Урок 34. Практикум: финансовые и целочисленные задачи

Разбор 1. Кредит с равным уменьшением долга

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Платёж состоит из возвращаемой части долга и начисленных процентов.

Условие

В июле банк выдал кредит в размере 1 300 тыс. рублей на 4 года. Каждый январь долг увеличивается на 15%, после чего одним платежом уменьшается так, чтобы к июлю каждого следующего года долг становился на одну и ту же величину меньше. Найдите общую сумму всех выплат за весь срок. Ответ дайте в тысячах рублей.

1. Каждый год основной долг уменьшается на $\frac{1300}{4} = 325$ .

   Равномерно уменьшается долг после платежей, сами платежи могут быть разными.

2. Остатки перед процентами: $1300;975;650;325$ .

   Проценты первого года начисляются на весь кредит, последнего - на последний непогашенный остаток.

3. $1300 + 975 + 650 + 325 = 3250$ .

   Суммируем базы начисления процентов.

4. $0,15 \cdot 3250 = 487,5$ .

   Это все проценты за 4 года.

5. $1300 + 487,5 = 1787,5$ тыс. рублей.

   Основной долг возвращается полностью ровно один раз.

Ответ: 1787,5 тыс. рублей

Разбор 2. Сумма выплат через прогрессию

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Остатки долга образуют арифметическую прогрессию.

Условие

В июле банк выдал кредит в размере 1 400 тыс. рублей на 5 лет. Каждый январь долг увеличивается на 20%, после чего одним платежом уменьшается так, чтобы к июлю каждого следующего года долг становился на одну и ту же величину меньше. Найдите общую сумму всех выплат за весь срок. Ответ дайте в тысячах рублей.

1. Уменьшение долга $\frac{1400}{5} = 280$ .

   Пять равных частей погашают весь основной долг.

2. Остатки: $1400;1120;840;560;280$ .

   Это базы начисления процентов в пяти годах.

3. Сумма остатков: $\frac{5(1400 + 280)}{2} = 4200$ .

   Сумма прогрессии - полусумма крайних членов, умноженная на их количество.

4. $1400 + 0,2 \cdot 4200 = 2240$ тыс. рублей.

   Возвращаем основной долг и платим проценты.

Ответ: 2 240 тыс. рублей

Разбор 3. Делимость для любого натурального показателя

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Если числа дают одинаковый остаток, их степени дают одинаковые остатки.

Условие

Всегда ли число 10ⁿ − 1 делится на 9 при натуральном n? Докажите.

1. $10 = 9 + 1$ , поэтому $10 \equiv 1$ по модулю 9.

   Вместо большого числа достаточно работать с остатком.

2. $10^{n} \equiv 1^{n} = 1$ по модулю 9.

   Это верно для любого натурального $n$ .

3. $10^{n} - 1 \equiv 0$ по модулю 9.

   Нулевой остаток означает делимость на 9.

Ответ: Да

Разбор 4. Доказательство невозможности

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Для отрицательного ответа нужно исключить все натуральные $n$ .

Условие

Существует ли натуральное n, при котором 10ⁿ + 1 делится на 3? Обоснуйте ответ.

1. $10 \equiv 1$ по модулю 3.

   У числа 10 остаток 1.

2. $10^{n} + 1 \equiv 1 + 1 = 2$ по модулю 3.

   Остаток не зависит от показателя.

3. Нулевой остаток невозможен.

   Значит ни одно натуральное $n$ не подходит.

Ответ: Нет

Разбор 5. Платёж в конкретном году

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Перед третьим начислением процентов уже сделаны два платежа.

Условие

В июле банк выдал кредит в размере 900 тыс. рублей на 5 лет. Каждый январь долг увеличивается на 20%, после чего одним платежом уменьшается так, чтобы к июлю каждого следующего года долг становился на одну и ту же величину меньше. Найдите платёж в 3-й год. Ответ дайте в тысячах рублей.

1. Уменьшение долга: $\frac{900}{5} = 180$ .

   В каждом году погашают одну и ту же часть основного долга.

2. $D_{2} = 900 - 2 \cdot 180 = 540$ .

   Это остаток после второго платежа и база процентов третьего года.

3. $0,2 \cdot 540 = 108$ .

   Процентная часть третьего платежа.

4. $P_{3} = 180 + 108 = 288$ тыс. рублей.

   К процентам добавляем очередное уменьшение основного долга.

Ответ: 288 тыс. рублей

Разбор 6. Чётность суммы

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Любое нечётное целое число имеет вид $2k + 1$ .

Условие

Может ли сумма трёх нечётных целых чисел быть равна 2026? Обоснуйте ответ.

1. Сумма первых двух нечётных чисел чётна.

   $(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$ .

2. Добавление третьего нечётного даёт нечётное число.

   Получаем $2(a + b + c + 1) + 1$ .

3. 2026 чётно, значит равенство невозможно.

   Сравниваем чётность обеих сторон.

Ответ: Нет

Разбор 7. Постоянный долг и равные финальные выплаты

Условие

Кредит 6,6 млн рублей взят на пять лет. Каждый январь долг увеличивается на r%. После платежей первых трёх лет июльский долг снова равен 6,6 млн рублей.

Выплаты четвёртого и пятого годов одинаковы, после последней долг равен нулю. Общая сумма выплат - 12,6 млн рублей. Найдите r.

До решения: что заметить

Считаем в миллионах рублей.

Пусть q = 1 + r/100, B - остаток после четвёртого платежа.

Схему надо перенести из модели урока 27, но все числа пересчитать заново.

Решение по шагам

Шаг 1. Первые три платежа. Долг после платежа снова равен 6,6:

$$P_{1} = P_{2} = P_{3} = 6,6(q - 1)$$

Шаг 2. Связываем последние платежи. Четвёртый равен 6,6q − B, пятый - Bq:

$$6,6q - B = Bq$$

$$B = \frac{6,6q}{q + 1}$$

Шаг 3. Составляем уравнение суммы. Последние платежи равны Bq:

$$19,8(q - 1) + \frac{13,2q^{2}}{q + 1} = 12,6$$

Шаг 4. Упрощаем. Умножаем на q + 1:

$$55q^{2} - 21q - 54 = 0$$

Шаг 5. Отбираем корень. Дискриминант равен 111²; допустимый корень:

$$q = \frac{21 + 111}{110} = 1,2$$

$$r = 20$$

Проверка

Первые три платежа равны по 1,32 млн рублей.

Второй корень q = −9/11 не является коэффициентом роста.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Приравнять последний платёж к B. Перед последним платежом проценты начисляются ещё раз, поэтому платёж равен Bq.

ОТВЕТ: 20%

Полная проверка суммы: после четвёртого платежа долг 3,6 млн рублей; последние два платежа по $3,6 \cdot 1,2 = 4,32$ млн. Итого $3 \cdot 1,32 + 2 \cdot 4,32 = 12,6$ млн рублей.

Разбор 8. Задание 19а: цепочка разрешённых ходов

Условие

Пару натуральных чисел (a; b), a > b, заменяют на (a + b; a − b). Можно ли из (100; 1) получить пару, большее число которой равно 400?

$$(a,b) \mapsto (a + b,a - b)$$

До решения: что заметить

Для положительного ответа нужна конкретная цепочка.

Два последовательных хода превращают (a; b) в (2a; 2b).

Промежуточные пары всё равно выписываем для проверки допустимости.

Решение по шагам

Шаг 1. Выводим эффект двух ходов. Применяем операцию к уже преобразованной паре:

$$\left( (a + b) + (a - b),(a + b) - (a - b) \right) = (2a,2b)$$

Шаг 2. Первые два хода. Исходная пара удваивается:

$$(100,1) \rightarrow (101,99) \rightarrow (200,2)$$

Шаг 3. Ещё два хода. Повторяем удвоение:

$$(200,2) \rightarrow (202,198) \rightarrow (400,4)$$

Шаг 4. Формулируем вывод. Последняя пара допустима, её больший компонент равен 400.

Проверка

Все разности положительны.

Два удвоения превращают (100; 1) в (400; 4).

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Сослаться на удвоение без вывода. Одной строкой покажите, почему два хода дают (2a; 2b).

ОТВЕТ: Да: получается пара (400; 4)