Δ=0,2 см; δ=1%. Возможное систематическое смещение нуля не устраняется простым повторением. 1 балл за среднее, 1 за Δ, 1 за процент, 1 за пример смещения.
07. Соответствие исходной программе
Пункт программы → действие ученика → проверяемый результат
| Пункт программы | Действие ученика | Проверяемый результат |
|---|---|---|
| Абсолютная и относительная погрешность физических измерений | Применяет оговорённую оценку серии | Запись x̄±Δ и процент |
| Прямые измерения | Проверяет ноль и единицы | Не выдаёт разброс за истинную ошибку |
| Достоверность эксперимента | Сравнивает проверку и повторы | Выбирает действие под источник ошибки |
Опора — раздел «Эксперименты по физике» опубликованной программы на 64 часа. Урок конкретизирует исходные темы и занимает 45 минут. Сценарий, распределение времени и числовые имитации — методическая разработка. Работа выполняется по готовым координатам и измерениям; реальные измерения безопасной карточки необязательны; это не отчёт о проведённом опыте.
Источники и права на изображения
Источники проверены 15.10.2026. Все числовые серии явно заданы как учебные модели; их нельзя описывать как результаты проведённых авторами опытов. Оригинальные схемы: портал «Школы России», для этого урока. Они не являются фотографиями. Ответы и примечания учителю в PDF вынесены в отдельную часть.
Связанная тема: Урок 34. Средняя и мгновенная скорость