Планирование по геометрии для 9 класса, углублённый уровень

1. Решение треугольников

Объем: 22 ч.

Содержание раздела

Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°.

Основное тригонометрическое тождество.

Формулы приведения.

Решение треугольников.

Теорема косинусов и теорема синусов.

Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов.

Тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма.

Формула Герона.

Формула площади выпуклого четырехугольника

Основные виды деятельности

• Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов. Cоставлять таблицу значений тригонометрических функций для основных углов от 0 до 180°.
• Выводить соотношения между тригонометрическими функциями.
• Выводить простейшие формулы приведения из геометрических соображений.
• Выводить теорему косинусов и теорему синусов (с радиусом описанной окружности).
• Решать задачи по геометрии с использованием теорем косинусов и синусов, находить радиус описанной окружности.
• Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника.
• Выводить тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма, формулу Герона, формулу площади выпуклого четырехугольника.
• Решать задачи с использованием изученных теорем и соотношений.
• Решать практические задачи на нахождение площади с применением данных формул

2. Подобие треугольников

Объем: 12 ч.

Содержание раздела

Хорды и подобные треугольники в окружности.

Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной.

Применение при решении геометрических задач.

Теоремы Чевы и Менелая.

Понятие о гомотетии

Основные виды деятельности

• Доказывать теоремы о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорему о квадрате касательной, теоремы Чевы и Менелая.
• Исследовать, в том числе с помощью цифровых ресурсов, изучаемые конфигурации.
• Применять данные теоремы при решении геометрических задач.
• Знакомиться с понятием о гомотетии, с его применением, в том числе в практических ситуациях

3. Метод координат

Объем: 10 ч.

Содержание раздела

Уравнение прямой на плоскости.

Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл.

Параллельность и перпендикулярность прямых (через угловой коэффициент).

Уравнение окружности.

Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах.

Формула расстояния от точки до прямой.

Площадь параллелограмма в координатах, понятие об ориентированной площади.

Применение метода координат в практико-ориентированных геометрических задачах

Основные виды деятельности

• Осваивать понятие прямоугольной системы координат, декартовых координат точки.
• Выводить уравнения прямой в координатах, уравнение окружности.
• Выделять полный квадрат для нахождения центра и радиуса окружности по ее уравнению.
• Находить точки пересечения прямых и окружностей в прямоугольной системе координат.
• Решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой.
• Выводить формулу площади параллелограмма в координатах, знакомиться с понятием ориентированной площади.
• Применять метод координат в практико-ориентированных геометрических задачах, исследовать приложения метода координат в вычислительной математике и информатике.
• Использовать цифровые ресурсы для построения и исследований.
• Знакомиться с историей развития геометрии, историей метода координат

4. Векторы

Объем: 20 ч.

Содержание раздела

Векторы на плоскости.

Сложение и вычитание векторов — правила треугольника и параллелограмма.

Умножение вектора на число.

Координаты вектора.

Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах.

Применение векторов в физике, центр масс.

Понятие о базисе (на плоскости).

Разложения векторов по базису.

Скалярное произведение векторов, геометрический смысл и выражение в декартовых координатах.

Дистрибутивность скалярного произведения.

Скалярное произведение и проецирование.

Применение скалярного произведения векторов для нахождения длин и углов.

Решение геометрических задач с помощью скалярного произведения

Основные виды деятельности

• Вводить векторы как направленные отрезки, исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила) смыслы векторов.
• Знать определения суммы и разности векторов, умножения вектора на число, исследовать геометрический и физический смысл этих операций.
• Решать геометрические задачи с использованием векторов.
• Исследовать связь векторов с понятиями равнодействующей сил и равновесия сил, применять векторы к простейшим задачам механики и статики.
• Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, раскладывать векторы сил с помощью проецирования и тригонометрических соотношений.
• Определять скалярное произведение векторов геометрически и в координатах, доказывать равносильность определений и дистрибутивность скалярного произведения.
• Вычислять сумму, разность и скалярное произведение векторов в координатах.
• Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов.
• Исследовать связь скалярного произведения и ортогонального проецирования, применять в задачах.
• Решать геометрические задачи с помощью скалярного произведения.
• Решать задачи на практическое применение скалярного произведения в физике (вычисление работы в механике)

5. Длина окружности и площадь круга

Объем: 16 ч.

Содержание раздела

Правильные многоугольники, вычисление их элементов.

Число π и длина окружности.

Длина дуги окружности.

Радианная мера угла.

Площадь круга и его элементов (сектора и сегмента).

Вычисление периметров и площадей фигур, включающих элементы круга

Основные виды деятельности

• Формулировать определение правильных многоугольников, находить их элементы.
• Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников, определять число π, длину дуги и радианную меру угла.
• Проводить переход от радианной меры угла к градусной и наоборот.
• Определять площадь круга.
• Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг, площадей секторов и сегментов.
• Вычислять площади сложных фигур, включающих элементы окружности (круга).
• Находить площади различных фигур в задачах реальной жизни

6. Движения плоскости

Объем: 10 ч.

Содержание раздела

Центральная симметрия.

Центрально-симметричные фигуры.

Поворот.

Осевая симметрия.

Фигуры, симметричные относительно некоторой оси.

Параллельный перенос.

Понятие движения и его свойства.

Равенство фигур.

Проявления симметрии в природе, живописи, скульптуре, архитектуре.

Композиции движений (простейшие примеры).

Применение в геометрических задачах

Основные виды деятельности

• Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения, центров и осей симметрии.
• Формулировать определения движения плоскости, параллельного переноса, поворота, центральной и осевой симметрии.
• Доказывать их свойства, находить неподвижные точки, оси симметрии.
• Находить центры и оси симметрий простейших фигур.
• Применять параллельный перенос и симметрию при решении геометрических задач.
• Использовать цифровые ресурсы для построений и исследований преобразований плоскости и композиции движений.
• Знакомиться с проявлениями симметрии в природе, живописи, скульптуре, архитектуре

7. Повторение, обобщение, систематизация знаний

Объем: 12 ч.

Содержание раздела

Повторение основных понятий и методов курсов 7–9 классов, обобщение и систематизация знаний

Основные виды деятельности

• Свободно оперировать понятиями: фигура, точка, прямая, угол, многоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник, медиана, биссектриса и высота треугольника, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция; окружность, касательная; равенство и подобие фигур, треугольников; параллельность и перпендикулярность прямых, угол между прямыми, симметрия относительно точки и прямой; длина, расстояние, величина угла, площадь, периметр.
• Использовать формулы: периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, объема прямоугольного параллелепипеда.
• Свободно оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор; использовать эти понятия для представления данных и решения задач, в том числе из других учебных предметов.
• Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса.
• Выбирать метод для решения задачи.
• Применять полученные знания в смежных областях, в практико-ориентированных задачах