Углублённый курс охватывает комбинаторику, геометрическую вероятность, испытания Бернулли, распределения случайных величин, их числовые характеристики, неравенство Чебышева и закон больших чисел.
Содержание статьи
01. Кратко о программе
| Параметр | Содержание |
|---|---|
| Класс и уровень | 9 класс, углублённый уровень |
| Объём | 34 часа |
| Основные линии | Повторение курса 8 класса; Элементы комбинаторики; Геометрическая вероятность; Испытания Бернулли; Случайная величина; Числовые характеристики случайных величин; Закон больших чисел; Повторение, обобщение, систематизация знаний |
| Результат | Анализ данных, построение вероятностной модели, обоснованный расчёт и интерпретация результата. |
02. Содержание обучения
Комбинаторика и геометрическая вероятность
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетаний и треугольник Паскаля. Свойства чисел сочетаний. Бином Ньютона. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности.
Испытания и распределения
Испытания. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечного множества.
Случайная величина и распределение вероятностей. Примеры случайных величин. Важные распределения — число попыток в серии испытаний до первого успеха и число успехов в серии испытаний Бернулли (геометрическое и биномиальное распределения).
Числовые характеристики и закон больших чисел
Математическое ожидание случайной величины. Физический смысл математического ожидания. Примеры использования математического ожидания. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Математические основания измерения вероятностей. Роль и значение закона больших чисел в науке, в природе и обществе, в том числе в социологических обследованиях и в измерениях.
03. Планируемые результаты
К окончанию 9 класса
Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий.
Использовать понятие геометрической вероятности, находить вероятности событий в опытах, связанных со случайным выбором точек из плоской фигуры, отрезка, длины окружности.
Находить вероятности событий в опытах, связанных с испытаниями до достижения первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайных величинах и распознавать случайные величины в явлениях окружающего мира, оперировать понятием «распределение вероятностей». Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах.
Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости, понимать математическое обоснование близости частоты и вероятности события. Иметь представление о роли закона больших чисел в природе и обществе.
04. Опорные формулы и связи
| Понятие | Формула | Смысл и условия |
|---|---|---|
| Число сочетаний | Комбинаторный коэффициент. | |
| Геометрическая вероятность | Отношение мер областей. | |
| Биномиальная вероятность | Ровно k успехов в n испытаниях. | |
| Математическое ожидание | Среднее по распределению. | |
| Дисперсия случайной величины | Разность второго момента и квадрата ожидания. | |
| Неравенство Чебышева | Оценка вероятности большого отклонения. |
05. Наглядная модель
Биномиальное распределение числа успехов в шести испытаниях при p = 1/2 симметрично и достигает максимума при трёх успехах: 20/64.
06. Связанные материалы
Программа раскрывает содержание и результаты, а тематический план — последовательность разделов и распределение часов.