Урок 8. Рациональные и иррациональные неравенства: 40 заданий с решениями

1. Переносим свободный член: $3x>6$.

2. Делим на положительное число, знак сохраняется.

3. Получаем $x>2$.

Ответ. $x>2$

1. Переносим свободный член: $-2x<-8$.

2. Делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется.

3. Получаем $x>4$.

Ответ. $x>4$

ОДЗ: $x\ge-1$. Обе части неотрицательны, поэтому квадрат сохраняет знак: $x+1>4$, то есть $x>3$. Это условие уже лежит в ОДЗ.

Ответ. $\left(3, \infty\right)$.

ОДЗ: $x\le5$. Возводим неотрицательные части в квадрат: $5-x\le9$, откуда $x\ge-4$. Пересекаем с ОДЗ.

Ответ. $\left[-4, 5\right]$.

1. Критические точки: $x=-2$ и $x=3$.

2. Старший коэффициент положителен, поэтому произведение положительно вне корней и отрицательно между ними.

3. С учётом строгости знака получаем $[-2;3]$.

Ответ. $[-2;3]$

1. Критические точки: $x=1$ и $x=5$.

2. Старший коэффициент положителен, поэтому произведение положительно вне корней и отрицательно между ними.

3. С учётом строгости знака получаем $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$.

Ответ. $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$

Шаг 1. Правая часть должна быть неотрицательной: $x\ge0$. Это сильнее условия $x\ge-2$ под корнем.

Шаг 2. На $x\ge0$ квадрат равносилен: $x+2\le x^2$. Получаем $(x-2)(x+1)\ge0$ и пересекаем с $x\ge0$.

Ответ. $\left[2, \infty\right)$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\le5$. При $x<1$ справа отрицательное число, поэтому неравенство верно.

Шаг 2. При $1\le x\le5$ обе части неотрицательны. Квадрат даёт $5-x>(x-1)^2$, то есть $x^2-x-4<0$.

Шаг 3. Корни трёхчлена $\frac{1\pm\sqrt{17}}2$. На второй ветви остаётся $1\le x<\frac{1+\sqrt{17}}2$. Объединяем обе ветви.

Ответ. $\left(-\infty, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right)$.

1. Нуль числителя: $x=-3$; нуль знаменателя: $x=2$, эта точка всегда исключена.

2. Размещаем критические точки на числовой прямой и определяем знак дроби на каждом интервале.

3. Выбираем интервалы нужного знака и учитываем строгость: $(-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$.

Ответ. $(-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$

1. Нуль числителя: $x=-1$; нуль знаменателя: $x=4$, эта точка всегда исключена.

2. Размещаем критические точки на числовой прямой и определяем знак дроби на каждом интервале.

3. Выбираем интервалы нужного знака и учитываем строгость: $[-1;4)$.

Ответ. $[-1;4)$

Шаг 1. ОДЗ: $x\ge\frac12$. При $x\le2$ правая часть неположительна, подходят все $x\in[\frac12;2]$.

Шаг 2. При $x>2$ возводим в квадрат: $2x-1\ge(x-2)^2$, то есть $(x-1)(x-5)\le0$. Вместе с $x>2$ получаем $(2;5]$.

Шаг 3. Объединяем ветви. В точке $x=5$ достигается равенство.

Ответ. $\left[\frac{1}{2}, 5\right]$.

ОДЗ: $x\le-2$ или $x\ge2$. Слева неотрицательное число, поэтому отрицательная ветвь не подходит. При $x\ge2$ после квадрата остаётся $x^2-4\le x^2$, что верно всегда.

Ответ. $\left[2, \infty\right)$.

1. Модуль - расстояние от $x$ до точки $2$.

2. Расстояние должно быть меньше $3$.

3. Получаем $(-1;5)$.

Ответ. $(-1;5)$

1. Модуль - расстояние от $x$ до точки $1$.

2. Расстояние должно быть не больше $4$.

3. Получаем $[-3;5]$.

Ответ. $[-3;5]$

1. Перенос уже выполнен: выражение представляет одну рациональную дробь.

2. Нули числителя: -3, 2; нули знаменателя: 1.

3. Точки знаменателя выколоты независимо от строгости неравенства.

4. Расставляем критические точки по возрастанию и определяем знак на крайнем правом интервале.

5. При переходе через каждый простой корень знак меняется; выбираем нужные интервалы: $(-3;1)\cup (2;+\infty )$.

Ответ. $(-3;1)\cup (2;+\infty )$

1. Перенос уже выполнен: выражение представляет одну рациональную дробь.

2. Нули числителя: -2, 4; нули знаменателя: 0.

3. Точки знаменателя выколоты независимо от строгости неравенства.

4. Расставляем критические точки по возрастанию и определяем знак на крайнем правом интервале.

5. При переходе через каждый простой корень знак меняется; выбираем нужные интервалы: $(-\infty ;-2]\cup (0;4]$.

Ответ. $(-\infty ;-2]\cup (0;4]$

1. На единичной окружности синус равен нулю на оси абсцисс.

2. Соответствующие углы кратны $\pi$.

3. $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\pi k$

1. $27=3^3$.

2. Основания одинаковы.

3. $x=3$.

Ответ. $3$

1. ОДЗ: $x>1$.

2. $x-1=2^3=8$.

3. $x=9$.

4. Кандидат входит в ОДЗ.

5. Проверка возвращает 3.

Ответ. $9$

1. Нужно $x\ge 1$.

2. Квадрат: $x+1={(x-1)}^2$.

3. $x^2-3x=0$.

4. Кандидаты 0 и 3.

5. Условие оставляет 3.

Ответ. $3$

Совместная ОДЗ: $x\ge\frac12$. Обе стороны неотрицательны. После возведения в квадрат: $x+3\ge2x-1$, откуда $x\le4$. Берём пересечение.

Ответ. $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ge-4$. Строгое неравенство требует $2-x>0$, то есть $x<2$.

Шаг 2. Квадрат даёт $x+4<(2-x)^2$, или $x(x-5)>0$. Значит, $x<0$ или $x>5$.

Шаг 3. Пересекаем с $[-4;2)$. Точка $-4$ входит, точка 0 не входит.

Ответ. $\left[-4, 0\right)$.

1. Перенос уже выполнен: выражение представляет одну рациональную дробь.

2. Нули числителя: -4, 0, 3; нули знаменателя: 2.

3. Точки знаменателя выколоты независимо от строгости неравенства.

4. Расставляем критические точки по возрастанию и определяем знак на крайнем правом интервале.

5. При переходе через каждый простой корень знак меняется; выбираем нужные интервалы: $(-\infty ;-4)\cup (0;2)\cup (3;+\infty )$.

Ответ. $(-\infty ;-4)\cup (0;2)\cup (3;+\infty )$

1. Перенос уже выполнен: выражение представляет одну рациональную дробь.

2. Нули числителя: -2, 1, 5; нули знаменателя: 3.

3. Точки знаменателя выколоты независимо от строгости неравенства.

4. Расставляем критические точки по возрастанию и определяем знак на крайнем правом интервале.

5. При переходе через каждый простой корень знак меняется; выбираем нужные интервалы: $[-2;1]\cup (3;5]$.

Ответ. $[-2;1]\cup (3;5]$

Шаг 1. ОДЗ: $x\ge-1$, $x\ne3$.

Шаг 2. Так как $x-3=(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)$, на ОДЗ дробь равна $\frac1{\sqrt{x+1}+2}>0$.

Шаг 3. Подходят все точки ОДЗ. После сокращения точку 3 возвращать нельзя.

Ответ. $\left[-1, 3\right) \cup \left(3, \infty\right)$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\le-1$ или $x\ge1$. На первой ветви правая часть отрицательна и неравенство верно.

Шаг 2. На $x\ge1$ квадрат даёт $x^2-1>(x-1)^2$, то есть $x>1$. При $x=1$ обе части нулевые, строгий знак не выполнен.

Ответ. $\left(-\infty, -1\right] \cup \left(1, \infty\right)$.

1. Перенос уже выполнен: выражение представляет одну рациональную дробь.

2. Нули числителя: -2, 3; нули знаменателя: -5, 1.

3. Точки знаменателя выколоты независимо от строгости неравенства.

4. Расставляем критические точки по возрастанию и определяем знак на крайнем правом интервале.

5. При переходе через каждый простой корень знак меняется; выбираем нужные интервалы: $(-\infty ;-5)\cup (-2;1)\cup (3;+\infty )$.

Ответ. $(-\infty ;-5)\cup (-2;1)\cup (3;+\infty )$

1. Перенос уже выполнен: выражение представляет одну рациональную дробь.

2. Нули числителя: -4, 1; нули знаменателя: -2, 5.

3. Точки знаменателя выколоты независимо от строгости неравенства.

4. Расставляем критические точки по возрастанию и определяем знак на крайнем правом интервале.

5. При переходе через каждый простой корень знак меняется; выбираем нужные интервалы: $[-4;-2)\cup [1;5)$.

Ответ. $[-4;-2)\cup [1;5)$

Шаг 1. ОДЗ: $-2\le x\le2$. После квадрата неотрицательных частей получаем $4+2\sqrt{4-x^2}\ge6$.

Шаг 2. Это равносильно $\sqrt{4-x^2}\ge1$. Второй квадрат даёт $x^2\le3$.

Шаг 3. Полученный отрезок целиком лежит в ОДЗ, обе границы включены.

Ответ. $\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$.

1. Решаем каждое неравенство системы отдельно.

2. Система означает пересечение множеств решений.

3. Отмечаем оба множества на одной числовой прямой.

4. Границы включаем только там, где это разрешено знаком и ОДЗ.

5. Пересечение равно $(-\infty ,-2)\cup (1,4)$.

Ответ. $(-\infty ,-2)\cup (1,4)$

Шаг 1. ОДЗ: $x\ge-3$. Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат без дополнительных ветвей.

Шаг 2. Получаем $x+3\le(x-1)^2$, то есть $x^2-3x-2\ge0$. Корни равны $\frac{3\pm\sqrt{17}}2$.

Шаг 3. Берём внешние промежутки параболы и пересекаем с ОДЗ.

Ответ. $\left[-3, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ge-1$, $x\ne2$. Числитель неотрицателен и равен нулю только при $x=-1$.

Шаг 2. При $x>-1$ для отрицательной дроби нужен отрицательный знаменатель: $x<2$. Точку $-1$ включаем, потому что дробь в ней равна нулю.

Ответ. $\left[-1, 2\right)$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne -1$ и $x\ne 2$. Нули числителя: $x=-3$ и $x=1$; корень $x=1$ имеет чётную кратность.

Шаг 2. Расставим критические точки −3, −1, 1, 2. Справа от 2 выражение положительно.

Шаг 3. При переходе через простой корень или полюс знак меняется, а через двойной корень $x=1$ - сохраняется.

Шаг 4. Получаем неотрицательные участки [−3;−1), отдельную точку $x=1$ и интервал (2;+∞).

Проверка полноты. Нули числителя включены, если принадлежат ОДЗ; полюса −1 и 2 исключены; кратность $x=1$ учтена.

Ответ. $[-3;-1)\cup \left\{1\right\}\cup (2;+\infty )$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne -1$ и $x\ne 1$. Перенесём единицу влево, сохраняя общий знаменатель.

Шаг 2. Получаем $\frac{x^2-5x+6-x^2+1}{x^2-1}<0$, то есть $\frac{7-5x}{(x-1)(x+1)}<0$.

Шаг 3. Критические точки: −1, 1 и $\frac{7}{5}$. Таблица знаков даёт отрицательные интервалы (−1;1) и $(\frac{7}{5};+\infty )$.

Шаг 4. Все границы исключаются: ±1 не входят в ОДЗ, а при $x=\frac{7}{5}$ достигается нуль, тогда как неравенство строгое.

Проверка полноты. Перенос к одной дроби равносилен на ОДЗ; рассмотрены все нули числителя и знаменателя.

Ответ. $(-1;1)\cup (\frac{7}{5};+\infty )$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne 2$ и $x\ne 3$. Перенесём единицу влево.

Шаг 2. Получаем $\frac{x^2-4-x^2+5x-6}{(x-2)(x-3)}\ge 0$, то есть $\frac{5(x-2)}{(x-2)(x-3)}\ge 0$.

Шаг 3. На ОДЗ можно сократить $x-2$ и получить $\frac{5}{x-3}\ge 0$, но точка $x=2$ остаётся запрещённой.

Шаг 4. Дробь положительна при $x>3$. Этот интервал не содержит ни одной потерянной или запрещённой внутренней точки.

Проверка полноты. Значение $x=2$ не возвращено после сокращения, $x=3$ исключено; при $x>3$ исходная дробь действительно не меньше 1.

Ответ. (3;+∞).

Шаг 1. Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому $x\ge -1$.

Шаг 2. При $x\ge 2$ имеем $x-2\le \frac{x+1}{2}$, откуда $x\le 5$. Получаем [2;5].

Шаг 3. При $-1\le x<2$ имеем $2-x\le \frac{x+1}{2}$, откуда $x\ge 1$. Получаем [1;2).

Шаг 4. Объединяя случаи, получаем [1;5].

Проверка. На концах $x=1$ и $x=5$ достигается равенство; вне найденного отрезка нарушается одна из полученных линейных оценок.

Ответ. [1;5].

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne -3$ и $x\ne 2$. На ОДЗ сокращаем один множитель $x-2$ и получаем $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+3)}<0$.

Шаг 2. Критические точки −3, −1, 1, 2 расположены по возрастанию. Все имеют нечётную кратность, поэтому знак при каждом переходе меняется.

Шаг 3. Справа от 2 выражение положительно; отрицательные промежутки - (1;2) и (−3;−1).

Шаг 4. Нули −1 и 1 не включаются из-за строгого знака, полюса −3 и 2 - из-за ОДЗ.

Проверка полноты. После сокращения запрещённая точка $x=2$ сохранена; все четыре критические точки учтены.

Ответ. $(-3;-1)\cup (1;2)$.

Шаг 1. Если $a<3$, критические точки расположены как $a<3$. Метод интервалов даёт множество решений $[a;3)$, его длина равна $3-a$.

Шаг 2. Условие $3-a=5$ даёт $a=-2$.

Шаг 3. Если $a>3$, множество решений равно $(3;a]$, его длина $a-3$. Условие $a-3=5$ даёт $a=8$.

Шаг 4. При $a=3$ дробь равна 1 для $x\ne 3$, поэтому решений нет и длина равна нулю.

Проверка. Для $a=-2$ решение [−2;3) имеет длину 5; для $a=8$ решение (3;8] также имеет длину 5. Все взаимные положения $a$ и 3 разобраны.

Ответ. $a=-2;8$.

Шаг 1. Неравенство равносильно $a-2<x<a+2$. Это открытый интервал длины 4.

Шаг 2. Если $a$ - целое число, его концы $a-2$ и $a+2$ также целые и исключены. Внутри остаются только $a-1,a,a+1$ - три целых числа.

Шаг 3. Если $a$ нецелое, концы интервала не являются целыми. Любой открытый интервал длины 4 с нецелыми концами содержит ровно четыре последовательных целых числа.

Шаг 4. Значит, требование выполняется для всех и только нецелых $a$.

Проверка полноты. Два случая $a\in Z$ и $a\notin Z$ исчерпывают все действительные параметры; положение концов относительно целочисленной решётки определяет количество точек однозначно.

Ответ. $a\in$ℝ \ ℤ.

Шаг 1. Для неотрицательного целого $n$ условие равносильно $a\ge g(n)$, где $g(n)=n-\sqrt{n+4}$.

Шаг 2. Последовательность строго возрастает: $$g(n+1)-g(n)=1-\frac1{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+4}}>0.$$ Поэтому подходят четыре числа именно тогда, когда это $0,1,2,3$, а 4 уже не подходит.

Шаг 3. Требуются $g(3)\le a<g(4)$. Левая граница включена, потому что исходный знак нестрогий; правая исключена, иначе появляется пятое целое решение.

Ответ. $a\in[3-\sqrt7;4-2\sqrt2)$.