Урок 1. Алгебраические выражения

01. Тождества и допустимые значения

Начните с числового примера. Записи $2(3+4)$ и $2\cdot 3+2\cdot 4$ выглядят по-разному, но обе дают 14. Распределительный закон позволяет так же раскрыть $2(x+4)$ при любом $x$. Преобразование меняет запись, сохраняя значение там, где исходное выражение определено.

С дробями есть дополнительная проверка: $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ только при $x\ne 1$. При $x=1$ справа получается 2, а слева деление на ноль. Сокращение не возвращает запрещённую точку.

Что в алгебре принимается, а что доказывается

Свойства сложения и умножения действительных чисел — исходные законы числовой системы: переместительный, сочетательный и распределительный. На школьном уровне они выступают аксиомами. Например,

$$a(b+c)=ab+ac.$$

Определение. Два выражения тождественно равны на области $D$, если при каждом допустимом значении переменных из $D$ они имеют одинаковое значение.

Область важна. Например,

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$

не является равенством при $x=1$: левая часть там не определена. Корректная запись:

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,x\ne 1.$$

Почему делить на ноль нельзя

Деление $a:b$ определяется как умножение $a$ на число, обратное к $b$. Обратное число $b^{-1}$ должно удовлетворять

$$b\cdot b^{-1}=1.$$

Для $b=0$ такое число невозможно: $0\cdot c=0$ для любого $c$, но не 1. Поэтому выражение $\frac{a}{0}$ не определено.

Это объясняет ОДЗ рационального выражения: каждый знаменатель обязан быть ненулевым до, во время и после преобразований.

ОДЗ до преобразования, а не после

Рассмотрим

$$\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}.$$

Сначала

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

поэтому $x\ne 2$, $x\ne 3$. Затем

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+3}{x-2},$$

но исходное ограничение $x\ne 3$ сохраняется. Упрощённое выражение совпадает с исходным на исходной области, а не на собственной более широкой области.

02. Квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов

Почему появляется удвоенное произведение. Квадрат со стороной $a+b$ при $a,b>0$ можно разделить на квадраты площадей $a^2$, $b^2$ и два прямоугольника площадью $ab$. Поэтому ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$. Геометрическая картинка объясняет формулу для положительных длин; раскрытие скобок ниже доказывает её для любых действительных чисел.

Простой пример. ${(x+3)}^2=x^2+6x+9$. Подстановка $x=2$ даёт 25 с обеих сторон. Проверка помогает обнаружить ошибку, но сама по себе не доказывает тождество.

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы

Теорема.

$${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2.$$

Доказательство.

$${(a+b)}^2=(a+b)(a+b)$$

$$=a(a+b)+b(a+b)$$

$$=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$$

Коэффициент 2 появляется не «в середине формулы», а из двух одинаковых произведений: $a$ из первой скобки на $b$ из второй и $b$ из первой на $a$ из второй.

Квадрат разности

Подставим вместо $b$ число $-b$ в уже доказанную формулу:

$${(a-b)}^2={(a+(-b))}^2=a^2+2a(-b)+{(-b)}^2.$$

Следовательно,

$${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2.$$

Контроль знака. Последний член всегда $+b^2$, потому что квадрат отрицательного числа положителен.

Разность квадратов

Теорема.

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Доказательство.

$$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$$

Формула работает в обе стороны:

• слева направо — факторизация;

• справа налево — быстрое умножение.

Почему нет формулы для суммы квадратов над действительными числами такого же вида? Если бы

$$a^2+b^2=(a-b)(a+b),$$

то правая часть была бы $a^2-b^2$. Контрпример $a=b=1$ мгновенно разрушает ложное равенство: $2\ne 0$.

Полный разбор: восстановление формулы под стрессом

Предположим, ученик помнит только, что в разложении ${(a-b)}^3$ «знаки чередуются», но не уверен в коэффициентах. Восстановление строится без таблицы:

$${(a-b)}^3=(a-b){(a-b)}^2.$$

Сначала выводится квадрат:

$${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2.$$

Затем умножение:

$$(a-b)(a^2-2ab+b^2)$$

$$=a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b+2a{b}^2-b^3$$

$$=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3.$$

Что контролируется.

• крайние члены — кубы;

• степени $a$ уменьшаются от 3 до 0;

• степени $b$ возрастают от 0 до 3;

• сумма степеней в каждом члене равна 3;

• коэффициенты $1,3,3,1$ совпадают с третьей строкой треугольника Паскаля.

Даже если допущена арифметическая ошибка, четыре структурные проверки помогают её найти.

03. Куб суммы, куб разности и разложение кубов

Не путайте две записи. ${(a+b)}^3$ означает куб всей суммы, а $a^3+b^3$ - сумму двух кубов. При $a=b=1$ получаются соответственно 8 и 2. Поэтому у этих выражений разные формулы. Сначала определите, что именно возводится в степень.

Куб суммы и куб разности

Эти формулы обязательны. Их нельзя заменять фразой «аналогично квадрату».

Куб суммы

Теорема.

$${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3.$$

Первое доказательство: последовательное раскрытие.

$${(a+b)}^3={(a+b)}^2(a+b)$$

$$=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$$

$$=a^3+a^{2}b+2a^{2}b+2a{b}^2+a{b}^2+b^3$$

$$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3.$$

Второе объяснение коэффициентов. В произведении трёх скобок $(a+b)(a+b)(a+b)$ член $a^{2}b$ получается, если выбрать $b$ ровно из одной из трёх скобок. Выборов три. Аналогично $a{b}^2$ получается тремя способами.

Куб разности

Подставим $-b$:

$${(a-b)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3.$$

Знаки чередуются, потому что слагаемые содержат соответственно нулевую, первую, вторую и третью степени $-b$.

Разность и сумма кубов

Разность кубов

Теорема.

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Доказательство раскрытием правой части.

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

$$=a^3+a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-a{b}^2-b^3=a^3-b^3.$$

Сумма кубов

Теорема.

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Доказательство.

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3=a^3+b^3.$$

Способ восстановления знаков. Первый линейный множитель повторяет знак исходного выражения. В квадратном трёхчлене средний знак противоположен, а последний член всегда $+b^2$.

Это не мнемоника вместо доказательства. Это короткая схема, которую ученик тут же проверяет раскрытием скобок.

Полный разбор: сумма и разность кубов внутри выражения

Разложим

$$8x^3+27y^3.$$

Сначала распознаём кубы:

$$8x^3={\left(2x\right)}^3,27y^3={\left(3y\right)}^3.$$

По доказанной формуле суммы кубов

$$8x^3+27y^3=(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2).$$

Проверка раскрытием:

$$8x^3-12x^{2}y+18x{y}^2+12x^{2}y-18x{y}^2+27y^3.$$

Смешанные члены уничтожаются. Если знак среднего члена во втором множителе был бы положительным, уничтожения не произошло бы.

04. Разложение многочлена на множители

Разложить на множители — значит представить сумму как произведение. Например, $6x+9=3(2x+3)$. Общая тройка содержится в обоих слагаемых. Проверка выполняется обратным действием: раскрываем скобки и получаем исходную сумму.

Для многочлена порядок проверки такой: общий множитель, знакомая формула, группировка, затем более сложные приёмы. Например, $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$.

Факторизация — обратный ход доказанных тождеств

Пример многошаговой факторизации.

$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4).$$

На каждом шаге ученик должен назвать вид $A^2-B^2$. Сумма $x^2+4$ над действительными числами дальше не раскладывается на линейные множители.

Пример с группировкой.

$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).$$

Группировка не является отдельной магией: мы дважды используем распределительный закон.

Многошаговая факторизация без угадывания

Факторизация считается завершённой не тогда, когда появилась первая пара скобок, а когда каждый множитель проверен на дальнейшее разложение в выбранной числовой области. Рабочий порядок: общий множитель, разность квадратов, сумма или разность кубов, группировка, квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разность шестых степеней

Задача. Разложите $x^6-64$ на множители над действительными числами.

Решение. Сначала видим разность квадратов: $x^6-64=(x^3-8)(x^3+8)$. Затем оба множителя являются разностью или суммой кубов.

$$x^6-64=(x-2)(x^2+2x+4)(x+2)(x^2-2x+4).$$

Проверка завершённости. Для $x^2+2x+4$ дискриминант равен $-12$, для $x^2-2x+4$ также $-12$. Действительных корней нет, поэтому на линейные действительные множители эти трёхчлены не раскладываются.

Пример 2. Сначала увидеть полный квадрат

Задача. Разложите $a^4+4a^2{b}^2+4b^4-c^2$. Первые три слагаемых образуют квадрат суммы: ${(a^2+2b^2)}^2$. После этого применяется разность квадратов.

$$a^4+4a^2{b}^2+4b^4-c^2=(a^2+2b^2-c)(a^2+2b^2+c).$$

Важно. Если начать группировать отдельные слагаемые, структура теряется. Сильный ученик сначала проверяет, являются ли крайние члены квадратами, и сравнивает средний член с удвоенным произведением их корней.

Пример 3. Группировка с общим двучленом

Задача. Разложите $x^3-3x^2-4x+12$. Объединим первые два и последние два слагаемых:

$$x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x-2)(x+2).$$

Почему группировка законна. На первом шаге дважды использован распределительный закон, затем вынесен общий множитель $x-3$, после чего применена доказанная формула разности квадратов.

Теорема о корне многочлена

Теорема. Если многочлен $P\left(x\right)$ принимает значение 0 при $x=a$, то $P\left(x\right)$ делится на $x-a$. Докажем этот факт школьными формулами разности степеней.

Для каждой натуральной степени выполняется разложение

$$x^k-a^k=(x-a)(x^{k-1}+x^{k-2}a+\dots +x{a}^{k-2}+a^{k-1}).$$

Вычтем из $P\left(x\right)$ число $P\left(a\right)$. Каждая разность одночленов $c_k{x}^k-c_k{a}^k$ содержит множитель $x-a$, а свободные члены уничтожаются. Поэтому $P\left(x\right)-P\left(a\right)$ делится на $x-a$. Если $P\left(a\right)=0$, то делится и сам $P\left(x\right)$.

Пример полного разложения

Задача. Разложите $x^3-6x^2+11x-6$. Проверяем небольшие целые числа: $P\left(1\right)=0$, значит, есть множитель $x-1$. После деления получаем $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).$$

Проверка. Сумма корней $1+2+3=6$ соответствует коэффициенту $-6$ при $x^2$, попарные произведения дают 11, произведение корней равно 6. Проверка не заменяет деление, но подтверждает структуру.

Контрпример. Равенство $P\left(1\right)=0$ само по себе не означает, что многочлен делится на $x+1$. Множитель всегда имеет вид $x-a$, поэтому при корне 1 это $x-1$; при корне $-1$ - $x+1$.

Сравнение коэффициентов в тождестве

Если два многочлена равны при всех действительных $x$, то коэффициенты при одинаковых степенях $x$ совпадают. Иначе их разность была бы ненулевым многочленом, который обращается в ноль при всех $x$.

Докажем, что это невозможно. Ненулевой многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней. Для степени 0 утверждение очевидно. Если $P\left(a\right)=0$, по теореме о множителе $P\left(x\right)=(x-a)Q\left(x\right)$, где степень $Q$ на единицу меньше. Все остальные корни $P$ являются корнями $Q$. Повторяя рассуждение, получаем не более $n$ корней. Многочлен, равный нулю при всех $x$, поэтому обязан иметь все коэффициенты, равные нулю.

Почему проверки нескольких чисел недостаточно. Многочлен $x^2-x$ равен нулю при $x=0$ и $x=1$, но не является нулевым тождественно: при $x=2$ он равен 2. Числовые подстановки могут опровергнуть тождество, но конечный набор совпадений сам по себе его не доказывает.

Задача на неизвестные коэффициенты

Найдите $a$ и $b$, если при всех $x$ выполняется

$$(x+1)(x^2+ax+b)=x^3+4x^2+5x+2.$$

Раскроем левую часть:

$$x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b.$$

Сравнение свободных членов даёт $b=2$. Сравнение коэффициентов при $x^2$ даёт $a+1=4$, поэтому $a=3$. Коэффициент при $x$ служит проверкой: $a+b=3+2=5$, условие выполняется.

Ответ: $a=3,b=2$. Проверены все коэффициенты, поэтому равенство является тождеством, а не совпадением при отдельных $x$.

Как доказать отсутствие параметров

Если сравнение разных коэффициентов приводит к несовместимым значениям одного параметра, тождество невозможно. Например, в равенстве ${(x+c)}^2=x^2+4x+5$ коэффициент при $x$ требует $c=2$, а свободный член потребовал бы $c^2=5$. Одновременно эти условия не выполняются.

Практический порядок. Сначала раскрыть скобки и привести подобные, затем сравнивать коэффициенты от старшей степени к свободному члену, а последнее равенство использовать как проверку согласованности.

05. Алгебраические дроби: действия и сокращение

Сокращают множители, а не слагаемые. В дроби $\frac{3(x+2)}{3(x-1)}$ общий множитель 3 можно убрать: получится $\frac{x+2}{x-1}$ при $x\ne 1$. А в $\frac{x+2}{x+3}$ нельзя зачеркнуть $x$: он является частью суммы.

Перед делением на дробь дополнительно проверьте, что сама дробь-делитель не равна нулю. Например, в $\frac{x^2-1}{x^2-4}:\frac{x+1}{x+2}$ запрещены $x=-2,2,-1$. Последнее ограничение появляется из-за деления на ноль.

Операции с алгебраическими дробями выводятся из определения

Сложение

Для $b\ne 0$, $d\ne 0$

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Вывод. Умножаем первую дробь на $\frac{d}{d}$, вторую — на $\frac{b}{b}$, после чего складываем числители при общем знаменателе.

Умножение

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$

Это следует из сочетательности умножения числителей и обратных знаменателей.

Деление

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c},$$

где дополнительно $c\ne 0$. Делитель-дробь должен быть ненулевым, иначе обратной дроби не существует.

Почему нельзя сокращать слагаемые

В выражении

$$\frac{x+2}{x}$$

символ $x$ не является множителем всего числителя. Контрпример $x=2$ показывает ошибку: исходная дробь равна 2, а «после сокращения» получилось бы бессмысленное $1+2$.

Полный разбор рационального выражения

Упростим

$$\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\cdot \frac{x-3}{x+3}.$$

Шаг 1. Исходная ОДЗ

$$x^2-6x+9={(x-3)}^2\ne 0,$$

$$x+3\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\ne 3,x\ne -3.$$

Шаг 2. Факторизация

$$x^2-9=(x-3)(x+3),$$

$$x^2-6x+9={(x-3)}^2.$$

Шаг 3. Сокращение ненулевых множителей

На исходной ОДЗ:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{{(x-3)}^2}\cdot \frac{x-3}{x+3}=1.$$

Шаг 4. Сохранение ограничений

Ответ — 1 при $x\ne \pm 3$. Получившаяся константа определена при всех $x$, но исходное выражение в двух точках не существовало. Удалять эти точки нельзя.

Рациональные выражения: равенство только на исходной ОДЗ

Разбор выражения, которое превращается в единицу

Задача. Упростите выражение

$$\left(\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\right)\cdot \left(\frac{x-1}{x+2}\right).$$

Шаг 1. Исходные знаменатели не равны нулю. Из $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ получаем $x\ne 1$ и $x\ne 2$. Из $x+2\ne 0$ получаем $x\ne -2$.

Шаг 2. Разложим числитель $x^2-4=(x-2)(x+2)$. На исходной ОДЗ все сокращаемые множители ненулевые, поэтому

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}\cdot \left(\frac{x-1}{x+2}\right)=1.$$

Вывод. Ответ: 1 при $x\ne -2,1,2$. Константа 1 определена при любом $x$, но она совпадает с исходным выражением только на исходной области допустимых значений.

Уравнение, у которого исчезает единственный кандидат

Задача. Решите $\frac{x^2-9}{x-3}=6$. Исходная ОДЗ: $x\ne 3$. После разложения числителя и сокращения на ОДЗ получаем $x+3=6$, откуда $x=3$. Но это значение запрещено исходным знаменателем. Поэтому уравнение не имеет решений.

Почему это не противоречие. Преобразование дроби было верным только при $x\ne 3$. Мы нашли корень упрощённого уравнения, но не корень исходного. Финальная проверка ОДЗ является частью решения, а не формальностью после него.

06. Вычисление значений и симметрические выражения

Не всегда нужно находить сами числа. Если известны $a+b=7$ и $ab=10$, то $a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab=49-20=29$. Мы выразили нужную величину через известные данные. Такой ход обычно короче решения системы для $a$ и $b$.

Поздняя подстановка

Если в задаче дано большое числовое значение переменной, ранняя подстановка часто создаёт тяжёлые вычисления. Сначала нужно распознать тождество.

Пример.

$$(9x-17)(9x+17)-81x^2+8x-49.$$

По разности квадратов

$$(9x-17)(9x+17)=81x^2-289.$$

Поэтому всё выражение равно

$$81x^2-289-81x^2+8x-49=8x-338.$$

Только теперь подставляется значение $x$. Метод не просто ускоряет вычисление: он уменьшает число мест, где можно ошибиться.

Полный разбор: симметрическое выражение

Пусть

$$x+\frac{1}{x}=3,x\ne 0.$$

Найдём

$$x^3+\frac{1}{x^3}.$$

Кубируем известную сумму по доказанной формуле:

$${(x+\frac{1}{x})}^3=x^3+3x^2\frac{1}{x}+3x\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}.$$

Средние члены дают

$$3x+\frac{3}{x}=3(x+\frac{1}{x}).$$

Поэтому

$$27=x^3+\frac{1}{x^3}+9,$$

откуда

$$x^3+\frac{1}{x^3}=18.$$

Здесь формула куба суммы работает как инструмент получения нового симметрического тождества.

Симметрические выражения как цепочка выводов

Пусть $x\ne 0$ и $t=x+\frac{1}{x}$. Вместо запоминания отдельных формул будем каждый следующий результат получать из предыдущего.

Сначала возводим равенство в квадрат:

$$t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},\text{поэтому}{x}^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$$

Затем кубируем исходную сумму и собираем смешанные члены:

$$t^3=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=x^3+\frac{1}{x^3}+3t.$$

Следовательно,

$$x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t.$$

Для четвёртых степеней удобнее снова использовать квадрат уже найденного выражения:

$$x^4+\frac{1}{x^4}={(t^2-2)}^2-2=t^4-4t^2+2.$$

Проверка. При $x=1$ имеем $t=2$. Формулы дают 2, 2 и 2 соответственно. Числовая проверка не заменяет вывод, но быстро обнаруживает ошибку в свободном члене.

Задача. Если $x+\frac{1}{x}=4$, найдите $x^4+\frac{1}{x^4}$. Подстановка $t=4$ даёт $4^4-4\cdot 4^2+2=194$. Решать квадратное уравнение относительно $x$ не требуется.

07. Бином Ньютона: вывод и применение

Зачем нужен бином Ньютона. В произведении ${(a+b)}^4$ каждый член получается выбором по одному слагаемому из четырёх скобок. Член $a^{3}b$ возникает четырьмя способами: буква $b$ выбирается из первой, второй, третьей или четвёртой скобки. Поэтому его коэффициент равен 4. Общая формула ниже систематизирует именно этот подсчёт.

Этот раздел рассчитан на углублённую работу после уверенного освоения квадратов и кубов. Для сокращения простых дробей он не нужен.

Бином Ньютона: общая формула вместо шести отдельных правил

Теорема. Для любого натурального числа $n$

$${(a+b)}^n=a^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\dots +C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+b^n.$$

где

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Обозначение $C_n^k$ читается «число сочетаний из $n$ по $k$». Это число способов выбрать $k$ объектов из $n$ без учёта порядка. В курсе используем эту школьную запись и развёрнутую формулу без знака суммы.

Доказательство через подсчёт способов

Рассмотрим произведение $n$ одинаковых скобок:

$$(a+b)(a+b)\cdots (a+b).$$

Чтобы получить одно слагаемое $a^{n-k}{b}^k$, нужно выбрать $b$ ровно в $k$ скобках, а $a$ - в остальных. Число способов выбрать $k$ скобок из $n$ равно $C_n^k$. Все получившиеся одночлены одинаковы, поэтому их коэффициенты складываются. Перебор $k=0,1,\dots ,n$ даёт всю сумму и не пропускает ни одного произведения.

Почему формула для сочетаний именно такая

Если порядок выбора учитывать, первую позицию можно выбрать $n$ способами, вторую - $n-1$ способами и так далее. Поэтому число последовательностей равно

$$n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Один и тот же набор выбранных позиций можно записать в $k$! разных порядках. Поэтому каждый набор посчитан $k$! раз и результат нужно разделить на $k$!.

Треугольник Паскаля

Каждое внутреннее число равно сумме двух над ним. Это следует из тождества Паскаля

$$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k.$$

Доказательство тождества. Зафиксируем один выделенный объект. Набор из $k$ объектов либо содержит его — тогда остаётся выбрать $k-1$ из $n-1$, - либо не содержит — тогда выбираем все $k$ из остальных $n-1$.

Кубы как следствие бинома Ньютона

При $n=3$ коэффициенты равны $1,3,3,1$, поэтому формула куба суммы получается автоматически. При замене $b$ на $-b$ получается куб разности.

Полный разбор: коэффициент бинома без раскрытия скобок

Найдём коэффициент при $x^4$ в разложении

$${(2-3x)}^7.$$

Общий член бинома Ньютона:

$$C_7^k{2}^{7-k}{(-3x)}^k.$$

Степень $x^4$ возникает только при $k=4$. Поэтому коэффициент равен

$$C_7^4{2}^3{(-3)}^4=35\cdot 8\cdot 81=22680.$$

Почему других вкладов нет. В каждом общем члене степень $x$ равна количеству скобок, из которых выбран член $-3x$. Разные $k$ дают разные степени.

Контроль знака. При чётном $k$ множитель ${(-3)}^k$ положителен. Такой контроль над структурой надёжнее полного раскрытия семи скобок.

Что ещё следует из бинома Ньютона

Число членов и степени

В разложении ${(a+b)}^n$ член с номером $k$ получается выбором $b$ из $k$ скобок. Поэтому показатель $b$ возрастает от 0 до $n$, а показатель $a$ одновременно уменьшается от $n$ до 0. В каждом одночлене сумма показателей равна $n$. Это позволяет обнаружить потерянный или лишний член ещё до вычисления коэффициентов.

$$a^n+{C_n}^1{a}^{n-1}b+{C_n}^2{a}^{n-2}{b}^2+\dots +{C_n}^{n-1}a{b}^{n-1}+b^n.$$

Вывод. Значения $k$ равны 0,1,…,$n$, поэтому разных степенных сочетаний $n+1$. Если после раскрытия ${(a+b)}^6$ получилось шесть членов, один член пропущен.

Симметрия коэффициентов

Теорема. $C_n^k=C_n^{n-k}$. Доказательство без вычислений: выбрать $k$ объектов, которые входят в набор, — то же самое, что выбрать $n-k$ объектов, которые в него не входят. Каждому набору первого типа соответствует ровно один набор второго типа.

Проверка формулой также возможна: знаменатели $k$!$(n-k)$! и $(n-k)$!$k$! совпадают. Но комбинаторное доказательство объясняет смысл симметрии, а не только равенство дробей.

Сумма коэффициентов

Чтобы найти сумму всех коэффициентов разложения, не нужно складывать строку треугольника Паскаля. Подставим $a=1$ и $b=1$. Левая часть равна $2^n$, а справа каждый одночлен превращается в свой коэффициент. Следовательно, сумма коэффициентов равна $2^n$.

Если подставить $a=1$ и $b=-1$, левая часть равна нулю при $n>0$. Справа получится чередующаяся сумма коэффициентов. Значит, сумма коэффициентов при чётных степенях $b$ равна сумме коэффициентов при нечётных степенях $b$.

Вопрос ученику. Почему подстановка чисел в уже доказанное тождество даёт новое доказательство, а не числовое совпадение? Ответ должен опираться на то, что тождество верно при всех допустимых $a$ и $b$.

08. Следствия тождеств: оценки и формулы Виета

Тождество может объяснить и неравенство. Из ${(x-y)}^2\ge 0$ следует $x^2+y^2\ge 2xy$. Равенство возможно именно при $x=y$. Сначала найдите неотрицательное выражение, затем раскройте скобки и перенесите слагаемые. Полные методы решения уравнений и неравенств изучаются в следующих темах.

Неравенства рождаются из квадрата

Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Из одного факта ${(a-b)}^2\ge 0$ можно вывести несколько базовых оценок, которые используются в задачах ЕГЭ.

$${(a-b)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab.$$

Если сложить к обеим частям ещё $a^2+b^2$, получим $2(a^2+b^2)\ge {(a+b)}^2$, то есть

$$a^2+b^2\ge \frac{{(a+b)}^2}{2}.$$

Равенство в обоих неравенствах достигается при $a=b$, потому что именно тогда исходный квадрат равен нулю. Условие равенства является частью доказанного результата.

Выделение полного квадрата

Задача. Найдите наименьшее значение $x^2-6x+13$. Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$:

$$x^2-6x+13={(x-3)}^2+4.$$

Квадрат неотрицателен, поэтому выражение не меньше 4. Значение 4 достигается при $x=3$. Мы получили и оценку, и точку достижения; без второй части ответ о минимуме был бы неполным.

Оценка произведения при фиксированной сумме

Если $a+b=S$, то ${(a-b)}^2\ge 0$ даёт $S^2-4ab\ge 0$, следовательно, $ab\le \frac{S^2}{4}$. Равенство достигается при $a=b=\frac{S}{2}$. Так доказывается, что при фиксированной сумме двух чисел их произведение максимально, когда числа равны.

Формулы Виета выводятся из разложения

Пусть квадратный трёхчлен имеет корни $x_1$ и $x_2$ и старший коэффициент равен 1. Тогда его разложение имеет вид $(x-x_1)(x-x_2)$. Раскроем скобки:

$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2.$$

Сравнивая с $x^2+px+q$, получаем $x_1+x_2=-p$ и $x_1{x}_2=q$. Формулы Виета не принимаются на веру: они являются сравнением коэффициентов двух тождественно равных многочленов.

Факторизация по найденным корням

Задача. Разложите $x^2-7x+12$. Ищем два числа с суммой 7 и произведением 12: это 3 и 4. Поэтому

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Проверка раскрытием обязательна, если числа подбирались устно: средний коэффициент должен получиться $-7$, свободный член +12.

Когда трёхчлен является полным квадратом

Задача. При каких $p$ выражение $x^2+px+9$ является квадратом двучлена? Пусть $x^2+px+9={(x+c)}^2=x^2+2cx+c^2$. Тогда $c^2=9$, поэтому $c=3$ или $c=-3$. Соответственно, $p=2c$.

$$p=6\text{или}p=-6.$$

При $p=6$ получаем ${(x+3)}^2$, при $p=-6$ - ${(x-3)}^2$. Других значений нет, потому что коэффициент при $x^2$ уже фиксирует коэффициент $x$ перед первой степенью внутри скобки.

Параметрическое разложение без дискриминанта

Задача. Разложите $x^2+(m-2)x-2m$. Сгруппируем коэффициент при $x$ как $m-2$ и проверим предполагаемые корни 2 и $-m$. Их сумма $2-m$ равна противоположному коэффициенту при $x$, а произведение равно $-2m$.

$$x^2+(m-2)x-2m=(x-2)(x+m).$$

Равенство верно при любом действительном $m$. При $m=-2$ оба множителя совпадают и трёхчлен превращается в ${(x-2)}^2$; отдельного исключения не возникает.

Критерий ответа. Ученик либо раскрывает полученные скобки, либо сравнивает сумму и произведение корней. Фраза «подобрал множители» без проверки не считается доказательством тождества.

09. Выбор преобразования и типичные ошибки

Как выбирать первый ход

1. Выписать ОДЗ.

2. Посмотреть на наиболее крупную структуру: сумма, разность, произведение, дробь.

3. Проверить общий множитель и ФСУ.

4. Если повторяется блок — ввести замену.

5. Подставлять числа только после символического упрощения.

6. В конце вернуть все ограничения и проверить потерянные точки.

Лаборатория ошибок

10. Проверка понимания

Контроль вывода формул

К концу урока ученик без опоры должен уметь:

1. вывести квадрат суммы и квадрат разности;

2. вывести куб суммы и куб разности;

3. доказать формулы суммы и разности кубов раскрытием скобок;

4. сформулировать бином Ньютона и объяснить коэффициент $C_n^k$;

5. доказать тождество Паскаля двумя случаями;

6. объяснить условие $c\ne 0$ при сокращении дроби;

7. показать на примере, почему ОДЗ сохраняется после сокращения.

Быстрая проверка понимания

Два общих эталона по теме урока: алгебраический синтез, №15 и №18: равносильные преобразования и параметр. Это не набор коротких шаблонов, а полные модели экзаменационного рассуждения.

11. От преобразования к исследованию параметра

Параметр — фиксированное число, которое мы пока не знаем. После разложения на множители нужно следить за допустимостью и совпадением корней.

Пример. Сколько различных корней имеет $(x^2-1)(x^2-a)=0$?

Корни $\pm1$ есть всегда. При $a<0$ других нет. При $a=0$ добавляется 0. При $a>0$ получаем $\pm\sqrt a$, но при $a=1$ они совпадают с $\pm1$. Значит, корней соответственно 2, 3, 4, а при $a=1$ — снова 2.

Если задан отрезок, он становится условием для замены. Например, на $[-3;3]$ уравнение $x^2=t$ даёт два различных корня при $0<t\le9$, один при $t=0$ и ни одного в остальных случаях. Поэтому квадратное уравнение по $t$ нельзя просто объявить уравнением с тем же числом корней по $x$.

Понятное объяснение для преподавателя. Сначала считаем допустимые уровни $x^2$, затем — точки на параболе над каждым уровнем. Уровень выше нуля обычно даёт две симметричные точки; ноль даёт одну; отрицательный уровень — ни одной.

12. Скачать PDF