Урок 33. Практикум: первая часть и неравенства

Разбор 1. Логарифмическое неравенство и ОДЗ

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Логарифм существует только при положительном аргументе.

Условие

Решите неравенство $\log_{3}(x - 1) \leq 2$ .

1. $x - 1 > 0$ , значит $x > 1$ .

   Это ОДЗ исходного выражения.

2. $log_{3}(x - 1) \leq 2$ равносильно $x - 1 \leq 3^{2}$ .

   Основание 3 больше 1, логарифмическая функция возрастает.

3. $x \leq 10$ . Пересекаем с $x > 1$ .

   Оба требования должны выполняться одновременно.

4. $x \in (1;10\rbrack$ .

   1 не включаем из-за ОДЗ, 10 включаем из-за нестрогого знака.

Ответ: $(1;10\rbrack$

Разбор 2. Метод интервалов с нулём знаменателя

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Для дроби нужны нули числителя и запрещённые точки.

Условие

Решите неравенство $\frac{(x - 2)(x - 9)}{x - 5} \geq 0$ .

1. $x \neq 5$ ; нули числителя - 2 и 9.

   В точке 5 дробь не определена, поэтому её никогда не включаем.

2. Разбиваем ось точками $2,5,9$ .

   На каждом открытом промежутке знак дроби постоянен.

3. Справа от 9 все множители положительны. Знаки слева направо: $- , + , - , +$ .

   Каждый линейный множитель имеет нечётную кратность, поэтому знак меняется в каждой отмеченной точке.

4. $x \in \lbrack 2;5) \cup \lbrack 9; + \infty)$ .

   Берём участки со знаком плюс и допустимые нули числителя.

Ответ: $\lbrack 2;5) \cup \lbrack 9; + \infty)$

Разбор 3. Убывающая показательная функция

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. При $0 < a < 1$ большему показателю соответствует меньшее значение степени.

Условие

Решите неравенство $(\frac{1}{2})^{x - 1} \geq \frac{1}{8}$ .

1. $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ .

   Приводим правую часть к тому же основанию.

2. $(\frac{1}{2})^{x - 1} \geq (\frac{1}{2})^{3}$ равносильно $x - 1 \leq 3$ .

   Основание меньше 1, поэтому знак при сравнении показателей меняется.

3. $x \leq 4$ , то есть $x \in ( - \infty;4\rbrack$ .

   Показательная функция определена при любом действительном $x$ .

ОТВЕТ. $x \in ( - \infty;4\rbrack$ .

Разбор 4. Логарифм с основанием меньше единицы

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. $0 < \frac{1}{2} < 1$ , поэтому логарифмическая функция убывает.

Условие

Решите неравенство $log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \geq 2$ .

1. $x > 2$ .

   Аргумент $x - 2$ должен быть положительным.

2. $x - 2 \leq (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .

   При переходе к аргументам знак меняется: большему логарифму соответствует меньший аргумент.

3. $2 < x \leq \frac{9}{4}$ .

   Объединяем полученное ограничение с ОДЗ.

4. $x \in (2;\frac{9}{4}\rbrack$ .

   Левую границу исключаем, правую включаем.

ОТВЕТ. $x \in (2;\frac{9}{4}\rbrack$ .

Разбор 5. Нестрогое неравенство и скобки

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Нули числителя можно включить, нуль знаменателя - нельзя.

Условие

Решите неравенство $\frac{(x - 0)(x - 7)}{x - 3} \leq 0$ .

1. $x \neq 3$ . Нули числителя - 0 и 7.

   Отмечаем все точки, в которых может измениться знак.

2. Слева направо знаки: $- , + , - , +$ .

   Справа от 7 знак положительный; при каждом линейном множителе он меняется.

3. $x \in ( - \infty;0\rbrack \cup (3;7\rbrack$ .

   Выбираем отрицательные участки и допустимые нули, поскольку знак $\leq 0$ .

Ответ: $( - \infty;0\rbrack \cup (3;7\rbrack$

Разбор 6. Уравнение рядом с неравенством

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. В уравнении ищем отдельные корни, а не промежутки.

Условие

а) Решите уравнение $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ . б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $\lbrack - 1;1\rbrack$ .

1. $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 5t + 4 = 0$ .

   Связь $4^{x} = (2^{x})^{2}$ позволяет сделать замену.

2. $(t - 1)(t - 4) = 0$ ; $t = 1$ или $t = 4$ .

   Оба значения соответствуют положительной степени 2.

3. $x = 0$ или $x = 2$ . В $\lbrack - 1;1\rbrack$ входит только 0.

   Раздельно записываем общий ответ и отбор.

ОТВЕТ. а) $x = 0;2$ ; б) $x = 0$ .

Разбор 7. Простейшее логарифмическое уравнение

Условие

Найдите корень уравнения:

$$\log_{5}(20 - x) = 2$$

До решения: что заметить

Аргумент логарифма должен быть положительным.

Равенство log₅A = 2 означает A = 5².

После решения делаем подстановку.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем ОДЗ. Требование к аргументу:

$$20 - x > 0\quad \Rightarrow \quad x < 20$$

Шаг 2. Переходим к степени. По определению логарифма:

$$20 - x = 5^{2}$$

Шаг 3. Решаем. Получаем:

$$20 - x = 25$$

$$x = - 5$$

Проверка

−5 < 20, ОДЗ выполнено.

Подстановка: log₅25 = 2.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Считать 5² как 5 · 2. Логарифм задаёт показатель степени.

ОТВЕТ: −5

Разбор 8. Задание 15: квадрат в знаменателе

Условие

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{2}(2 - x) - \log_{2}(x + 1)}{\log_{2}^{2}\left( x^{2} \right) + \log_{2}\left( x^{4} \right) + 1} \geq 0$$

До решения: что заметить

ОДЗ числителя: −1 < x < 2; логарифмы x² и x⁴ требуют x ≠ 0.

Знаменатель сворачивается в квадрат, но его нули исключаются.

После этого знак дроби определяется числителем.

Решение по шагам

Шаг 1. Сворачиваем знаменатель. Используем log₂(x⁴) = 2log₂(x²):

$$\log_{2}^{2}\left( x^{2} \right) + 2\log_{2}\left( x^{2} \right) + 1 = \left( \log_{2}\left( x^{2} \right) + 1 \right)^{2}$$

Шаг 2. Находим запрещённые точки. Квадрат равен нулю при log₂(x²) = −1:

$$x^{2} = \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Также исключён x = 0.

Шаг 3. Решаем по числителю. В остальных точках знаменатель положителен:

$$\log_{2}(x + 1) \leq \log_{2}(2 - x)$$

Шаг 4. Сравниваем аргументы. Основание 2 больше 1:

$$0 < x + 1 \leq 2 - x$$

$$- 1 < x \leq \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Удаляем точки разрыва. На найденном промежутке удаляем −√2/2 и 0. Положительная √2/2 больше 1/2.

Проверка

x = 1/2 включается: числитель нулевой, знаменатель ненулевой.

Нули знаменателя в ответ не входят.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Сказать «знаменатель - квадрат, значит положителен» и оставить его нули в ответе.

ОТВЕТ: (−1; −√2/2) ∪ (−√2/2; 0) ∪ (0; 1/2]