Урок 1. Алгебраические выражения: 40 заданий с решениями

1. Используем доказанное тождество ${(u+v)}^2=u^2+2uv+v^2$ с учётом знака второго слагаемого.

2. Здесь $u=2x$, $v=3$, поэтому $u^2=4x^2$, $2uv=12x$, $v^2=9$.

3. Получаем $4x^2+12x+9$.

Ответ. $4x^2+12x+9$

Шаг 1. Используем разность квадратов: $[(3x-2)-(3x+2)][(3x-2)+(3x+2)]$.

Шаг 2. Получаем $(-4)\cdot6x=-24x$.

Ответ. $-24x$.

1. Используем доказанное тождество ${(u+v)}^2=u^2+2uv+v^2$ с учётом знака второго слагаемого.

2. Здесь $u=4x$, $v=1$, поэтому $u^2=16x^2$, $2uv=8x$, $v^2=1$.

3. Получаем $16x^2+8x+1$.

Ответ. $16x^2+8x+1$

Дважды применяем разность квадратов: $(x-1)(x+1)=x^2-1$, затем $(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$.

Ответ. $x^4-1$.

1. Распознаём разность квадратов: $9x^2={\left(3x\right)}^2$, $25=5^2$.

2. Применяем формулу $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$.

3. Получаем $(3x-5)(3x+5)$.

Ответ. $(3x-5)(3x+5)$

Шаг 1. Группируем: $x^2(x-4)-(x-4)$.

Шаг 2. Выносим общий двучлен: $(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)$.

Ответ. $(x-4)(x-1)(x+1)$.

1. Распознаём разность квадратов: $4x^2={\left(2x\right)}^2$, $81=9^2$.

2. Применяем формулу $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$.

3. Получаем $(2x-9)(2x+9)$.

Ответ. $(2x-9)(2x+9)$

Добавим и вычтем $4x^2$: $x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2$. По разности квадратов получаем $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.

Ответ. $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.

1. Знаменатель исходного выражения не равен нулю, поэтому $x\ne 0$.

2. Используем разность квадратов: ${(A+B)}^2-{(A-B)}^2=4AB$.

3. Числитель равен $4\cdot \left(3x\right)\cdot \left(2\right)=24x$, после сокращения получаем $6$ при сохранённом $x\ne 0$.

Ответ. $6$ при $x\ne 0$

Шаг 1. Знаменатель $(x-3)(x+2)$, поэтому $x\ne3,-2$.

Шаг 2. Сокращаем $x-3$ на ОДЗ: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{x+3}{x+2}=1+\frac1{x+2}$.

Шаг 3. Упрощённая дробь определена при $x=3$, исходная — нет. Поэтому на графике исходной функции выколота точка $(3;\frac65)$; прямая $x=-2$ остаётся вертикальной асимптотой.

Ответ. $\frac{x+3}{x+2}$, $x\in\mathbb R\setminus\{-2;3\}$; графики отличаются одной точкой.

1. Знаменатель исходного выражения не равен нулю, поэтому $x\ne 0$.

2. Используем разность квадратов: ${(A+B)}^2-{(A-B)}^2=4AB$.

3. Числитель равен $4\cdot \left(2x\right)\cdot \left(4\right)=32x$, после сокращения получаем $8$ при сохранённом $x\ne 0$.

Ответ. $8$ при $x\ne 0$

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne\pm1$; делитель $\frac2{x^2-1}$ на ОДЗ не равен нулю.

Шаг 2. Разность в скобках равна $\frac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1}=\frac2{x^2-1}$. Частное одинаковых ненулевых выражений равно 1.

Ответ. $1$, $x\ne\pm1$.

1. Из квадрата суммы следует ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

2. Отсюда $a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab$.

3. Подставляем данные: $7^2-2\cdot 3=43$.

Ответ. $43$

Шаг 1. $25=13+2ab$, откуда $ab=6$.

Шаг 2. $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=125-90=35$.

Ответ. $ab=6$; $a^3+b^3=35$.

1. Из квадрата суммы следует ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

2. Отсюда $a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab$.

3. Подставляем данные: ${13}^2-2\cdot 8=153$.

Ответ. $153$

Возводим в квадрат: $x^2-2+\frac1{x^2}=4$. Поэтому искомая сумма равна 6. Искать само $x$ не требуется.

Ответ. $6$.

1. Применяем формулу ${(u+v)}^3=u^3+3u^{2}v+3u{v}^2+v^3$.

2. Берём $u=2x$, $v=1$ и сохраняем знак $v$ во всех нечётных степенях.

3. Коэффициенты четырёх членов равны $8$, $12$, $6$, $1$.

4. Степени $x$ последовательно равны $3,2,1,0$.

5. Получаем $8x^3+12x^2+6x+1$.

Ответ. $8x^3+12x^2+6x+1$

Запишем два куба: $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ и $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$. После сложения остаётся $2x^3+6xy^2$.

Ответ. $2x^3+6xy^2$.

Общий знаменатель равен 12: $\frac9{12}-\frac2{12}=\frac7{12}$. Частное равно 1.

Ответ. $1$.

Последовательные изменения дают множитель $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$. Осталось 96% исходного числа.

Ответ. Уменьшилось на 4%.

1. По биному Ньютона общий член имеет вид $C_7^j\cdot {\left(1\right)}^{7-j}{\left(2x\right)}^j$.

2. Степень $x^3$ возникает только при $j=3$.

3. Коэффициент равен $C_7^3\cdot 2^3$.

4. $C_7^3=35$.

5. Искомый коэффициент равен $280$.

Ответ. $280$

Степень 4 получается двумя способами: выбрать $(-x^2)$ дважды и 1 один раз, либо $(-x^2)$ один раз и $2x$ дважды. В первом случае 3 перестановки и вклад 3; во втором 3 перестановки и вклад $3\cdot(-1)\cdot2^2=-12$. Других сочетаний трёх степеней из $\{0,1,2\}$ с суммой 4 нет.

Ответ. $-9$.

1. По биному Ньютона общий член имеет вид $C_9^j\cdot {\left(1\right)}^{9-j}{\left(3x\right)}^j$.

2. Степень $x^4$ возникает только при $j=4$.

3. Коэффициент равен $C_9^4\cdot 3^4$.

4. $C_9^4=126$.

5. Искомый коэффициент равен $10206$.

Ответ. $10206$

В равенстве $P(x)=(x-2)Q(x)+r$ подставим $x=2$. Тогда $r=P(2)=32-12+2=22$.

Ответ. $22$.

1. Раскрываем куб суммы: ${(a+b)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.

2. Выражаем искомое: $a^3+b^3={(a+b)}^3-3ab(a+b)$.

3. Подставляем $a+b=5$ и $ab=3$.

4. Получаем $5^3-3\cdot 3\cdot 5$.

5. После вычисления имеем $80$.

Ответ. $80$

Деление даёт $x^2-4x+3$ без остатка. Проверка: $(x-2)(x^2-4x+3)=x^3-6x^2+11x-6$. Квадратный множитель равен $(x-1)(x-3)$.

Ответ. Частное $x^2-4x+3$; разложение $(x-1)(x-2)(x-3)$.

1. Раскрываем куб суммы: ${(a+b)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.

2. Выражаем искомое: $a^3+b^3={(a+b)}^3-3ab(a+b)$.

3. Подставляем $a+b=10$ и $ab=21$.

4. Получаем ${10}^3-3\cdot 21\cdot 10$.

5. После вычисления имеем $370$.

Ответ. $370$

Шаг 1. Подставим $y=6-x$: $xy=6x-x^2=9-(x-3)^2$.

Шаг 2. Квадрат неотрицателен, поэтому $xy\le9$. Равенство достигается при $x=3$, тогда $y=3$. Верхняя оценка достижима и потому является максимумом.

Ответ. $9$ при $x=y=3$.

Шаг 1. Добавим и вычтем $4n^2:n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2$.

Шаг 2. Получаем разность квадратов: ${(n^2+2)}^2-{\left(2n\right)}^2$.

Шаг 3. Следовательно, $n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$.

Шаг 4. При $n>1$ оба множителя — натуральные числа, большие 1: первый равен ${(n-1)}^2+1\ge 2$, второй очевидно больше 1.

Проверка. Произведение раскрывается в $n^4+4$; представление нетривиально при всех $n>1$.

Ответ. Число составное для каждого $n>1$.

Если из $k$ скобок выбран множитель $-\frac{1}{x}$, а из остальных $2x$, степень $x$ равна $6-2k$. Для свободного члена нужно $k=3$. Его коэффициент равен $C_6^3\cdot 2^3{(-1)}^3=20\cdot 8\cdot (-1)=-160$. Ответ: $-160$.

1. По теореме о корне многочлена $P(-6)=0$, поэтому $(x+6)$ является множителем.

2. Делим коэффициенты многочлена на $(x+6)$ схемой Горнера.

3. Получаем частное $x^2+3x-1$ и нулевой остаток.

4. Проверяем обратным умножением: $(x+6)(x^2+3x-1)$ возвращает исходные коэффициенты.

5. Следовательно, $P\left(x\right)=(x+6)(x^2+3x-1)$.

Ответ. $(x+6)(x^2+3x-1)$

1. По теореме о корне многочлена $P(-3)=0$, поэтому $(x+3)$ является множителем.

2. Делим коэффициенты многочлена на $(x+3)$ схемой Горнера.

3. Получаем частное $x^2+2x+5$ и нулевой остаток.

4. Проверяем обратным умножением: $(x+3)(x^2+2x+5)$ возвращает исходные коэффициенты.

5. Следовательно, $P\left(x\right)=(x+3)(x^2+2x+5)$.

Ответ. $(x+3)(x^2+2x+5)$

ОДЗ: $x\ne 2$, $x\ne -2$. Разложим $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ и $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Первая дробь после сокращения совпадает со второй. Ответ: $0$ при $x\ne \pm 2$.

Обозначим $u=x^2+2$. Правая часть равна $(u-3x)(u+3x)=u^2-9x^2={(x^2+2)}^2-9x^2=x^4-5x^2+4$. Сравниваем коэффициенты. Ответ: $a=-5$, $b=4$.

Шаг 1. Делитель раскладывается как $(x-1)(x-2)$, поэтому необходимы и достаточны условия $P\left(1\right)=0$ и $P\left(2\right)=0$.

Шаг 2. Из $P\left(1\right)=0$ получаем $2+2p+q=0$.

Шаг 3. Из $P\left(2\right)=0$ получаем $17+10p+4q=0$.

Шаг 4. Подстановка $q=-2-2p$ во второе равенство даёт $9+2p=0$. Следовательно, $p=-\frac{9}{2},q=7$.

Проверка. При найденных коэффициентах $P\left(1\right)=P\left(2\right)=0$; корни делителя различны, поэтому делимость на их произведение доказана.

Ответ. $p=-\frac{9}{2},q=7$.

Знаменатели требуют $x\ne \pm 2$. Дробь-делитель должна быть ненулевой, поэтому $x\ne -1$. Умножаем на обратную дробь и раскладываем: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x+1}=\frac{x-1}{x-2}$. Ответ: $\frac{x-1}{x-2}$, $x\notin \{-2,-1,2\}$.

Условие подразумевает $x\ne 0$. Возводим исходное равенство в квадрат: $x^2+2+\frac{1}{x^2}=9$, значит $x^2+\frac{1}{x^2}=7$. Снова возводим в квадрат: $x^4+2+\frac{1}{x^4}=49$. Ответ: $47$.

Шаг 1. Раскроем произведение: $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$.

Шаг 2. Для положительного $t=\frac{x}{y}$ имеем $t+\frac{1}{t}-2=\frac{{(t-1)}^2}{t}\ge 0$.

Шаг 3. Следовательно, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$, а исходное произведение не меньше 4.

Шаг 4. Равенство возможно тогда и только тогда, когда $t=1$, то есть $x=y$.

Проверка полноты. Деление выполнялось только на положительные величины; условие равенства восстановлено из единственного нуля квадрата.

Ответ. Неравенство доказано; равенство при $x=y>0$.

Шаг 1. $P_a(x)=(x^2-2)(x^2-a)$. Корни $x=\pm\sqrt2$ существуют всегда.

Шаг 2. При $a<0$ второй множитель корней не даёт. При $a=0$ добавляется один корень 0. При $a>0$ появляются $\pm\sqrt a$. Они совпадают с уже найденными только при $a=2$.

Шаг 3. Двойной корень многочлена считается одним различным корнем. Отдельно проверяем $a=0$ и $a=2$.

Ответ. $(x^2-2)(x^2-a)$; 2 корня при $a<0$ или $a=2$; 3 при $a=0$; 4 при $a>0$, $a\ne2$.

Шаг 1. Разность квадратов даёт $(x^2-a-1)(x^2-a+1)=0$, то есть $x^2=a+1$ или $x^2=a-1$.

Шаг 2. На $[-2;2]$ уравнение $x^2=t$ имеет два различных корня тогда и только тогда, когда $0<t\le4$. При $t=0$ корень один. Два уровня $a-1$ и $a+1$ всегда различны, поэтому четыре корня возможны только при двух допустимых положительных уровнях.

Шаг 3. Получаем $0<a-1\le4$ и $0<a+1\le4$. Пересечение условий: $1<a\le3$. При $a=1$ корней три; при $a=3$ корни $\pm\sqrt2,\pm2$ — все четыре принадлежат отрезку.

Ответ. $a\in(1;3]$.