Урок 35. Тестовые задания (40 вопросов)

1. $S = \frac{(18 + 26) \cdot 4}{2} = 88$ .

ОТВЕТ: 88

1. Координаты вектора: $AB = (4 - ( - 2);9 - 1) = (6;8)$ .

2. Длина: $|AB| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ .

Ответ: 10

1. $V = 4 \cdot 7 \cdot 11 = 308$ .

ОТВЕТ: 308

1. Исправны 18 ламп: $P = \frac{18}{20} = 0,9$ .

ОТВЕТ: 0,9

1. Ни одной шестёрки: $\left( \frac{5}{6} \right)^{2} = \frac{25}{36}$ .

2. $P = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

Округляем найденную вероятность до сотых: 0,31.

Ответ: 0,31

1. $x + 5 = 16$ , поэтому $x = 11$ .

ОТВЕТ: 11

1. $0,35 \cdot 240 = 84$ .

ОТВЕТ: 84

1. Экстремум возникает в каждом нуле производной, где её знак меняется.

2. Знак меняется при x=-2, x=1 и x=4, поэтому точек экстремума три.

ОТВЕТ: 3

1. $s = \frac{20^{2}}{2 \cdot 5} = 40$ м.

ОТВЕТ: 40

1. Для равных расстояний $v_{\text{ср}} = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$ .

2. $v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48$ км/ч.

ОТВЕТ: 48

1. По графику или по уравнению прямой $y = 4x + 4$ получаем $y(4) = 20$ .

ОТВЕТ: 20

1. Так как $\sin x \leq 1$ , то $f(x) \leq 9$ .

2. Значение 9 достигается.

ОТВЕТ: 9

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 40t + 256 = 0$ .

2. Корни квадратного уравнения: $t = 8$ и $t = 32$ .

3. Следовательно, $x = 3$ или $x = 5$ .

4. Условию пункта б удовлетворяет только $x = 3$ .

Ответ: а) $x = 3;5$ ; б) $x = 3$

1. ОДЗ: $x > 3$ .

2. На ОДЗ объединяем логарифмы: $\log_{2}\left( (x - 1)(x - 3) \right) \geq \log_{2}8$ .

3. Получаем $(x - 1)(x - 3) \geq 8$ , то есть $(x - 5)(x + 1) \geq 0$ .

4. Пересечение $\left( - \infty; - 1\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty \right)$ с ОДЗ даёт $\lbrack 5; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 5; + \infty)$

1. Ежегодное уменьшение основного долга: $\frac{1300}{5} = 260$ тыс. рублей.

2. Проценты начисляются на остатки $1300,\ 1040,\ldots,\ 260$ ; это арифметическая прогрессия.

3. Сумма остатков: $\frac{5(1300 + 260)}{2} = 3900$ тыс. рублей.

4. Все проценты: $0,15 \cdot 3900 = 585$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1300 + 585 = 1885$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1 885 тыс. рублей

1. Квадрат нечётного числа сравним с $1$ по модулю 8.

2. Сумма трёх квадратов сравнима с $3$ по модулю 8.

ОТВЕТ: Нет

1. Сумма остатков перед начислениями равна $800 \cdot \frac{5 + 1}{2} = 2400$ тыс. рублей.

2. Переплата равна $1040 - 800 = 240$ тыс. рублей.

3. Из $\frac{p}{100} \cdot 2400 = 240$ получаем $p = 10$ .

4. Проверка: 10% от суммы остатков равны 240 тыс. рублей.

ОТВЕТ: 10%

1. Пусть $H$ - долг после двух платежей, в тысячах рублей. В первые два года долг уменьшается на $\frac{1000 - H}{2}$ .

2. Остатки перед первыми двумя начислениями: $1000$ и $\frac{1000 + H}{2}$ . Их сумма $1500 + \frac{H}{2}$ .

3. Перед тремя последними начислениями остатки равны $H;\frac{2H}{3};\frac{H}{3}$ . Их сумма $2H$ .

4. Все выплаты - основной долг и проценты: $1000 + 0,15(1500 + \frac{5H}{2}) = 1375$ .

5. $1225 + 0,375H = 1375$ , откуда $H = 400$ тыс. рублей.

6. Проверка: сумма остатков $1500 + 2,5 \cdot 400 = 2500$ ; $1000 + 0,15 \cdot 2500 = 1375$ .

ОТВЕТ: 400 тыс. рублей

1. Подходит конструкция $1^{2} + 45^{2} = 1 + 2025 = 2026$ .

2. Оба слагаемых являются квадратами целых чисел.

ОТВЕТ: Да; например, 1 и 45

1. Возьмём $n = 2$ . Тогда $n^{2} - n + 2 = 4$ делится на 4.

ОТВЕТ: Да

1. По теореме Пифагора $c = \sqrt{18^{2} + 24^{2}} = 30$ .

ОТВЕТ: 30

1. $\overrightarrow{AB} = (6;8)$ .

2. $AB = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ .

ОТВЕТ: 10

1. $V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 4^{2} \cdot 9 = 144\pi$ , поэтому $\frac{V}{\pi} = 144$ .

ОТВЕТ: 144

1. $P = \frac{3}{25} = 0,12$ .

ОТВЕТ: 0,12

1. Подходят два из четырёх равновероятных исходов: ОР и РО.

2. $P = \frac{2}{4} = 0,5$ .

ОТВЕТ: 0,5

1. $2x - 1 = 25$ , поэтому $x = 13$ .

ОТВЕТ: 13

1. $75 \cdot 1,2 = 90$ .

ОТВЕТ: 90

1. Точка максимума функции соответствует переходу производной от положительных значений к отрицательным.

2. На графике такой переход происходит один раз - в средней отмеченной точке.

ОТВЕТ: 1

1. $a = \frac{v^{2}}{2s} = \frac{900}{90} = 10$ м/с².

ОТВЕТ: 10

1. $t = \frac{120}{60} + \frac{120}{80} = 2 + 1,5 = 3,5$ ч.

ОТВЕТ: 3,5

1. По графику или по уравнению прямой $y = 5x + 5$ получаем $y(5) = 30$ .

ОТВЕТ: 30

1. Так как $\cos x \leq 1$ , наименьшее значение равно $2 - 3 = - 1$ .

ОТВЕТ: -1

1. Обозначим $y = x - 6\pi$ . Разложим: $\left( 2\sin y - 1 \right)\left( \sin y - 1 \right) = 0$ .

2. Получаем $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ или $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

3. Возвращаемся к x и выполняем отбор на данном отрезке.

4. Подходящие корни: $\frac{37\pi}{6},\ \frac{13\pi}{2},\ \frac{41\pi}{6}$ .

Полное решение пункта а: $x = \frac{37\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{41\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{13\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \frac{37\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{41\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{13\pi}{2} + 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $\frac{37\pi}{6};\frac{13\pi}{2};\frac{41\pi}{6}$

1. Критические точки: -2, 1 и 4; точка 1 исключается.

2. Знаки слева направо: минус, плюс, минус, плюс.

3. Получаем $( - \infty; - 2\rbrack \cup (1;4\rbrack$ .

ОТВЕТ: $( - \infty; - 2\rbrack \cup (1;4\rbrack$

1. Уменьшение основного долга каждый год: $\frac{1000}{6} = \frac{500}{3}$ тыс. рублей. Промежуточные значения не округляем.

2. Остатки перед начислением процентов: $1000;\frac{2500}{3};\frac{2000}{3};500;\frac{1000}{3};\frac{500}{3}$ .

3. Сумма остатков: $\frac{6}{2}(1000 + \frac{500}{3}) = 3500$ .

4. Проценты за весь срок: $0,2 \cdot 3500 = 700$ тыс. рублей.

5. Общая сумма выплат: $1000 + 700 = 1700$ тыс. рублей.

ОТВЕТ: 1 700 тыс. рублей

1. Подходит $n = 1$ : $5 + 2 = 7$ .

ОТВЕТ: Да

1. Положим $t = \cos x$ . Тогда $(2t + 1)(t - 1) = 0$ .

2. Получаем $\cos x = - \frac{1}{2}$ или $\cos x = 1$ .

3. Общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

4. На отрезке $\lbrack - 2\pi;0\rbrack$ лежат $- 2\pi$ , $- \frac{4\pi}{3}$ , $- \frac{2\pi}{3}$ и 0.

Полное решение пункта а: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ .

Ответ: а) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$ , $k \in {\mathbb{Z}}$ ; б) $- 2\pi; - \frac{4\pi}{3}; - \frac{2\pi}{3};0$

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 6t + 8 = 0$ .

2. Корни квадратного уравнения равны 2 и 4.

3. Отсюда $x = 1$ или $x = 2$ .

4. Оба корня принадлежат отрезку [0;3].

Ответ: а) $x = 1;2$ ; б) $x = 1;2$

1. Критические точки: 1, 5 и 8; точка 5 исключается.

2. Знаки слева направо: минус, плюс, минус, плюс.

3. Получаем $\lbrack 1;5) \cup \lbrack 8; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 1;5) \cup \lbrack 8; + \infty)$

1. ОДЗ: $x > 2$ .

2. Так как основание $3$ больше единицы, знак неравенства сохраняется: $x - 2 \geq 3^{2}$ .

3. С учётом ОДЗ получаем $\lbrack 11; + \infty)$ .

ОТВЕТ: $\lbrack 11; + \infty)$