Урок 32. Практикум: первая часть и уравнения

Разбор 1. Цилиндр и значение объёма

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Площадь круга равна $\pi r^{2}$ , объём цилиндра - площади основания, умноженной на высоту.

Условие

Радиус основания цилиндра равен 6, высота - 4. Найдите $\frac{V}{\pi}$ .

1. $V = \pi r^{2}h$ .

   Формулу записываем до подстановки, чтобы не потерять квадрат радиуса.

2. $r^{2} = 6^{2} = 36$ ; $V = \pi \cdot 36 \cdot 4 = 144\pi$ .

   Сначала возводим радиус в квадрат, затем умножаем на высоту.

3. $\frac{V}{\pi} = 144$ .

   Вопрос просит объём, поделённый на π, поэтому π в ответ не переносим.

Ответ: 144

Разбор 2. Максимум по знаку производной

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Нужен переход $f\prime$ от плюса к минусу.

Условие

На рисунке изображён график производной функции; её нули имеют абсциссы -3, 1, 3. Сколько точек максимума имеет функция на показанном интервале?

1. Читаем знаки $f\prime$ : $- , + , - , +$ .

   Производная положительна над осью и отрицательна под осью.

2. В точке $x = 1$ знак $+$ сменяется на $-$ .

   Это переход от возрастания функции к убыванию.

3. Точек максимума - 1.

   Нули $- 3$ и 3 дают минимумы, а не максимумы.

Ответ: 1

Разбор 3. Замена в показательном уравнении

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Степени 4 и 2 связаны равенством $4^{x} = (2^{x})^{2}$ .

Условие

а) Решите уравнение $4^{x} - 10 \cdot 2^{x} + 16 = 0$ . б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 0;2\rbrack$ .

1. $t = 2^{x} > 0$ .

   Замена превращает уравнение в квадратное; условие положительности сохраняем.

2. $t^{2} - 10t + 16 = 0$ ; $(t - 2)(t - 8) = 0$ .

   Подбираем числа с суммой 10 и произведением 16.

3. $t = 2$ или $t = 8$ . Получаем $2^{x} = 2$ или $2^{x} = 8$ .

   Оба значения положительны, поэтому обе ветви допустимы.

4. $x = 1$ или $x = 3$ . На отрезке $\lbrack 0;2\rbrack$ остаётся $x = 1$ .

   Сначала решаем пункт а полностью, затем отдельно выполняем отбор.

ОТВЕТ. а) $x = 1;3$ ; б) $x = 1$ .

Разбор 4. Показательное уравнение с большими числами

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Размер коэффициентов не меняет способ решения.

Условие

а) Решите уравнение $4^{x} - 272 \cdot 2^{x} + 4096 = 0$ . б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $\lbrack 3;5\rbrack$ .

1. $t = 2^{x} > 0$ ; $t^{2} - 272t + 4096 = 0$ .

   Снова сводим задачу к квадратному уравнению.

2. $16 + 256 = 272$ и $16 \cdot 256 = 4096$ .

   По теореме Виета корни замены равны 16 и 256.

3. $2^{x} = 16 = 2^{4}$ или $2^{x} = 256 = 2^{8}$ .

   Возвращаемся к исходной переменной.

4. $x = 4$ или $x = 8$ . В $\lbrack 3;5\rbrack$ входит только 4.

   Для пункта б проверяем каждый корень, найденный в пункте а.

ОТВЕТ. а) $x = 4;8$ ; б) $x = 4$ .

Разбор 5. Квадратное уравнение относительно косинуса

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Обозначим $t = cos\ x$ и учтём $- 1 \leq t \leq 1$ .

Условие

а) Решите уравнение $2\cos^{2}(x) + \cos(x) - 1 = 0$ . б) Найдите корни на отрезке $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ .

1. $2t^{2} + t - 1 = (2t - 1)(t + 1) = 0$ .

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

2. $cos\ x = \frac{1}{2}$ или $cos\ x = - 1$ .

   Оба значения допустимы для косинуса.

3. $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

   Это полное решение пункта а.

4. На $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ : $\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}$ .

   У косинуса 1/2 два корня за период; у косинуса −1 один.

ОТВЕТ. а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $\frac{\pi}{3};\pi;\frac{5\pi}{3}$

Разбор 6. Сдвиг аргумента и отбор корней

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Вводим новую переменную вместе с её отрезком.

Условие

а) Решите уравнение $2\sin^{2}(x + 5\pi) - 3\sin(x + 5\pi) + 1 = 0$ . б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left\lbrack - \frac{11\pi}{2}; - 3\pi \right\rbrack$ .

1. $y = x + 5\pi$ ; $y \in \lbrack - \frac{\pi}{2};2\pi\rbrack$ .

   К обеим границам исходного отрезка прибавляем 5π.

2. $(2sin\ y - 1)(sin\ y - 1) = 0$ .

   Квадратное уравнение раскладывается на множители.

3. $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ .

   Это все ветви, поскольку $sin\ y = 1/2$ или 1.

4. $x = - \frac{29\pi}{6} + 2\pi k$ , $x = - \frac{25\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{9\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

   Из каждой серии вычитаем 5π - получаем пункт а.

5. На отрезке для $y$ подходят только $\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}$ . Поэтому $x = - \frac{29\pi}{6}, - \frac{9\pi}{2}, - \frac{25\pi}{6}$ .

   Соседние периоды выходят за отрезок; в каждой серии здесь $k = 0$ .

ОТВЕТ. а) $x = - \frac{29\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{25\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{9\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- \frac{29\pi}{6}; - \frac{9\pi}{2}; - \frac{25\pi}{6}$

Разбор 7. Смеси: одно уравнение по массе вещества

Условие

Первый сплав содержит 60% меди, второй - 10%. Второго сплава на 90 кг больше. После смешивания получили сплав с 20% меди. Найдите массу смеси.

До решения: что заметить

Пусть первого сплава x кг, второго - x + 90.

Масса меди до смешивания равна массе меди после.

Проценты переводим в коэффициенты 0,6; 0,1; 0,2.

Решение по шагам

Шаг 1. Составляем баланс меди. Медь в исходных сплавах равна меди в смеси:

$$0,6x + 0,1(x + 90) = 0,2(2x + 90)$$

Шаг 2. Решаем уравнение. Раскрываем скобки:

$$0,7x + 9 = 0,4x + 18$$

$$0,3x = 9$$

$$x = 30$$

Шаг 3. Находим массу смеси. Массы равны 30 и 120 кг:

$$30 + 120 = 150$$

Проверка

Меди 18 + 12 = 30 кг.

20% от 150 кг тоже равно 30 кг.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Усреднить проценты 60 и 10. Массы различаются, поэтому нужен баланс количества меди.

ОТВЕТ: 150 кг

Разбор 8. Задание 13: преобразование и отбор корней

Условие

Решите уравнение, затем укажите корни на отрезке от −3π до −3π/2.

$$2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$$

$$x \in \left\lbrack - 3\pi; - \frac{3\pi}{2} \right\rbrack$$

До решения: что заметить

Сначала решаем уравнение полностью, затем отдельно отбираем корни.

Используем формулы синуса суммы и cos 2x = 1 − 2sin²x.

Каждую серию отбираем своим двойным неравенством.

Решение по шагам

Шаг 1. Раскрываем формулы. Одинаковые слагаемые √3 cos x и единицы сокращаются:

$$\sin x + \sqrt{3}\cos x + 1 - 2\sin^{2}x = \sqrt{3}\cos x + 1$$

Шаг 2. Факторизуем. После сокращения:

$$\sin x - 2\sin^{2}x = 0$$

$$\sin x\left( 2\sin x - 1 \right) = 0$$

Шаг 3. Записываем серии. Получаем три семейства решений:

$$x = \pi k$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m,\quad\quad k,n,m \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Отбираем первую серию. Для x = πk подходят k = −3 и −2:

$$x = - 3\pi,\ - 2\pi$$

Шаг 5. Отбираем остальные. В серии π/6 + 2πn подходит n = −1; третья серия корней на отрезке не даёт.

$$x = - \frac{11\pi}{6}$$

Проверка

Все три значения лежат на отрезке.

Они дают sin x = 0 или 1/2.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Записать общие серии, но не выполнить пункт б. На отрезке нужны конкретные значения.

ОТВЕТ. а) $x = \pi k$ , $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$ , $k,n,m \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- 3\pi; - 2\pi; - \frac{11\pi}{6}$ .

Деталь отбора: $- 3 \leq k \leq - \frac{3}{2}$ , откуда $k = - 3, - 2$ . Для второй серии $- \frac{19}{12} \leq n \leq - \frac{5}{6}$ , значит $n = - 1$ . Для третьей $- \frac{23}{12} \leq m \leq - \frac{7}{6}$ ; целых значений нет.