Урок 32. Тестовые задания (40 вопросов)

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{21^{2} + 72^{2}} = 75$ .

ОТВЕТ: 75

1. $\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ .

ОТВЕТ: 10

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 6^{2} \cdot 4 = 144\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 144$ .

ОТВЕТ: 144

1. $P = \frac{6}{30} = 0,2$ .

ОТВЕТ: 0,2

1. $P = 0,8 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,5 = 0,5$ .

ОТВЕТ: 0,5

1. $x = \pm 3$ , меньший корень равен $- 3$ .

ОТВЕТ: -3

1. $32 \cdot \frac{1}{4} = 8$ .

ОТВЕТ: 8

1. Точка максимума функции соответствует переходу производной от положительных значений к отрицательным.

2. На графике такой переход происходит один раз - в средней отмеченной точке.

ОТВЕТ: 1

1. $\rho = \frac{780}{100} = 7,8$ г/см³.

ОТВЕТ: 7,8

1. Общая скорость равна $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ работы в час.

2. Время совместной работы равно 2 часа.

ОТВЕТ: 2

1. По графику или по уравнению прямой $y = 5x + 9$ получаем $y(3) = 24$ .

ОТВЕТ: 24

1. На данном отрезке функция возрастает, поэтому минимум достигается при x=5.

2. $f(5) = 9 + 4 = 13$ .

ОТВЕТ: 13

1. Обозначим $y = x + 5\pi$ . Разложим: $\left( 2\sin y - 1 \right)\left( \sin y - 1 \right) = 0$ .

2. Получаем $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ или $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

3. Возвращаемся к x и выполняем отбор на данном отрезке.

4. Подходящие корни: $- \frac{29\pi}{6},\ - \frac{9\pi}{2},\ - \frac{25\pi}{6}$ .

Полное решение пункта а: $x = - \frac{29\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{25\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{9\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = - \frac{29\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{25\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = - \frac{9\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- \frac{29\pi}{6}; - \frac{9\pi}{2}; - \frac{25\pi}{6}$

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 272t + 4096 = 0$ .

2. Корни квадратного уравнения: $t = 16$ и $t = 256$ .

3. Следовательно, $x = 4$ или $x = 8$ .

4. Условию пункта б удовлетворяет только $x = 4$ .

Ответ: а) $x = 4;8$ ; б) $x = 4$

1. $S = \frac{(18 + 23) \cdot 3}{2} = 61,5$ .

ОТВЕТ: 61,5

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 + (2) \cdot 10 = 26$ .

ОТВЕТ: 26

1. Перед начислением процентов в 4-й год остаток равен $360$ тыс. рублей.

2. Проценты составят $0,2 \cdot 360 = 72$ тыс. рублей.

3. Часть основного долга во всех платежах одинакова: $\frac{900}{5} = 180$ .

4. Платёж: $180 + 72 = 252$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 252 тыс. рублей

1. Возьмём нечётное $n$ . Тогда $n^{2} \equiv 1\ (mod\ 4)$ .

2. Следовательно, $n^{2} + 3 \equiv 0\ (mod\ 4)$ ; например, $n = 1$ .

ОТВЕТ: Да

1. Коэффициент роста за год: $q = 1,1$ .

2. Итог: $S = 100000 \cdot 1,1^{2} = 121000$ рублей.

ОТВЕТ: 121 000 рублей

1. Нули числителя: $x = 0,\ x = 6$ ; точка разрыва: $x = 3$ .

2. На числовой прямой отмечаем точки в порядке возрастания и определяем знаки произведения.

3. Неотрицательные промежутки: $\lbrack 0;3) \cup \lbrack 6; + \infty)$ . Точка $x = 3$ исключается.

ОТВЕТ: $\lbrack 0;3) \cup \lbrack 6; + \infty)$

1. $V = 3 \cdot 9 \cdot 8 = 216$ .

ОТВЕТ: 216

1. $\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{( - 5)^{2} + 12^{2}} = 13$ .

ОТВЕТ: 13

1. Вероятность двух промахов: $(1 - 0,1)(1 - 0,5) = 0,45$ .

2. Искомая вероятность: $1 - 0,45 = 0,55$ .

ОТВЕТ: 0,55

1. $P = \frac{7}{50} = 0,14$ .

ОТВЕТ: 0,14

1. $P = 0,9 \cdot 0,3 + 0,1 \cdot 0,7 = 0,34$ .

ОТВЕТ: 0,34

1. По теореме Виета сумма корней равна 5.

ОТВЕТ: 5

1. $9^{\frac{3}{2}} = \left( \sqrt{9} \right)^{3} = 27$ .

ОТВЕТ: 27

1. $S = 70 \cdot 4 + 75 \cdot 5 = 655$ км.

ОТВЕТ: 655

1. $m = 2,7 \cdot 40 = 108$ г.

ОТВЕТ: 108

1. $\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$ бассейна в час.

2. Бассейн заполнится за 3 часа.

ОТВЕТ: 3

1. Обозначим $y = x$ . Разложим: $\left( 2\cos y - 1 \right)\left( \cos y + 1 \right) = 0$ .

2. При $\cos y = \frac{1}{2}$ : $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ ; при $\cos y = - 1$ : $y = \pi + 2\pi n$ .

3. Возвращаемся к x и отбираем корни на заданном отрезке.

4. Подходящие корни: $\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3}$ .

Полное решение пункта а: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $\frac{\pi}{3};\pi;\frac{5\pi}{3}$

1. Вершина x=-3 лежит левее отрезка, поэтому функция на отрезке возрастает.

2. $f( - 1) = 4 - 1 = 3$ .

ОТВЕТ: 3

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ .

ОТВЕТ: 10

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 3 + (3) \cdot 2 = 15$ .

ОТВЕТ: 15

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 2^{2} \cdot 5 = 20\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 20$ .

ОТВЕТ: 20

1. Всего 10 равновозможных исходов, благоприятных - 1.

2. $P = \frac{1}{10} = 0,1$ .

ОТВЕТ: 0,1

1. Положим $t = \cos x$ . Тогда $(2t - 1)(t + 1) = 0$ .

2. Получаем $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = - 1$ .

3. Общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

4. На заданном отрезке лежат $- \pi$ , $- \frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{3}$ и $\pi$ .

Полное решение пункта а: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- \pi; - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3};\pi$

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 10t + 16 = 0$ .

2. Корни квадратного уравнения: $t = 2$ и $t = 8$ .

3. Следовательно, $x = 1$ или $x = 3$ .

4. Условию пункта б удовлетворяет только $x = 1$ .

Ответ: а) $x = 1;3$ ; б) $x = 1$

1. Критические точки: $2,\ 5,\ 8$ ; точка $5$ не входит в ОДЗ.

2. Расставляем знаки множителей на четырёх промежутках. Кратности всех нулей нечётные, поэтому знак меняется в каждой критической точке.

3. Выбираем нужные промежутки и получаем $\lbrack 2;5) \cup \lbrack 8; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 2;5) \cup \lbrack 8; + \infty)$

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. Так как основание $3$ больше единицы, знак неравенства сохраняется: $x - 1 \geq 3^{2}$ .

3. С учётом ОДЗ получаем $\lbrack 10; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 10; + \infty)$