Урок 36. Тестовые задания (40 вопросов)

1. $S = \frac{(12 + 17) \cdot 6}{2} = 87$ .

ОТВЕТ: 87

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ .

2. $\left| \overrightarrow{a} \right| = 1$ , $\left| \overrightarrow{b} \right| = 2$ , поэтому $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ .

ОТВЕТ: 0,5

1. $V = 6 \cdot 8 \cdot 12 = 576$ .

ОТВЕТ: 576

1. Юношей $18 - 12 = 6$ , поэтому $P = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ .

Округляем найденную вероятность до сотых: 0,33.

Ответ: 0,33

1. Все три откажут с вероятностью $0,1^{3} = 0,001$ .

2. $P = 1 - 0,001 = 0,999$ .

ОТВЕТ: 0,999

1. При $x \neq 1$ получаем $x - 1 = 3$ , откуда $x = 4$ .

ОТВЕТ: 4

1. $\frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .

ОТВЕТ: 15

1. Минимум соответствует переходу производной от отрицательных значений к положительным.

2. Такой переход происходит при x=-2 и x=4, поэтому точек минимума две.

ОТВЕТ: 2

1. $A = 50000(1 + 0,08 \cdot 2) = 58000$ .

ОТВЕТ: 58 000

1. $200 \cdot 1,15 = 230$ .

ОТВЕТ: 230

1. По графику или по уравнению прямой $y = 1x + 5$ получаем $y(6) = 11$ .

ОТВЕТ: 11

1. $|x - 4| \geq 0$ , равенство достигается при x=4.

2. Минимум равен 2.

ОТВЕТ: 2

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 9t + 8 = 0$ .

2. Корни квадратного уравнения: $t = 1$ и $t = 8$ .

3. Следовательно, $x = 0$ или $x = 3$ .

4. Условию пункта б удовлетворяет только $x = 0$ .

Ответ: а) $x = 0;3$ ; б) $x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$ .

2. Так как основание $2$ больше единицы, знак неравенства сохраняется: $x - 0 \geq 2^{3}$ .

3. С учётом ОДЗ получаем $\lbrack 8; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 8; + \infty)$

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1100}{4} = 275$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1100,\ 825,\ldots,\ 275$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{4(1100 + 275)}{2} = 2750$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,1 \cdot 2750 = 275$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1100 + 275 = 1375$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1 375 тыс. рублей

1. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

2. Число 111 имеет сумму цифр 3 и делится на 3.

ОТВЕТ: Да; 111

1. Положим $t = \cos x$ . Тогда $(2t - 1)(t - 1) = 0$ .

2. Получаем $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = 1$ .

3. Общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

4. На отрезке $\lbrack - 2\pi;0\rbrack$ лежат $- 2\pi$ , $- \frac{5\pi}{3}$ , $- \frac{\pi}{3}$ и 0.

Полное решение пункта а: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- 2\pi; - \frac{5\pi}{3}; - \frac{\pi}{3};0$

1. Критические точки: $3,\ 7,\ 11$ ; точка $7$ не входит в ОДЗ.

2. Расставляем знаки множителей на четырёх промежутках. Кратности всех нулей нечётные, поэтому знак меняется в каждой критической точке.

3. Выбираем нужные промежутки и получаем $\lbrack 3;7) \cup \lbrack 11; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 3;7) \cup \lbrack 11; + \infty)$

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1400}{7} = 200$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1400,\ 1200,\ldots,\ 200$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{7(1400 + 200)}{2} = 5600$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,1 \cdot 5600 = 560$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1400 + 560 = 1960$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1 960 тыс. рублей

1. Остатки степеней тройки по модулю 8 чередуются: $3^{2k} \equiv 1$ , $3^{2k + 1} \equiv 3$ .

2. Поэтому $3^{n} + 1$ даёт остаток 2 при чётном n и остаток 4 при нечётном n.

3. Нулевой остаток невозможен, следовательно, такого натурального n нет.

ОТВЕТ: нет

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{14^{2} + 48^{2}} = 50$ .

ОТВЕТ: 50

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 - 1 = 0$ .

2. Нулевое скалярное произведение означает, что косинус угла равен 0.

ОТВЕТ: 0

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 6^{2} \cdot 10 = 360\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 360$ .

ОТВЕТ: 360

1. $P = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ .

Округляем найденную вероятность до сотых: 0,27.

Ответ: 0,27

1. Для независимых событий $P(A \cap B) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2$ .

ОТВЕТ: 0,2

1. При $x \neq 1$ имеем $x + 2 = 2x - 2$ .

2. Отсюда $x = 4$ .

ОТВЕТ: 4

1. $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ .

ОТВЕТ: 10

1. Во всех трёх нулях производная меняет знак.

2. Следовательно, исходная функция имеет три точки экстремума.

ОТВЕТ: 3

1. $C = \frac{5}{9} \cdot 54 = 30$ .

ОТВЕТ: 30

1. После скидки осталось 80% цены: $0,8x = 2400$ .

2. $x = 3000$ рублей.

ОТВЕТ: 3 000

1. По графику или по уравнению прямой $y = 2x + 6$ получаем $y(7) = 20$ .

ОТВЕТ: 20

1. Модуль равен нулю при $x = - 3$ .

2. Минимальное значение функции равно -5.

ОТВЕТ: -5

1. Обозначим $y = x - 3\pi$ . Разложим: $\left( 2\sin y - 1 \right)\left( \sin y - 1 \right) = 0$ .

2. Получаем $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ или $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

3. Возвращаемся к x и выполняем отбор на данном отрезке.

4. Подходящие корни: $\frac{19\pi}{6},\ \frac{7\pi}{2},\ \frac{23\pi}{6}$ .

Полное решение пункта а: $x = \frac{19\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{23\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \frac{19\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{23\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $\frac{19\pi}{6};\frac{7\pi}{2};\frac{23\pi}{6}$

1. Критические точки: -1, 2 и 5; точка 2 не входит в ОДЗ.

2. Знаки слева направо: минус, плюс, минус, плюс.

3. Получаем $\lbrack - 1;2) \cup \lbrack 5; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack - 1;2) \cup \lbrack 5; + \infty)$

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1200}{5} = 240$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1200,\ 960,\ldots,\ 240$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{5(1200 + 240)}{2} = 3600$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,15 \cdot 3600 = 540$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1200 + 540 = 1740$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1 740 тыс. рублей

1. Квадрат чётного числа чётен и оканчивается чётной цифрой, тогда как число с последней цифрой 5 нечётно.

ОТВЕТ: Нет

1. $S = \frac{(14 + 21) \cdot 8}{2} = 140$ .

ОТВЕТ: 140

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 4 = 31$ .

ОТВЕТ: 31

1. $V = 8 \cdot 9 \cdot 12 = 864$ .

ОТВЕТ: 864

1. Всего 20 равновозможных исходов, благоприятных - 7.

2. $P = \frac{7}{20} = 0,35$ .

ОТВЕТ: 0,35