Урок 31. Тестовые задания (40 вопросов)

10.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

40 заданий: 36 по теме «Первая часть: точность решения» и 4 на повторение. Задания 1-20: начальный уровень, 21-35: средний, 36-40: повышенный уровень. Решения открываются отдельно под каждым заданием.

Содержание теста

01. Начальный уровень: задания 1-20

02. Средний уровень: задания 21-35

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Теория PDF Задания PDF Ответы и решения PDF

01. Начальный уровень: задания 1-20

Задание 1

Основания трапеции равны 14 и 20, высота равна 6. Найдите площадь трапеции по рисунку.

Ответ и решение к заданию 1

1. $S = \frac{(14 + 20) \cdot 6}{2} = 102$ .

ОТВЕТ: 102

Задание 2

Даны векторы $\overrightarrow{a} = (2; - 3)$ и $\overrightarrow{b} = (4;5)$ . Найдите их скалярное произведение.

Ответ и решение к заданию 2

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 4 + ( - 3) \cdot 5 = - 7$ .

ОТВЕТ: -7

Задание 3

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 7 и 7. Найдите его объём.

Ответ и решение к заданию 3

1. $V = 6 \cdot 7 \cdot 7 = 294$ .

ОТВЕТ: 294

Задание 4

В коробке 7 белых и 5 чёрных шаров. Наугад выбирают один шар. Найдите вероятность выбрать белый шар.

Ответ и решение к заданию 4

1. $P = \frac{7}{12}$ .

ОТВЕТ: $\frac{7}{12}$

Задание 5

Вероятности безотказной работы двух независимых приборов равны 0,9 и 0,8. Найдите вероятность, что хотя бы один прибор сработает.

Ответ и решение к заданию 5

1. Оба откажут с вероятностью $0,1 \cdot 0,2 = 0,02$ .

2. Искомая вероятность $1 - 0,02 = 0,98$ .

ОТВЕТ: 0,98

Задание 6

Решите уравнение $5x - 7 = 18$ .

Ответ и решение к заданию 6

1. $5x = 25$ , поэтому $x = 5$ .

ОТВЕТ: 5

Задание 7

Вычислите $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ .

Ответ и решение к заданию 7

1. $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = 0,5$ .

ОТВЕТ: 0,5

Задание 8

На рисунке изображён график производной функции; её нули имеют абсциссы -2, 1, 4. Сколько точек максимума имеет функция на показанном интервале?

Ответ и решение к заданию 8

1. Точка максимума функции соответствует переходу производной от положительных значений к отрицательным.

2. На графике такой переход происходит один раз - в средней отмеченной точке.

ОТВЕТ: 1

Задание 9

Количество теплоты вычисляется по формуле $Q = cm\Delta T$ . Найдите Q, если $c = 4200$ , $m = 2$ , $\Delta T = 3$ .

Ответ и решение к заданию 9

1. $Q = 4200 \cdot 2 \cdot 3 = 25200$ .

ОТВЕТ: 25 200

Задание 10

Автомобиль ехал 2 часа со скоростью 60 км/ч и затем 1,5 часа со скоростью 80 км/ч. Найдите весь путь.

Ответ и решение к заданию 10

1. $S = 2 \cdot 60 + 1,5 \cdot 80 = 240$ км.

ОТВЕТ: 240

Задание 11

На рисунке изображён график линейной функции, проходящей через точки $(0;7)$ и $(1;9)$ . Найдите значение функции при $x = 8$ .

Ответ и решение к заданию 11

1. По графику или по уравнению прямой $y = 2x + 7$ получаем $y(8) = 23$ .

ОТВЕТ: 23

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = - (x - 3)^{2} + 25$ на отрезке $\lbrack 0;7\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 12

1. Вершина параболы находится при x=3 и входит в отрезок.

2. Наибольшее значение равно 25.

ОТВЕТ: 25

Задание 13

В прямоугольном треугольнике катеты равны 27 и 36. Найдите гипотенузу. Используйте рисунок.

Ответ и решение к заданию 13

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{27^{2} + 36^{2}} = 45$ .

ОТВЕТ: 45

Задание 14

При каком k скалярное произведение векторов $(k;3)$ и $(2; - 4)$ равно нулю?

Ответ и решение к заданию 14

1. $2k - 12 = 0$ .

2. $k = 6$ .

ОТВЕТ: 6

Задание 15

Радиус основания цилиндра равен 4, высота - 3. Найдите $\frac{V}{\pi}$ .

Ответ и решение к заданию 15

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 4^{2} \cdot 3 = 48\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 48$ .

ОТВЕТ: 48

Задание 16

В наборе 24 карточки, из них 5 отмечены звёздочкой. Найдите вероятность выбрать карточку без звёздочки.

Ответ и решение к заданию 16

1. Неотмеченных карточек $24 - 5 = 19$ .

2. $P = \frac{19}{24}$ .

ОТВЕТ: $\frac{19}{24}$

Задание 17

Повторение: задание по ранее изученной теме.

а) Решите уравнение $2\sin^{2}x - 3\sin x + 1 = 0$ . б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\lbrack - \pi;2\pi\rbrack$ .

Ответ и решение к заданию 17

1. Положим $t = \sin x$ . Тогда $(2t - 1)(t - 1) = 0$ .

2. Получаем $\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = 1$ .

3. Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

4. На отрезке $\lbrack - \pi;2\pi\rbrack$ лежат $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{5\pi}{6}$ .

Полное решение пункта а: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6}$

Задание 18

Повторение: задание по ранее изученной теме.

Решите неравенство $\frac{(x - 2)(x - 6)}{x - 4} \leq 0$ .

Ответ и решение к заданию 18

1. Критические точки: 2, 4 и 6; точка 4 исключается из ОДЗ.

2. Знаки на промежутках слева направо равны минус, плюс, минус, плюс.

3. С учётом нестрогого знака получаем $( - \infty;2\rbrack \cup (4;6\rbrack$ .

ОТВЕТ: $( - \infty;2\rbrack \cup (4;6\rbrack$

Задание 19

Повторение: задание по ранее изученной теме.

В июле банк выдал кредит в размере 900 тыс. рублей на 6 лет. Каждый январь долг увеличивается на 8%, после чего одним платежом уменьшается так, чтобы к июлю каждого следующего года долг становился на одну и ту же величину меньше. Найдите общую сумму всех выплат за весь срок. Ответ дайте в тысячах рублей.

Ответ и решение к заданию 19

1. Сумма остатков перед начислениями равна $900 \cdot \frac{6 + 1}{2} = 3150$ тыс. рублей.

2. Проценты равны $0,08 \cdot 3150 = 252$ тыс. рублей.

3. Общая сумма выплат: $900 + 252 = 1152$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1 152 тыс. рублей

Задание 20

Повторение: задание по ранее изученной теме.

Может ли сумма квадратов двух нечётных целых чисел делиться на 8? Обоснуйте ответ.

Ответ и решение к заданию 20

1. Квадрат любого нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8.

2. Поэтому сумма двух таких квадратов сравнима с $1 + 1 = 2\ (mod\ 8)$ .

3. Нулевой остаток невозможен, следовательно, сумма не делится на 8.

ОТВЕТ: нет

02. Средний уровень: задания 21-35

Задание 21

Два независимых игрока попадают в цель с вероятностями 0,6 и 0,4. Найдите вероятность ровно одного попадания.

Ответ и решение к заданию 21

1. $P = 0,6 \cdot 0,6 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,52$ .

ОТВЕТ: 0,52

Задание 22

Даны векторы $\overrightarrow{a} = ( - 1;6)$ и $\overrightarrow{b} = (3;2)$ . Найдите их скалярное произведение.

Ответ и решение к заданию 22

1. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = ( - 1) \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 9$ .

ОТВЕТ: 9

Задание 23

Вычислите $\log_{2}64 - \sqrt{25}$ .

Ответ и решение к заданию 23

1. $\log_{2}64 = 6$ , $\sqrt{25} = 5$ .

2. $6 - 5 = 1$ .

ОТВЕТ: 1

Задание 24

В коробке 4 зелёных и 11 жёлтых шаров. Наугад выбирают один шар. Найдите вероятность выбрать зелёный шар.

Ответ округлите до сотых.

Ответ и решение к заданию 24

1. $P = \frac{4}{15}$ .

Округляем найденную вероятность до сотых: 0,27.

Ответ: 0,27

Задание 25

Два игрока независимо выполняют бросок с вероятностями успеха 0,7 и 0,6. Найдите вероятность хотя бы одного успеха.

Ответ и решение к заданию 25

1. Вероятность двух неудач: $0,3 \cdot 0,4 = 0,12$ .

2. $P = 1 - 0,12 = 0,88$ .

ОТВЕТ: 0,88

Задание 26

Решите уравнение $4x + 9 = 1$ .

Ответ и решение к заданию 26

1. $4x = - 8$ , поэтому $x = - 2$ .

ОТВЕТ: -2

Задание 27

Вычислите $\frac{7}{8} + \frac{3}{8}$ .

Ответ и решение к заданию 27

1. $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$ .

ОТВЕТ: 1,25

Задание 28

Плотность вещества вычисляется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$ . Найдите массу, если $\rho = 7,8$ г/см³ и $V = 50$ см³.

Ответ и решение к заданию 28

1. $m = \rho V = 7,8 \cdot 50 = 390$ г.

ОТВЕТ: 390

Задание 29

Используйте формулу $Q = cm\Delta T$ . Найдите Q при $c = 900$ , $m = 4$ , $\Delta T = 5$ .

Ответ и решение к заданию 29

1. $Q = 900 \cdot 4 \cdot 5 = 18000$ .

ОТВЕТ: 18 000

Задание 30

Поезд шёл 3 часа со скоростью 70 км/ч и ещё 2 часа со скоростью 50 км/ч. Какой путь он прошёл?

Ответ и решение к заданию 30

1. $S = 3 \cdot 70 + 2 \cdot 50 = 310$ км.

ОТВЕТ: 310

Задание 31

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8, 8 и 8. Найдите его объём.

Ответ и решение к заданию 31

1. $V = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ .

ОТВЕТ: 512

Задание 32

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = - 2(x + 1)^{2} + 18$ .

Ответ и решение к заданию 32

1. Квадрат неотрицателен, поэтому наибольшее значение достигается при x=-1.

2. Оно равно 18.

ОТВЕТ: 18

Задание 33

Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ и решение к заданию 33

1. Подходят три последовательности: ООР, ОРО и РОО.

2. Каждая имеет вероятность $\frac{1}{8}$ , поэтому $P = \frac{3}{8}$ .

ОТВЕТ: $\frac{3}{8}$

Задание 34

Решите уравнение $\sqrt{x + 4} = 6$ .

Ответ и решение к заданию 34

1. $x + 4 = 36$ .

2. $x = 32$ .

ОТВЕТ: 32

Задание 35

Вычислите $\frac{3^{4}}{9}$ .

Ответ и решение к заданию 35

1. $\frac{81}{9} = 9$ .

ОТВЕТ: 9

03. Повышенный уровень: задания 36-40

Задание 36

На рисунке изображён график производной функции; её нули имеют абсциссы -2, 0, 4. Сколько точек максимума имеет функция на показанном интервале?

Ответ и решение к заданию 36

1. Точка максимума функции соответствует переходу производной от положительных значений к отрицательным.

2. На графике такой переход происходит один раз - в средней отмеченной точке.

ОТВЕТ: 1

Задание 37

Мощность вычисляется по формуле $P = \frac{A}{t}$ . Найдите работу A, если $P = 250$ Вт и $t = 12$ с.

Ответ и решение к заданию 37

1. $A = Pt = 250 \cdot 12 = 3000$ Дж.

ОТВЕТ: 3 000

Задание 38

Смешали 200 г 15%-го раствора и 300 г 25%-го раствора. Найдите концентрацию полученной смеси в процентах.

Ответ и решение к заданию 38

1. Масса вещества равна $0,15 \cdot 200 + 0,25 \cdot 300 = 105$ г.

2. Масса смеси 500 г, поэтому концентрация $\frac{105}{500} \cdot 100\% = 21\%$ .

ОТВЕТ: 21

Задание 39

На рисунке изображён график линейной функции, проходящей через точки $(0;8)$ и $(1;12)$ . Найдите значение функции при $x = 2$ .

Ответ и решение к заданию 39

1. По графику или по уравнению прямой $y = 4x + 8$ получаем $y(2) = 16$ .

ОТВЕТ: 16

Задание 40

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = |x + 2| + 7$ .

Ответ и решение к заданию 40

1. $|x + 2| \geq 0$ .

2. Равенство достигается при x=-2, поэтому минимум равен 7.

ОТВЕТ: 7

Изучить теорию . Повторить предыдущую тему .