Урок 36. Итоговое повторение и дальнейший план

Разбор 1. Надёжный короткий балл

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Площадь трапеции вычисляется по основаниям и высоте.

Условие

Основания трапеции равны 12 и 17, высота равна 6. Найдите площадь трапеции по рисунку.

1. $a = 12$ , $b = 17$ , $h = 6$ .

   Не заменяем высоту боковой стороной.

2. $S = \frac{12 + 17}{2} \cdot 6 = \frac{29}{2} \cdot 6$ .

   Сумму оснований делим на 2.

3. $S = 29 \cdot 3 = 87$ .

   Удобно сократить 6 и 2 до умножения.

Ответ: 87

Разбор 2. Физическая формула и единицы

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Все величины подставляем в согласованных единицах СИ.

Условие

Количество теплоты вычисляется по формуле $Q = cm\Delta T$ . Найдите Q, если $c = 4200$ , $m = 1$ , $\Delta T = 4$ .

Удельная теплоёмкость задана в Дж/(кг·°C), масса - в кг, изменение температуры - в °C. Ответ дайте в джоулях.

1. Дано: $c = 4200$ , $m = 1$ , $\Delta T = 4$ .

   Здесь $c$ измеряется в Дж/(кг·°C), масса - в кг, изменение температуры - в °C.

2. $Q = cm\Delta T = 4200 \cdot 1 \cdot 4$ .

   ΔT - готовое изменение температуры, дополнительного вычитания не требуется.

3. $Q = 16800$ Дж.

   Умножаем и указываем единицу результата.

Ответ: 16800

Разбор 3. Полное решение уравнения

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Используем замену и отдельно отвечаем на каждый пункт.

Условие

а) Решите уравнение $4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0$ . б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $\lbrack - 1;1\rbrack$ .

1. $t = 2^{x} > 0$ ; $t^{2} - 9t + 8 = 0$ .

   Степень 4 преобразуем в квадрат степени 2.

2. $(t - 1)(t - 8) = 0$ . Значит $t = 1$ или $t = 8$ .

   Оба корня положительны.

3. $x = 0$ или $x = 3$ . На $\lbrack - 1;1\rbrack$ остаётся 0.

   Пункт а содержит оба корня, пункт б - только отобранный.

ОТВЕТ. а) $x = 0;3$ ; б) $x = 0$ .

Разбор 4. Финансовая модель

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Общая выплата равна основному долгу и всем начисленным процентам.

Условие

В июле банк выдал кредит в размере 1 100 тыс. рублей на 4 года. Каждый январь долг увеличивается на 10%, после чего одним платежом уменьшается так, чтобы к июлю каждого следующего года долг становился на одну и ту же величину меньше. Найдите общую сумму всех выплат за весь срок. Ответ дайте в тысячах рублей.

1. Ежегодное уменьшение: $\frac{1100}{4} = 275$ .

   Долг уменьшается четырьмя равными частями.

2. Остатки перед процентами: $1100;825;550;275$ .

   Всего четыре базы начисления.

3. $1100 + 825 + 550 + 275 = 2750$ .

   Суммируем именно остатки до начисления процентов.

4. $1100 + 0,1 \cdot 2750 = 1375$ тыс. рублей.

   Все проценты равны 275 тыс. рублей.

Ответ: 1 375 тыс. рублей

Разбор 5. Конструкция и признак делимости

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Для делимости на 3 проверяем сумму цифр.

Условие

Может ли число, записанное только цифрами 1, делиться на 3? Приведите пример или докажите невозможность.

1. Берём число 111.

   Оно записано только единицами.

2. $1 + 1 + 1 = 3$ , а 3 делится на 3.

   По признаку делимости число 111 кратно 3.

3. $111 = 3 \cdot 37$ .

   Прямой проверкой подтверждаем конструкцию.

Ответ: Да; 111

Разбор 6. Невозможность по чётности

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Квадрат чётного числа также чётен.

Условие

Может ли число, оканчивающееся цифрой 5, быть квадратом чётного числа? Обоснуйте ответ.

1. Чётное число имеет вид $2k$ ; его квадрат равен $4k^{2}$ .

   Этот квадрат делится на 2.

2. Любое целое число с последней цифрой 5 нечётно.

   Чётность определяется последней цифрой.

3. Одно число не может быть одновременно чётным и нечётным.

   Следовательно, требуемый квадрат невозможен.

Ответ: Нет

Разбор 7. Независимые события и дополнение

Условие

Три лампы работают независимо. Вероятность того, что каждая конкретная лампа перегорит за год, равна 0,5. Найдите вероятность, что хотя бы одна не перегорит.

До решения: что заметить

Событие «хотя бы одна» считаем через противоположное.

Противоположное событие - перегорели все три.

Независимость позволяет перемножить вероятности.

Решение по шагам

Шаг 1. Считаем противоположное событие. Вероятность трёх перегораний:

$$P\left( \text{все перегорели} \right) = 0,5^{3} = 0,125$$

Шаг 2. Вычитаем из единицы. Получаем требуемую вероятность:

$$P\left( \text{хотя бы одна не перегорела} \right) = 1 - 0,125 = 0,875$$

Проверка

Вероятность лежит между 0 и 1.

Ответ больше 0,5, что разумно для трёх ламп.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Сложить три вероятности 0,5. События пересекаются, поэтому простое сложение неверно.

ОТВЕТ: 0,875

Разбор 8. Показательная дробь

Условие

Решите неравенство:

$$\frac{27^{x} - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27}{50x^{2} - 110x + 60,5} \geq 0$$

До решения: что заметить

Числитель выражаем через t = 3ˣ.

Знаменатель сворачиваем в квадрат и исключаем его нуль.

Куб сохраняет знак основания.

Решение по шагам

Шаг 1. Сворачиваем числитель. При t = 3ˣ:

$$t^{3} - 9t^{2} + 27t - 27 = (t - 3)^{3}$$

Шаг 2. Сворачиваем знаменатель. Квадратный трёхчлен:

$$50x^{2} - 110x + 60,5 = \frac{1}{2}(10x - 11)^{2}$$

Шаг 3. Исключаем нуль знаменателя. Он достигается при:

$$10x - 11 = 0\quad \Rightarrow \quad x = 1,1$$

Шаг 4. Решаем по числителю. В остальных точках знаменатель положителен:

$$\left( 3^{x} - 3 \right)^{3} \geq 0$$

$$3^{x} \geq 3$$

$$x \geq 1$$

Шаг 5. Записываем итог. Из луча x ≥ 1 удаляем x = 1,1.

Проверка

x = 1 включается: числитель нулевой, знаменатель положителен.

x = 1,1 исключается: дробь не определена.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

После получения x ≥ 1 забыть удалить 1,1 - нуль знаменателя никогда не входит в ответ.

ОТВЕТ: [1; 1,1) ∪ (1,1; +∞)