Урок 34. Тестовые задания (40 вопросов)

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{7^{2} + 24^{2}} = 25$ .

ОТВЕТ: 25

1. Для перпендикулярных векторов $3k + 2 \cdot ( - 6) = 0$ .

2. $3k = 12$ , поэтому $k = 4$ .

ОТВЕТ: 4

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 6^{2} \cdot 7 = 252\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 252$ .

ОТВЕТ: 252

1. Подходят исходы 5 и 6: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

ОТВЕТ: $\frac{1}{3}$

1. Несовместимые вероятности складываются: $P = 0,35 + 0,25 = 0,6$ .

ОТВЕТ: 0,6

1. $x - 1 = 2^{3} = 8$ .

2. $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

ОТВЕТ: 9

1. $5 + 3 = 8$ .

ОТВЕТ: 8

1. Ищем переходы производной от минуса к плюсу.

2. Они происходят при x=-3 и x=3, поэтому точек минимума две.

ОТВЕТ: 2

1. $E = \frac{4 \cdot 3^{2}}{2} = 18$ Дж.

ОТВЕТ: 18

1. Скорость по течению $15 + 3 = 18$ км/ч.

2. Путь $18 \cdot 2 = 36$ км.

ОТВЕТ: 36

1. По графику или по уравнению прямой $y = 1x + 3$ получаем $y(1) = 4$ .

ОТВЕТ: 4

1. $f\prime(x) = 3x^{2} - 3$ , критическая точка на отрезке: $x = - 1$ .

2. $f( - 2) = - 2$ , $f( - 1) = 2$ , $f(0) = 0$ .

3. Наибольшее значение равно 2.

ОТВЕТ: 2

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1300}{4} = 325$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1300,\ 975,\ldots,\ 325$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{4(1300 + 325)}{2} = 3250$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,15 \cdot 3250 = 487,5$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1300 + 487,5 = 1787,5$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1787,5 тыс. рублей

1. По модулю 9 имеем $10 \equiv 1$ .

2. Поэтому $10^{n} - 1 \equiv 1^{n} - 1 \equiv 0\ (mod\ 9)$ .

ОТВЕТ: Да

1. $S = \frac{(16 + 22) \cdot 9}{2} = 171$ .

ОТВЕТ: 171

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 8 \cdot 4 + (4) \cdot 7 = 60$ .

ОТВЕТ: 60

1. Положим $t = \sin x$ . Тогда $(2t - 1)(t + 1) = 0$ .

2. Получаем $\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = - 1$ .

3. Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ .

4. На отрезке $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ лежат $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2}$ .

Полное решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{2}$

1. Критические точки: $1,\ 4,\ 8$ ; точка $4$ не входит в ОДЗ.

2. Расставляем знаки множителей на четырёх промежутках. Кратности всех нулей нечётные, поэтому знак меняется в каждой критической точке.

3. Выбираем нужные промежутки и получаем $\lbrack 1;4) \cup \lbrack 8; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 1;4) \cup \lbrack 8; + \infty)$

1. Положим $t = 3^{x} > 0$ . Тогда $t^{2} - 13t + 36 = 0$ .

2. Получаем t=4 или t=9.

3. Следовательно, $x = \log_{3}4$ или $x = 2$ .

4. Оба корня принадлежат отрезку $\lbrack 1;2\rbrack$ .

Ответ: а) $x = log_{3}4;2$ ; б) $x = log_{3}4;2$

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. Основание $\frac{1}{2}$ лежит между 0 и 1, поэтому знак при переходе к аргументам меняется: $x - 1 < \left( \frac{1}{2} \right)^{- 2} = 4$ .

3. Совмещая с ОДЗ, получаем $1 < x < 5$ .

ОТВЕТ: $(1;5)$

1. $V = 9 \cdot 6 \cdot 10 = 540$ .

ОТВЕТ: 540

1. Их скалярное произведение равно $2 \cdot 5 - k$ .

2. Из $10 - k = 0$ получаем $k = 10$ .

ОТВЕТ: 10

1. Вероятность двух промахов: $(1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,06$ .

2. Искомая вероятность: $1 - 0,06 = 0,94$ .

ОТВЕТ: 0,94

1. Подходят 2, 3 и 5: $P = \frac{3}{6} = 0,5$ .

ОТВЕТ: 0,5

1. События несовместимы: в один день не могут состояться обе контрольные.

2. Вероятность их объединения равна сумме: $0,4 + 0,3 = 0,7$ .

Ответ: 0,7

1. $2x + 1 = 3^{2} = 9$ .

2. $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

ОТВЕТ: 4

1. $3 - 3 = 0$ .

ОТВЕТ: 0

1. $S = 50 \cdot 2 + 45 \cdot 3 = 235$ км.

ОТВЕТ: 235

1. $100 = 4v^{2}$ , значит $v^{2} = 25$ .

2. Скорость положительна, поэтому v=5 м/с.

ОТВЕТ: 5

1. Скорость против течения $18 - 2 = 16$ км/ч.

2. Путь $16 \cdot 3 = 48$ км.

ОТВЕТ: 48

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1400}{5} = 280$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1400,\ 1120,\ldots,\ 280$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{5(1400 + 280)}{2} = 4200$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,2 \cdot 4200 = 840$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1400 + 840 = 2240$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 2 240 тыс. рублей

1. $f\prime(x) = 3x^{2} - 12$ , критическая точка $x = 2$ .

2. $f(0) = 0$ , $f(2) = - 16$ , $f(3) = - 9$ .

3. Наибольшее значение равно 0.

ОТВЕТ: 0

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = 20$ .

ОТВЕТ: 20

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 4 + ( - 2) \cdot 8 = - 8$ .

ОТВЕТ: -8

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 2^{2} \cdot 8 = 32\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 32$ .

ОТВЕТ: 32

1. Всего 20 равновозможных исходов, благоприятных - 10.

2. $P = \frac{10}{20} = 0,5$ .

ОТВЕТ: 0,5

1. Перед начислением процентов в 3-й год остаток равен $540$ тыс. рублей.

2. Проценты составят $0,2 \cdot 540 = 108$ тыс. рублей.

3. Часть основного долга во всех платежах одинакова: $\frac{900}{5} = 180$ .

4. Платёж: $180 + 108 = 288$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 288 тыс. рублей

1. В первые два года долг уменьшается на $\frac{1500 - 900}{2} = 300$ тыс. рублей, затем - на $\frac{900}{4} = 225$ тыс. рублей.

2. Остатки перед начислениями равны 1 500, 1 200, 900, 675, 450 и 225 тыс. рублей.

3. Их сумма равна 4 950 тыс. рублей, поэтому проценты составят $0,12 \cdot 4950 = 594$ тыс. рублей.

4. Общая сумма выплат равна $1500 + 594 = 2094$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 2 094 тыс. рублей

1. Последняя цифра квадрата определяется последней цифрой исходного числа.

2. Квадраты цифр 0-9 оканчиваются только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

ОТВЕТ: Нет

1. Сумма двух нечётных чисел чётна, а добавление третьего нечётного даёт нечётное число.

2. Число 2026 чётно.

ОТВЕТ: Нет