Урок 35. Итоговый тренировочный вариант

Разбор 1. Начало варианта с базовой геометрии

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Запишите данные и формулу, даже если вычисление кажется очевидным.

Условие

Основания трапеции равны 18 и 26, высота равна 4. Найдите площадь трапеции по рисунку.

1. $a = 18$ , $b = 26$ , $h = 4$ .

   Высота перпендикулярна основаниям.

2. $S = \frac{a + b}{2}h = \frac{18 + 26}{2} \cdot 4$ .

   Среднюю длину оснований умножаем на высоту.

3. $S = 22 \cdot 4 = 88$ .

   Сохраняем порядок действий: скобки, деление, умножение.

Ответ: 88

Разбор 2. Чтение графика производной

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Экстремум функции определяется сменой знака её производной.

Условие

На рисунке изображён график производной функции; её нули имеют абсциссы -2, 1, 4. Сколько точек максимума имеет функция на показанном интервале?

1. Знаки слева направо: $- , + , - , +$ .

   Смотрим выше или ниже оси лежит график.

2. В $x = 1$ происходит переход $+ \rightarrow -$ .

   Функция сначала возрастает, затем убывает.

3. Точка максимума одна.

   Точки $- 2$ и 4 - минимумы.

Ответ: 1

Разбор 3. Показательное уравнение с полным отбором

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Сначала находим все корни, затем проверяем отрезок.

Условие

а) Решите уравнение $4^{x} - 40 \cdot 2^{x} + 256 = 0$ . б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 2;4\rbrack$ .

1. $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 40t + 256 = 0$ .

   $4^{x} = (2^{x})^{2}$ .

2. $(t - 8)(t - 32) = 0$ . Значит $t = 8$ или $t = 32$ .

   8 и 32 дают сумму 40 и произведение 256.

3. $x = 3$ или $x = 5$ .

   Возвращаемся от степени к её показателю.

4. В $\lbrack 2;4\rbrack$ входит только $x = 3$ .

   Корень 5 сохраняется в пункте а, но исключается из пункта б.

ОТВЕТ. а) $x = 3;5$ ; б) $x = 3$ .

Разбор 4. Финансовая модель в пробном варианте

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Учитываем проценты только на непогашенный остаток.

Условие

В июле банк выдал кредит в размере 1 300 тыс. рублей на 5 лет. Каждый январь долг увеличивается на 15%, после чего одним платежом уменьшается так, чтобы к июлю каждого следующего года долг становился на одну и ту же величину меньше. Найдите общую сумму всех выплат за весь срок. Ответ дайте в тысячах рублей.

1. Ежегодное уменьшение: $\frac{1300}{5} = 260$ .

   Пять равных частей составляют основной долг.

2. Остатки перед начислением: $1300;1040;780;520;260$ .

   После последнего платежа долг равен нулю.

3. Сумма остатков: $\frac{5(1300 + 260)}{2} = 3900$ .

   Используем сумму арифметической прогрессии.

4. $1300 + 0,15 \cdot 3900 = 1885$ тыс. рублей.

   Добавляем сумму всех процентов к основному долгу.

Ответ: 1 885 тыс. рублей

Разбор 5. Квадрат нечётного числа по модулю 8

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Запишем нечётное число как $2k + 1$ .

Условие

Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел делиться на 8? Обоснуйте ответ.

1. $(2k + 1)^{2} = 4k(k + 1) + 1$ .

   Раскрываем квадрат и группируем слагаемые.

2. Число $k(k + 1)$ чётно, поэтому $4k(k + 1)$ делится на 8.

   Среди двух соседних целых одно чётное.

3. Каждый нечётный квадрат даёт остаток 1; сумма трёх - остаток 3.

   Остатки можно складывать.

4. Сумма не делится на 8.

   Для делимости нужен остаток 0.

Ответ: Нет

Разбор 6. Положительный ответ через конструкцию

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Для существования достаточно одного подходящего примера.

Условие

Существует ли натуральное n, для которого 5ⁿ + 2ⁿ делится на 7? Обоснуйте ответ.

1. Попробуем наименьшее натуральное $n = 1$ .

   Это допустимый показатель.

2. $5^{1} + 2^{1} = 7$ .

   Число 7 делится на 7 без остатка.

3. Такое натуральное $n$ существует.

   Пример с проверкой доказывает положительный ответ.

Ответ: Да

Разбор 7. Движение двух велосипедистов

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились на дистанцию 190 км. Скорость первого на 9 км/ч больше, поэтому он финишировал на 9 часов раньше. Найдите скорость более быстрого.

До решения: что заметить

Пусть скорость медленного равна v, быстрого - v + 9.

Время равно расстоянию, делённому на скорость.

Из времени медленного вычитаем время быстрого.

Решение по шагам

Шаг 1. Составляем уравнение. Разность времён равна 9:

$$\frac{190}{v} - \frac{190}{v + 9} = 9$$

Шаг 2. Убираем знаменатели. При v > 0 умножаем на v(v + 9):

$$190(v + 9) - 190v = 9v(v + 9)$$

Шаг 3. Решаем. После упрощения:

$$v^{2} + 9v - 190 = 0$$

$$(v - 10)(v + 19) = 0$$

Шаг 4. Возвращаемся к вопросу. Положительный корень v = 10 - скорость медленного. Быстрый ехал:

$$v + 9 = 19$$

Проверка

190/10 = 19 часов, 190/19 = 10 часов; разница 9.

В ответ записана скорость быстрого.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Записать 10 - это скорость медленного участника. После решения вернитесь к вопросу.

ОТВЕТ: 19 км/ч

Разбор 8. Тригонометрическое уравнение с отбором

Условие

Решите уравнение и выберите корни на отрезке [−4π; −5π/2].

$$2\sin^{3}x = \sqrt{2}\cos^{2}x + 2\sin x$$

$$x \in \left\lbrack - 4\pi; - \frac{5\pi}{2} \right\rbrack$$

До решения: что заметить

Выражаем sin³x − sin x через cos²x.

После вынесения множителя будут две независимые ветви.

Не делим на cos²x: так можно потерять корни.

Решение по шагам

Шаг 1. Факторизуем. Используем sin²x − 1 = −cos²x:

$$2\sin^{3}x - 2\sin x - \sqrt{2}\cos^{2}x = 0$$

$$- \cos^{2}x\left( 2\sin x + \sqrt{2} \right) = 0$$

Шаг 2. Получаем ветви. Произведение равно нулю:

$$\cos x = 0$$

$$\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3. Записываем серии. Полное решение:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$

$$x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

$$x = - \frac{3\pi}{4} + 2\pi m,\quad\quad k,n,m \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Отбираем первую серию. Подходят k = −4 и −3:

$$x = - \frac{7\pi}{2},\ - \frac{5\pi}{2}$$

Шаг 5. Отбираем остальные. Первая синусная серия корней не даёт; во второй подходит m = −1:

$$x = - \frac{11\pi}{4}$$

Проверка

Граница −5π/2 включена и является корнем.

Каждый ответ даёт cos x = 0 или sin x = −√2/2.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Разделить на cos²x и потерять всю ветвь cos x = 0.

ОТВЕТ. а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ , $x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = - \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ , $k,n,m \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- \frac{7\pi}{2}; - \frac{11\pi}{4}; - \frac{5\pi}{2}$ .

Деталь отбора: $- \frac{9}{2} \leq k \leq - 3$ , откуда $k = - 4, - 3$ . Для серии $- \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ получаем $- \frac{15}{8} \leq n \leq - \frac{9}{8}$ : целых значений нет. Для серии $- \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ имеем $- \frac{13}{8} \leq m \leq - \frac{7}{8}$ , поэтому $m = - 1$ .