Урок 31. Первая часть: точность решения

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Теория

Первая часть: точность решения. Правила, способы проверки и восемь пошаговых разборов.

Содержание урока

01. Как решать смешанный комплект без потери точности

02. Карта теории

03. Практика по теме

Теория PDF Задания PDF Ответы и решения PDF

01. Как решать смешанный комплект без потери точности

В смешанной работе главная трудность - быстро переключаться между моделями. Перед вычислениями назовите тип задачи одним словом: «проценты», «вероятность», «график», «движение», «формула». Такое короткое распознавание помогает выбрать правило и не начинать случайные преобразования.

Три шага для каждого короткого задания

Сначала выпишите, что дано и что требуется найти. Затем выберите одну основную связь: формулу площади, определение вероятности, уравнение движения или свойство функции. После вычисления вернитесь к вопросу и проверьте единицы. Полученное число может быть верным промежуточным результатом, но не ответом на поставленный вопрос.

Например, если цена выросла на $20\%$ , коэффициент роста равен $1{,}2$ . Обратное действие выполняется делением: исходная цена равна новой цене, делённой на $1{,}2$ . Вычитание двадцати процентов от новой цены не возвращает исходное значение.

Проверка другим способом

Для вычислений полезна оценка порядка величины. Если произведение двух чисел около ста, ответ в несколько тысяч требует повторной проверки. В геометрии длина измеряется в линейных единицах, площадь - в квадратных, объём - в кубических. В вероятности ответ должен лежать между нулём и единицей.

Подстановка в исходное уравнение сильнее, чем повторение тех же преобразований. Для графика проверьте, с какой функцией работаете: $f$ , $f'$ или первообразной. Для текстовой задачи подставьте найденное значение обратно в описанную ситуацию.

Если решение не начинается

Перепишите условие в более удобной форме: проценты - коэффициентом, дроби - с общим знаменателем, движение - таблицей «скорость-время-расстояние», совместную работу - производительностью за единицу времени. Даже один правильно записанный закон задачи обычно показывает следующий шаг.

После завершения смешанного набора полезно классифицировать ошибки: неверно выбрана модель, потеряно ограничение, допущена вычислительная ошибка или ответ записан не в требуемой форме. Исправлять нужно причину, а не только конкретное число.

02. Карта теории

Геометрия

Площадь трапеции $S = \frac{a + b}{2}h$ ; объём цилиндра $V = \pi r^{2}h$ . Сначала подпишите данные на рисунке. Размерность площади квадратная, объёма - кубическая.

Вероятность

Для равновозможных исходов $P = \frac{m}{n}$ . При независимости вероятности перемножаются; для несовместимых событий складываются. Событие «хотя бы один» удобно считать через дополнение до 1.

Графики

Различайте $f$ и $f\prime$ . Переход знака производной $+ \rightarrow -$ даёт максимум, $- \rightarrow +$ - минимум. Для прямой $y = kx + b$ две точки позволяют восстановить оба коэффициента.

Контроль ответа

До вычисления определите единицы, знак и примерный диапазон. В конце перечитайте вопрос: нужен корень, значение функции, длина, количество или вероятность.

На первых разборах проговаривайте, почему выбран каждый шаг. Перед последними двумя задачами закройте решение, составьте собственный план и только затем сравните его с разбором.

Разбор 1. Площадь трапеции

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Нужны оба основания и высота. Высота перпендикулярна основаниям.

Условие

Основания трапеции равны 14 и 20, высота равна 6. Найдите площадь трапеции по рисунку.

Схема к разбор 1. площадь трапеции — Иллюстрация к условию задания.

$a = 14$ , $b = 20$ , $h = 6$ .

На рисунке основания параллельны, а высота соединяет их под прямым углом.
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ .

Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту.
$a + b = 14 + 20 = 34$ ; $\frac{34}{2} = 17$ .

Сначала считаем среднюю длину оснований.
$S = 17 \cdot 6 = 102$ .

Умножаем её на высоту. Получаем площадь в квадратных единицах.

Проверка	Типичная ошибка
Площадь лежит между $14 \cdot 6 = 84$ и $20 \cdot 6 = 120$ . Число 102 удовлетворяет оценке.	Умножать высоту только на одно основание или забывать деление на 2.

Ответ: 102

Разбор 2. Классическая вероятность

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Все шары считаем одинаково вероятными для выбора.

Условие

В коробке 2 красных и 8 синих шаров. Наугад выбирают один шар. Найдите вероятность выбрать красный шар.

Всего $2 + 8 = 10$ шаров.

Каждый шар - один равновозможный исход.
Подходят 2 красных шара.

Нас интересует цвет, но благоприятные исходы считаем по отдельным шарам.
$P = \frac{2}{10} = 0,2$ .

Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Проверка	Типичная ошибка
Красных шаров меньше половины, поэтому вероятность должна быть меньше 0,5.	Делить число красных шаров на число синих.

Ответ: 0,2

Разбор 3. Максимум по графику производной

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. На рисунке изображена производная, а не сама функция.

Условие

На рисунке изображён график производной функции; её нули имеют абсциссы -2, 1, 4. Сколько точек максимума имеет функция на показанном интервале?

Схема к разбор 3. максимум по графику производной — Иллюстрация к условию задания.

При $f\prime(x) > 0$ функция возрастает; при $f\prime(x) < 0$ убывает.

Знак производной задаёт направление изменения функции.
Слева направо знаки: $- , + , - , +$ .

Читаем положение кривой относительно оси $x$ , а не её наклон.
В точке $x = 1$ знак меняется с $+$ на $-$ .

Возрастание сменяется убыванием - это максимум.
Такая точка одна.

В точках $- 2$ и 4 переход обратный: там минимумы.

Проверка	Типичная ошибка
В ответе требуется количество точек, поэтому записываем 1, а не абсциссу по общему правилу. Здесь они случайно совпали.	Считать вершины самого графика производной.

Ответ: 1

Разбор 4. Хотя бы одно попадание

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Вероятности независимых событий перемножаются.

Условие

Вероятности попадания двух независимых стрелков равны 0,5 и 0,4. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.

Противоположное событие - оба стрелка промахнулись.

Так проще учесть и одно, и два попадания без двойного счёта.
Вероятности промаха: $1 - 0,5 = 0,5$ и $1 - 0,4 = 0,6$ .

Попадание и промах дополняют друг друга до вероятности 1.
$P(два\ промаха) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3$ .

Используем независимость выстрелов.
$P(хотя\ бы\ одно) = 1 - 0,3 = 0,7$ .

Вычитаем вероятность противоположного события.

Проверка	Типичная ошибка
Прямой подсчёт: $0,5 \cdot 0,6 + 0,5 \cdot 0,4 + 0,5 \cdot 0,4 = 0,7$ .	Складывать 0,5 и 0,4: при этом случай двух попаданий учитывается дважды.

Ответ: 0,7

Разбор 5. Путь на двух участках

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. На каждом участке используем $S = vt$ .

Условие

Автомобиль ехал 1 ч со скоростью 55 км/ч и затем 4 ч со скоростью 70 км/ч. Найдите весь путь.

$S_{1} = 55 \cdot 1 = 55$ км.

Первый участок: скорость 55 км/ч, время 1 час.
$S_{2} = 70 \cdot 4 = 280$ км.

Второй участок считаем отдельно, потому что скорость изменилась.
$S = 55 + 280 = 335$ км.

Общий путь - сумма пройденных расстояний.

Проверка	Типичная ошибка
За 5 часов при скорости от 55 до 70 км/ч путь должен быть от 275 до 350 км.	Складывать скорости и умножать на сумму времён.

Ответ: 335

Разбор 6. Линейная функция по двум точкам

ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ. Ищем коэффициенты $y = kx + b$ .

Условие

На рисунке изображён график линейной функции, проходящей через точки $(0;8)$ и $(1;12)$ . Найдите значение функции при $x = 2$ .

Схема к разбор 6. линейная функция по двум точкам — Иллюстрация к условию задания.

При $x = 0$ получаем $b = 8$ .

Точка на вертикальной оси сразу задаёт свободный член.
$k = \frac{12 - 8}{1 - 0} = 4$ .

Наклон - изменение значения функции, делённое на изменение аргумента.
$y = 4x + 8$ ; $y(2) = 4 \cdot 2 + 8 = 16$ .

Подставляем требуемый аргумент, а не координату уже известной точки.

Проверка	Типичная ошибка
При переходе от $x = 1$ к $x = 2$ значение увеличивается на 4: $12 + 4 = 16$ .	Путать аргумент $x$ со значением функции $y$ .

Ответ: 16

Разбор 7. Логарифм: решение в одну строку с проверкой

ИСТОЧНИК	УРОВЕНЬ	ТРЕНИРУЕМ
ФИПИ, открытый вариант КИМ ЕГЭ-2024, задание 7 Открыть источник	официальный КИМ • первая часть	разность логарифмов

Условие

Вычислите выражение:

$\log_{2}56 - \log_{2}7$

До решения: что заметить

Аргументы положительны, основание 2 допустимо.

Логарифмы имеют одинаковое основание - применяем правило частного.

В бланк переносится только число.

Решение по шагам

Шаг 1. Объединяем логарифмы. Разность превращаем в логарифм частного:

$\log_{2}56 - \log_{2}7 = \log_{2}\frac{56}{7}$

Шаг 2. Сокращаем частное. 56/7 = 8:

$\log_{2}\frac{56}{7} = \log_{2}8$

Шаг 3. Переходим к степени. Поскольку 8 = 2³:

$\log_{2}8 = 3$

Проверка

Обратная проверка: 2³ = 8.

Ответ записывается как 3, без единиц.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Считать логарифмы десятичными приближениями. Точное свойство сразу сокращает выражение.

ОТВЕТ: 3

Разбор 8. Совместная работа двух мастеров

ИСТОЧНИК	УРОВЕНЬ	ТРЕНИРУЕМ
ФИПИ, открытый вариант КИМ ЕГЭ-2025, задание 10 Открыть источник	официальный КИМ • первая часть	скорость работы и единицы

Условие

Первый мастер выполняет заказ за 42 часа, второй - за 21 час. За сколько часов они выполнят его вместе?

До решения: что заметить

За единицу принимаем весь заказ.

Скорость работы - доля заказа за час.

Складываем скорости, а не времена.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем скорости. За час мастера выполняют:

$v_{1} = \frac{1}{42},\quad\quad v_{2} = \frac{1}{21}$

Шаг 2. Складываем. Приводим дроби к знаменателю 42:

$v = \frac{1}{42} + \frac{2}{42} = \frac{1}{14}$

Шаг 3. Находим время. Обратная величина к скорости:

$t = \frac{1}{v} = 14$

Проверка

14 часов меньше каждого индивидуального времени.

За 14 часов мастера выполнят 1/3 и 2/3 заказа.

ТИПИЧНАЯ ОШИБКА

Сложить 42 и 21 или взять среднее. Складывать нужно производительности 1/42 и 1/21.

ОТВЕТ: 14 часов

03. Практика по теме

Перейти к 40 заданиям с ответами и решениями . Ответ каждого задания раскрывается отдельно.

Пройти тест: 40 заданий . Повторить предыдущую тему .