Урок 8. Рациональные и иррациональные неравенства

01. Решить неравенство - описать все точки, где сравнение верно

Решением неравенства является множество значений переменной. В отличие от уравнения, ответ обычно состоит из промежутков, отдельных точек или их объединения.

$$f\left(x\right)>0$$

Граница возникает там, где выражение равно нулю или перестаёт быть определено. Между соседними границами знак не может измениться без новой нулевой или запрещённой точки.

Главный принцип. Метод интервалов - не раскраска по памяти. Он основан на непрерывности выражения между критическими точками и анализе знака каждого множителя.

02. Какие преобразования неравенств равносильны

Умножение на выражение неизвестного знака без разбиения на случаи запрещено. Оно может сохранить или изменить знак в разных точках.

Контрпример. Из $\frac{1}{x}>1$ нельзя умножать на $x$ без знания его знака. При $x>0$ знак сохраняется, при $x<0$ меняется; кроме того, $x=0$ запрещён.

03. Линейное неравенство и знак коэффициента

Рассмотрим $ax>b$. Если $a>0$, деление сохраняет знак; если $a<0$, знак меняется; если $a=0$, получаем числовое сравнение и отдельный случай.

$$ax>b$$

Параметрическая привычка. Перед делением на коэффициент с параметром определите его знак и отдельно рассмотрите нулевое значение.

04. Знак квадратного трёхчлена выводится из разложения

Если квадратный трёхчлен имеет два различных корня $x_1<x_2$, то

$$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Слева от обоих корней множители $(x-x_1)$ и $(x-x_2)$ имеют одинаковый знак; между корнями - разные знаки; справа - снова одинаковый знак. Поэтому при $a>0$ трёхчлен положителен снаружи и отрицателен внутри.

При $a<0$ все знаки меняются. При $D=0$ выражение равно $a{(x-x_0)}^2$ и знак вне корня совпадает со знаком $a$.

Почему парабола не обязательна. Правило знаков полностью доказывается произведением трёх множителей. График является наглядной проверкой, но не единственным основанием.

05. Строгое и нестрогое неравенство различаются включением нулей

Точки, в которых числитель или многочлен равен нулю, включаются в ответ для знаков $\le$ и $\ge$ и не включаются для $<$ и $>$.

Точки, в которых исходное выражение не определено, не включаются никогда - независимо от строгости знака.

06. Метод интервалов: доказательный алгоритм

Пусть выражение разложено на множители. Выписываем все нули числителя и знаменателя, располагаем их на числовой прямой и делим область определения на интервалы.

• На каждом интервале каждый множитель сохраняет знак.

• Следовательно, произведение или частное также сохраняет знак.

• Достаточно определить знак в одной тестовой точке каждого интервала или последовательно отслеживать смену знака.

• Затем выбираем интервалы нужного знака и отдельно решаем вопрос о включении границ.

Метод интервалов: критические точки делят числовую прямую на области постоянного знака

07. Почему знак меняется в корне нечётной кратности

Рядом с точкой $x=a$ множитель $(x-a)$ меняет знак. Его нечётная степень сохраняет эту смену, а чётная степень делает оба соседних значения неотрицательными.

$${(x-a)}^{2n}>0\text{при}x\ne a$$

$${(x-a)}^{2n+1}\text{меняет}\text{знак}\text{при}\text{переходе}\text{через}a$$

Поэтому при проходе через корень нечётной кратности знак всего выражения меняется, а через корень чётной кратности - сохраняется, если остальные множители ненулевые.

08. Полиномиальное неравенство: пример с кратностями

Задача. Решите $(x+2){(x-1)}^2(x-4)<0$.

Критические точки: $-2,1,4$. Точка 1 имеет чётную кратность, поэтому знак при проходе через неё не меняется; в точках $-2$ и 4 меняется.

Справа при $x>4$ все множители положительны. Двигаясь влево, получаем знаки: плюс, минус, минус, плюс.

Для строгого неравенства все нули исключаются. Выбираем интервалы отрицательного знака.

Проверка. Возьмите по одной точке из выбранного и невыбранного интервала. Числовая подстановка проверяет знаковую схему, но не заменяет доказательство постоянства знака.

09. Рациональное неравенство начинается с одной дроби

Все члены переносим в одну часть и приводим к общему знаменателю. Только после этого анализируем знак одной рациональной функции.

Пример. Решите $\frac{x+1}{x-2}>1$.

$$\frac{x+1}{x-2}-1>0$$

$$\frac{3}{x-2}>0$$

Числитель 3 положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Получаем $x>2$. Точка 2 исключена как нуль исходного знаменателя.

Запрет. Нельзя переносить знаменатель вправо без знания его знака. Приведение к одной дроби избегает разбиения на лишние случаи.

10. Нули знаменателя - выколотые точки

В рациональном неравенстве знаменатель не может равняться нулю. Его нули являются критическими точками, потому что при нечётной кратности знак дроби меняется, но сами точки никогда не входят в ответ.

$$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\ge 0,Q\left(x\right)\ne 0$$

Даже если после сокращения множитель исчез, соответствующая точка остаётся выколотой по исходной области определения.

11. Сокращение общего множителя и сохранение ОДЗ

Задача. Решите $\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)}\ge 0$.

Исходная ОДЗ: $x\ne 1$ и $x\ne 2$. Сокращаем $x-1$ только на этой области:

$$\frac{x+3}{x-2}\ge 0,x\ne 1,x\ne 2$$

Метод интервалов для сокращённой дроби даёт предварительные промежутки, но точка $x=1$ должна быть удалена из ответа, хотя в сокращённой записи знаменатель там не равен нулю.

Смысл выколотой точки. Сокращение делает функцию проще на её исходной области, но не доопределяет её в запрещённой точке.

12. Знак дроби можно анализировать как знак произведения

Для ненулевого знаменателя числа $Q$ и $\frac{1}{Q}$ имеют одинаковый знак. Поэтому знак дроби $\frac{P}{Q}$ совпадает со знаком произведения $P\cdot Q$.

$$\frac{P}{Q}\text{и}PQ\text{имеют}\text{одинаковый}\text{знак}\text{при}Q\ne 0$$

Это позволяет строить одну знаковую схему по всем множителям числителя и знаменателя. Но нули знаменателя всё равно отмечаются как выколотые.

Доказательство. Произведение $\left(\frac{P}{Q}\right)\cdot \left(PQ\right)=P^2$ неотрицательно и положительно при $P\ne 0$. Значит, ненулевые выражения имеют одинаковый знак; при $P=0$ оба равны нулю.

13. Система неравенств означает пересечение

Система требует одновременного выполнения всех условий, поэтому множества решений пересекаются.

$$A\left(x\right)>0\text{и}B\left(x\right)\le 0$$

В рабочей записи каждый ответ отмечаем на общей числовой прямой и оставляем только общую часть.

Пример. $x>-1$ и $x\le 3$ дают $(-1;3]$.

Язык множеств словами. Если символ пересечения мешает ученику, проговорите: «оставляем значения, которые подходят обоим неравенствам».

14. Совокупность неравенств означает объединение

Совокупность допускает выполнение хотя бы одного условия. Поэтому в ответ входят все значения из любого из найденных множеств.

Пример. $x<-2$ или $x\ge 1$ дают два промежутка: $(-\infty ;-2)$ и $[1;+\infty )$.

В задачах с модулем совокупность часто появляется после ветвления, а в рациональных неравенствах несколько промежутков возникают из знаковой схемы.

15. Неравенство с модулем как расстояние

Для $r\ge 0$ условие $|x-a|<r$ означает, что расстояние от $x$ до $a$ меньше $r$.

$$|x-a|<r\iff a-r<x<a+r$$

Условие $|x-a|>r$ означает выход за пределы отрезка:

$$x<a-r\text{или}x>a+r$$

Для сложного выражения $\left|f\left(x\right)\right|<g\left(x\right)$ сначала требуется $g\left(x\right)>0$, после чего возникает двойное неравенство $-g\left(x\right)<f\left(x\right)<g\left(x\right)$.

16. Квадратное неравенство без действительных корней

Если $D<0$, квадратный трёхчлен не обращается в ноль и сохраняет знак на всей прямой. Этот знак совпадает со знаком старшего коэффициента.

Пример. $x^2+4x+5={(x+2)}^2+1>0$ для любого $x$. Неравенство $x^2+4x+5\le 0$ решений не имеет.

Дополнение до квадрата одновременно доказывает отсутствие корней и знак выражения.

17. Замена t=x2 в рациональном неравенстве

Если выражение зависит только от $x^2$, вводим $t=x^2\ge 0$, решаем неравенство по $t$, а затем возвращаемся к $x$.

Пример. Решите $\frac{x^4-5x^2+4}{x^2-9}\ge 0$.

$$t=x^{2,}t\ge 0,t\ne 9$$

$$\frac{(t-1)(t-4)}{t-9}\ge 0$$

После метода интервалов по $t$ пересекаем ответ с условием $t\ge 0$ и только затем возвращаем каждый допустимый промежуток к условию на $x^2$.

Двойной контроль. Нужно сохранить и область новой переменной $t\ge 0$, и запрет $t\ne 9$, пришедший из исходного знаменателя.

18. Метод замены знака произведения без раскрытия скобок

Раскрытие скобок часто скрывает критические точки. В неравенствах выгодно, наоборот, сохранять факторизацию.

Пример. Для $(2x-3)(x+5)(x^2+1)\le 0$ множитель $x^2+1$ всегда положителен и не влияет на знак. Остаётся линейное произведение $(2x-3)(x+5)\le 0$.

Факт $x^2+1>0$ должен быть доказан, после чего множитель можно безопасно удалить из знакового анализа.

19. Положительный квадрат можно сократить из знакового выражения, но сохранить его нули

Множитель ${(x-a)}^2$ неотрицателен и положителен вне точки $a$. Для строгого неравенства его нуль всё равно исключает точку, а знак на соседних интервалах не меняется.

Пример. ${(x-2)}^2(x+1)>0$. Вне $x=2$ знак определяет $x+1$. Поэтому предварительно $x>-1$, но точку $x=2$ нужно удалить из ответа, поскольку там произведение равно нулю.

20. Рациональная функция с квадратом в знаменателе

Ненулевой квадрат знаменателя положителен. Поэтому знак дроби определяется числителем, а нули знаменателя лишь вырезаются из ответа.

$$\frac{P\left(x\right)}{Q^2\left(x\right)}\text{имеет}\text{знак}P\left(x\right)\text{при}Q\left(x\right)\ne 0$$

Пример. $\frac{x-4}{(x+1)^2}\ge0$. ОДЗ: $x\ne-1$. На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому ответ $x\ge4$.

21. Полный разбор полиномиального неравенства

Задача. Решите $(x-3)(x+1){(x-2)}^2\ge 0$.

Критические точки: $-1,2,3$. Корень 2 имеет чётную кратность, остальные - нечётную.

Справа от 3 знак положительный. Через 3 знак меняется на отрицательный; через 2 сохраняется отрицательным; через $-1$ меняется на положительный.

Так как знак нестрогий, все три нуля включаются. Из схемы выбираем положительные интервалы и нулевые точки.

Проверка полноты. Критические точки перечислены все, между ними знак постоянен, а включение каждой границы разобрано - значит, других частей ответа нет.

22. Полный разбор рационального неравенства

Задача. Решите $\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)(x+3)}\le 0$.

Нули числителя: $-2$ и 4. Нули знаменателя: $-3$ и 1; они запрещены. Все корни простые, поэтому знак меняется в каждой критической точке.

Справа при $x>4$ знак положительный. Двигаясь влево, чередуем знаки и выбираем интервалы с отрицательным знаком, а также нули числителя.

Точки $-3$ и 1 ставятся пустыми; точки $-2$ и 4 включаются из-за знака $\le$.

23. Сложное неравенство после приведения к одной дроби

Задача. Решите $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}\ge 1$.

ОДЗ: $x\ne 1,x\ne -2$. Переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю.

$$\frac{2(x+2)-(x-1)-(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}\ge 0$$

Числитель упрощаем и по возможности раскладываем на множители. После этого применяем метод интервалов к одной дроби. Умножать исходное неравенство на общий знаменатель нельзя, потому что его знак меняется.

24. Параметр в линейном множителе

Задача. В зависимости от $a$ решите $(a-1)x>2$.

При $a>1$ коэффициент положителен и $x>\frac{2}{a-1}$. При $a<1$ коэффициент отрицателен, поэтому знак меняется: $x<\frac{2}{a-1}$. При $a=1$ получаем $0>2$ - решений нет.

Полнота случаев. Три возможности $a>1,a<1$ и $a=1$ исчерпывают все значения параметра и определяют допустимость деления и направление знака.

25. Параметр и касание квадратного трёхчлена

Задача. При каких $a$ неравенство $x^2-2ax+a^2-1\ge 0$ верно для всех $x$?

Дополняем до квадрата:

$${(x-a)}^2-1\ge 0$$

При $x=a$ левая часть равна $-1$ независимо от $a$. Поэтому неравенство не может быть верным для всех $x$ ни при каком $a$.

Проверка экстремума. Для условия «при всех $x$» ищем наименьшее значение выражения. Одного контрпримера $x=a$ достаточно, чтобы исключить любое значение параметра.

26. Неравенство через оценку

Иногда знаковый метод заменяется доказанной оценкой. Например, для $t>0$

$$t+\frac{1}{t}\ge 2$$

потому что ${(t-1)}^2\ge 0$. Поэтому неравенство $t+\frac{1}{t}<2$ решений не имеет, а равенство возможно только при $t=1$.

Такие оценки особенно полезны после замены $t=x^2$ или $t=a^x$.

27. Лаборатория ошибок

28. Контроль восстановления доказательств

• вывести знак квадратного трёхчлена из разложения на множители;

• объяснить постоянство знака между соседними критическими точками;

• доказать смену знака в корне нечётной и сохранение в корне чётной кратности;

• объяснить, почему нуль знаменателя не включается при нестрогом знаке;

• доказать одинаковый знак $\frac{P}{Q}$ и $P\cdot Q$ при $Q\ne 0$;

• различить пересечение системы и объединение совокупности.

29. Дополнительная практика по основному банку

30. Карта урока

31. Быстрая проверка понимания

32. Как упростить или усложнить урок

33. Финальное упражнение: доказать собственную знаковую схему

Составьте рациональное неравенство с одним корнем числителя чётной кратности, одним простым корнем числителя и двумя нулями знаменателя. Постройте знаковую схему, объясните каждую смену знака и отдельно обоснуйте включение или исключение всех четырёх границ.

Критерий. Ответ считается полным только вместе с исходной ОДЗ, факторизацией, кратностями, контрольной точкой и правилами включения границ.

34. Разбор сложных задач ЕГЭ

Шесть крупных задач разбираются полностью: от ОДЗ и выбора метода до проверки, графической интерпретации и доказательства полноты ответа.

35. Задача 1 • четыре критические точки

Условие

Решите неравенство

$$\frac{(x-4)(x+1)}{(x-2)(x+3)}\ge 0.$$

Разбор

Шаг 1.

ОДЗ:

$$x\ne -3,x\ne 2.$$

Шаг 2.

Нули числителя:

$$x=-1,x=4.$$

Шаг 3.

Все критические точки в порядке возрастания:

$$-3,-1,2,4.$$

Шаг 4.

Каждый линейный множитель имеет нечётную кратность, поэтому знак меняется при переходе через каждую критическую точку. Справа выражение положительно.

Рисунок 1. Закрашенные точки - нули числителя; пустые точки - запрещённые значения знаменателя.

Шаг 5.

Для знака «больше или равно нулю» выбираем положительные интервалы и включаем нули числителя:

$$(-\infty ,-3)\cup [-1,2)\cup [4,+\infty ).$$

Контроль полноты

Учтены все нули числителя и знаменателя; знак на крайнем интервале проверен, а дальнейшее чередование оправдано нечётными кратностями.

Ответ: $(-\infty ,-3)\cup [-1,2)\cup [4,+\infty )$.

36. Задача 2 • чётная кратность не меняет знак

Условие

Решите неравенство

$$\frac{{(x-2)}^2(x+1)}{x-3}\le 0.$$

Разбор

• ОДЗ:

$$x\ne 3.$$

• Критические точки:

  1. $x=-1$ - ноль нечётной кратности;

  2. $x=2$ - ноль чётной кратности;

  3. $x=3$ - полюс нечётной кратности.

• На интервале $(3,+\infty )$ выражение положительно. Через $x=3$ знак меняется, через $x=2$ сохраняется, через $x=-1$ снова меняется.

• Неположительный знак получаем на промежутке от $-1$ до $3$. Точка $2$ входит как ноль числителя, а точка $3$ исключается:

$$[-1,3).$$

Контроль полноты

В точке $x=2$ знак не меняется, но само выражение равно нулю; это не повод разрывать итоговый промежуток.

Ответ: $[-1,3)$.

Экзаменационный акцент: механическое чередование знаков без учёта кратности дало бы неверный ответ.

37. Задача 3 • сокращение и скрытая выколотая точка

Условие

Решите неравенство

$$\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}\le 0.$$

Разбор

Факторизуем и фиксируем исходную ОДЗ:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\le 0,$$

$$x\ne 1,x\ne 2.$$

На ОДЗ сокращаем общий множитель:

$$\frac{x+1}{x-2}\le 0.$$

Для сокращённого выражения решение:

$$[-1,2).$$

Возвращаем запрет $x=1$, который после сокращения исчез из записи:

$$[-1,1)\cup (1,2).$$

Контроль полноты

Точка $x=1$ не может быть включена, хотя сокращённая дробь в ней имеет конечное значение: исходное выражение там не определено.

Ответ: $[-1,1)\cup (1,2)$.

38. Задача 4 • рациональное неравенство после замены

Условие

Решите неравенство

$$\frac{x^2-1}{x^2-4}\le 0.$$

Разбор

ОДЗ:

$$x\ne -2,x\ne 2.$$

Вводим

$$t=x^2,t\ge 0.$$

• Получаем

$$\frac{t-1}{t-4}\le 0.$$

В переменной $t$:

$$t\in [1,4).$$

• Это согласуется с условием $t\ge 0$.

  Возвращаемся к $x$:

$$1\le x^2<4.$$

• Следовательно,

$$x\in (-2,-1]\cup [1,2).$$

Контроль полноты

При обратном переходе учтены обе симметричные ветви $x<0$ и $x>0$; точки $\pm 2$ исключены, точки $\pm 1$ включены.

Ответ: $(-2,-1]\cup [1,2)$.

39. Задача 5 • система рациональных неравенств

Условие

Решите систему

$$\{\begin{array}{c}\hfill \frac{x-1}{x+2}\ge 0,\hfill \\ \hfill \frac{(x-3)(x+1)}{x-4}\le 0.\hfill \end{array}$$

Разбор

Первое неравенство:

$$\frac{x-1}{x+2}\ge 0\Rightarrow x\in (-\infty ,-2)\cup [1,+\infty ).$$

Во втором неравенстве критические точки $-1$, $3$, $4$. Справа знак положителен, поэтому

$$\frac{(x-3)(x+1)}{x-4}\le 0\Rightarrow x\in (-\infty ,-1]\cup [3,4).$$

Система означает пересечение:

$$((-\infty ,-2)\cup [1,+\infty ))\cap \left((-\infty ,-1]\cup [3,4)\right).$$

Получаем

$$(-\infty ,-2)\cup [3,4).$$

Контроль полноты

Точка $-2$ исключена первым знаменателем, точка $4$ - вторым; точки $3$ и $-1$ проверены по знаку, но $-1$ не проходит первое неравенство.

Ответ: $(-\infty ,-2)\cup [3,4)$.

40. Задача 6 • ровно четыре целых решения

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство

$$\frac{x-a}{x-2}\le 0$$

имеет ровно четыре целых решения.

Разбор

При $a=2$ дробь равна $1$ на ОДЗ $x\ne 2$, поэтому решений нет.

Пусть $a<2$. Тогда

$$x\in [a,2).$$

• Целые решения имеют вид

$$\lceil a\rceil ,\lceil a\rceil +1,\dots ,1.$$

• Их число равно $2-\lceil a\rceil$. Требуем четыре:

$$2-\lceil a\rceil =4,$$

• поэтому $\lceil a\rceil =-2$, то есть

$$-3<a\le -2.$$

Пусть $a>2$. Тогда

$$x\in (2,a].$$

• Целые решения: $3,4,\dots ,\lfloor a\rfloor$. Их число

$$\lfloor a\rfloor -2.$$

• Условие четырёх решений даёт $\lfloor a\rfloor =6$, то есть

$$6\le a<7.$$

Рисунок 2. Выколотая точка $x=2$ разделяет два принципиально разных положения параметра.

Контроль полноты

Случаи $a<2$, $a=2$, $a>2$ попарно не пересекаются и покрывают все действительные значения параметра; граничные значения проверены через функции пола и потолка.

Ответ: $a\in (-3,-2]\cup [6,7)$.

Экзаменационный акцент: подсчёт целых решений требует отдельно контролировать открытые и закрытые границы.

41. Итог урока

Нули знаменателя никогда не входят в ответ.

Чётная кратность сохраняет знак, нечётная - меняет.

После сокращения сохраняется исходная ОДЗ.

Замена $t=x^2$ требует $t\ge 0$ и двух ветвей при возврате.

Система означает пересечение множеств решений.

В задаче с параметром граничные значения определяют точный целочисленный счёт.

42. Метод интервалов после разложения на множители

Эталонный разбор 1 • Рациональное неравенство с пятью критическими точками

Условие

Решите неравенство $\frac{(x^2-4)(x-1)}{x^2-9}\le 0$.

Решение с обоснованием

Шаг 1. Разложим выражение: $\frac{(x-2)(x+2)(x-1)}{(x-3)(x+3)}$. ОДЗ: $x\ne -3,x\ne 3$.

Шаг 2. Критические точки: $-3,-2,1,2,3$. Все множители имеют первую степень, поэтому знак меняется при переходе через каждую точку.

Шаг 3. Справа от 3 знак положительный. Последовательно восстанавливая знаки, получаем отрицательные или нулевые участки $(-\infty ;-3),[-2;1]$ и $[2;3)$.

Шаг 4. Нули числителя $-2,1,2$ включаются, а нули знаменателя $\pm 3$ исключаются.

Контроль полноты. Учтены все нули числителя и знаменателя; пробный знак справа и кратности однозначно задают всю таблицу.

Ответ. $(-\infty ;-3)\cup [-2;1]\cup [2;3)$.

Экзаменационный акцент. Критическая ошибка - включить $\pm 3$ или потерять участок из-за несистемной проверки знаков.

43. Иррациональные неравенства: учёт знака перед возведением в квадрат

Неравенства с корнем: разбиение по знаку

При сравнении корня с выражением нельзя сразу возводить обе части в квадрат. Сначала нужно определить знак правой части. Если она отрицательна, неотрицательный корень автоматически больше неё.

Полный разбор

Задача. Решите $\sqrt{x+1}\ge x-1$.

Шаг 1. ОДЗ корня: $x\ge -1$. Если $x-1\le 0$, то есть $x\le 1$, неравенство выполняется автоматически: левая часть неотрицательна. Получаем промежуток $[-1;1]$.

Шаг 2. Пусть $x>1$. Теперь обе части положительны, поэтому можно равносильно возвести их в квадрат:

$$x+1\ge {(x-1)}^2,x+1\ge x^2-2x+1.$$

После переноса получаем $x^2-3x\le 0$, то есть $0\le x\le 3$. Пересечение с условием $x>1$ даёт $(1;3]$. Объединяя оба случая, получаем ответ $[-1;3]$.

Проверка границ. При $x=-1$ левая часть 0, правая $-2$; при $x=3$ обе части равны 2. Точки входят. При $x=4$ получаем $\sqrt{5}<3$, поэтому правее 3 решений нет.

Рационализация разности корней

Для натурального $n$ рассмотрим разность $\sqrt{n+1}$−$\sqrt{n}$. Умножим и разделим на сопряжённую сумму:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$$

Знаменатель растёт с увеличением $n$, поэтому разность соседних корней уменьшается. Кроме того, знаменатель больше $2\sqrt{n}$, следовательно, разность меньше $\frac{1}{2\sqrt{n}}$. Такая оценка позволяет сравнивать выражения без десятичных приближений.

Задача. Сравните $\sqrt{101}-10$ и $\frac{1}{20}$. После рационализации $\sqrt{101}-10=\frac{1}{\sqrt{101}+10}$. Знаменатель больше 20, поэтому выражение меньше $\frac{1}{20}$.

Запрет. Возведение неравенства в квадрат равносильно только при неотрицательности обеих частей. Если знак неизвестен, сначала разбейте задачу на случаи.

Эталонный разбор 1 • Неравенство с корнем и меняющей знак правой частью

Условие

Решите неравенство $\sqrt{x+4}\ge x$.

Решение с обоснованием

Шаг 1. ОДЗ: $x\ge -4$. Если $-4\le x\le 0$, правая часть неположительна, а левая неотрицательна, поэтому весь этот отрезок подходит.

Шаг 2. Если $x>0$, обе части положительны и можно равносильно возвести их в квадрат: $x+4\ge x^2$.

Шаг 3. Получаем $x^2-x-4\le 0$. Корни равны $\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$; с учётом $x>0$ остаётся $0<x\le \frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Шаг 4. Объединяем два случая.

Контроль полноты. Разбиение по знаку правой части обязательно: без него возведение в квадрат потеряло бы весь участок $[-4;0]$.

Ответ. $[-4;\frac{1+\sqrt{17}}{2}]$.

Экзаменационный акцент. В решении должны быть явно разделены случаи $x\le 0$ и $x>0$.

44. Задачи повышенной сложности с подробным решением

Разбор 1

Решите неравенство $\frac{(x^2-5x+6)(x^2+x-6)}{(x^2-4)(x-3)}\le 0$.

Разбор 2

Решите неравенство $\frac{x^4-5x^2+4}{x^4-13x^2+36}\ge 0$.

Разбор 3

Решите неравенство $\sqrt{x+3}\ge x-1$.

Разбор 4

Решите неравенство $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}\le 1$.

Разбор 5

Решите неравенство $\sqrt{x^2-1}\le x+1$.

Разбор 6

Решите неравенство $\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}\ge 4$.

45. Как объяснить неравенство с корнем

Вопрос перед возведением в квадрат: какой знак у правой части? Например, в $\sqrt{5-x}>x-1$ ОДЗ даёт $x\le5$. При $x<1$ слева неотрицательное, справа отрицательное число: всё уже верно. Только на $[1;5]$ можно сравнивать квадраты. Получается $x^2-x-4<0$ и ответ $x<\frac{1+\sqrt{17}}2$.

Ученик должен назвать обе ветви, затем объединить их. График показывает результат, а проверка знака доказывает равносильность переходов.

46. Параметр и точное число целых решений

Если условие для целого $n\ge0$ записано как $a\ge g(n)$, сначала докажите монотонность $g(n)$. Тогда число решений меняется только в порогах $g(0),g(1),\ldots$. Чтобы решений было четыре, включаем четвёртый порог $g(3)$ и исключаем пятый $g(4)$. При строгом исходном знаке включение границ изменится.

47. Скачать PDF