Урок 5. Рациональные и иррациональные уравнения

01. Уравнение - это вопрос о множестве допустимых значений

Уравнение содержит переменную и утверждает равенство двух выражений. Решить уравнение — значит найти все допустимые значения переменной, при которых равенство истинно, и доказать, что других значений нет.

$$f\left(x\right)=g\left(x\right)$$

Корень уравнения — одно подходящее значение. Решение уравнения — всё множество корней. Поэтому фраза «нашёл один ответ» ещё не доказывает полноту решения.

Пример. Уравнение $x^2=4$ имеет два корня. Проверка только $x=2$ подтверждает существование корня, но не исключает $x=-2$.

Главный принцип. Каждый переход должен либо сохранять множество корней, либо явно давать лишь следствие. Во втором случае обязательна проверка в исходном уравнении.

02. Равносильность и следствие - разные логические отношения

Два уравнения равносильны, если у них одинаковые множества решений. Равносильный переход разрешает двигаться в обе стороны.

$$f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff F\left(x\right)=G\left(x\right)$$

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, но обратное не доказано, второе уравнение называется следствием первого.

$$f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=G\left(x\right)$$

Возведение обеих частей в квадрат обычно создаёт следствие: противоположные числа имеют одинаковые квадраты. Например, из $x=-2$ следует $x^2=4$, но из $x^2=4$ не следует $x=-2$.

Проверка языка. Слова «получаем равносильное уравнение» допустимы только после объяснения обратного перехода. Если обратимость не доказана, пишите «получаем следствие».

03. Какие преобразования сохраняют корни

Умножение на выражение без проверки особенно опасно. Если умножить на $x$, можно добавить корень $x=0$; если разделить на $x$, можно потерять этот корень.

Контрпример. Из $x(x-1)=0$ делением на $x$ получается $x-1=0$. Корень $x=0$ потерян, потому что делитель мог равняться нулю.

04. Линейное уравнение и полный разбор случаев

Рассмотрим уравнение с параметрами $a$ и $b$:

$$ax=b$$

Если $a$ не равно нулю, деление на $a$ равносильно и даёт единственный корень.

$$x=\frac{b}{a}$$

Если $a=0$, делить нельзя. Тогда получается $0=b$. При $b=0$ верно любое значение $x$; при $b\ne 0$ решений нет.

Важно. Даже простейшее линейное уравнение учит главному правилу второй части: перед делением нужно проверить, не обращается ли делитель в ноль.

05. Формула корней квадратного уравнения выводится дополнением до квадрата

Пусть $a\ne 0$. Разделим квадратное уравнение на $a$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Перенесём свободный член и дополним левую часть до полного квадрата:

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

$${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

Число $D=b^2-4ac$ называют дискриминантом. Оно появляется не как отдельная формула, а как числитель после дополнения до квадрата.

Если $D\ge 0$, извлекаем арифметический квадратный корень и учитываем оба знака:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{D}}{2\left|a\right|}$$

После согласования знака знаменателя получаем привычную школьную запись:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Контроль вывода. Ученик должен уметь восстановить формулу через полный квадрат. Запоминание трёх символов $D,b$ и $2a$ без происхождения не считается пониманием.

06. Что именно показывает дискриминант

Левая часть после дополнения до квадрата неотрицательна. Поэтому знак $D$ полностью определяет число действительных корней.

Пример. Для $x^2-6x+5=0$ имеем ${(x-3)}^2=4$, поэтому $x=1$ или $x=5$. Дискриминант равен 16 и заранее сообщает, что корня два.

07. Теорема Виета - следствие разложения на множители

Если квадратное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его левая часть раскладывается так:

$$a(x-x_1)(x-x_2)=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$$

Сравнивая коэффициенты с $a{x}^2+bx+c$, получаем:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

Обратное утверждение тоже верно: если два числа имеют указанную сумму и произведение, то подстановка показывает, что они являются корнями.

Пример. Для $x^2-11x+24=0$ ищем два числа с суммой 11 и произведением 24. Это 3 и 8. Быстрая проверка обеих связей заменяет вычисление дискриминанта.

08. Нулевое произведение и полнота ветвления

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

$$A\left(x\right)B\left(x\right)=0\iff A\left(x\right)=0\text{или}B\left(x\right)=0$$

Это равносильность. Поэтому разложение на множители не создаёт и не теряет корней, если само разложение является тождественным на исходной области.

Разбор. Уравнение $x^3-4x=0$ преобразуем в $x(x-2)(x+2)=0$. Три ветви дают $x=0,x=2,x=-2$. Деление на $x$ сократило бы запись, но потеряло бы корень 0.

09. Биквадратное уравнение и ограничение новой переменной

Если встречаются только $x^4$ и $x^2$, вводим $t=x^2$. Но новая переменная не произвольна: для действительного $x$ обязательно $t\ge 0$.

$$x^4-5x^2+4=0,t=x^{2,}t\ge 0$$

$$t^2-5t+4=0$$

Получаем $t=1$ или $t=4$. Оба значения неотрицательны, поэтому возвращаемся к $x$:

$$x^2=1\text{или}{x}^2=4$$

Ответ: $-2,-1,1,2$. Если квадратное уравнение по $t$ дало отрицательное значение, его нужно отбросить до обратной замены.

Общий принцип замены. После введения новой переменной сразу записывайте её область значений. $t=x^2$ требует $t\ge 0;t=a^x$ требует $t>0;t=\sqrt{x}$ требует $t\ge 0$.

10. Рациональное уравнение начинается с ОДЗ

Рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе. Значения, обращающие хотя бы один исходный знаменатель в ноль, запрещены до любых сокращений.

$$\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x},x\ne 2,x\ne 0$$

На ОДЗ можно умножить обе части на общий знаменатель $x(x-2)$, потому что он гарантированно не равен нулю.

$$x(x+1)=3(x-2)$$

После решения квадратного уравнения каждый кандидат сверяется с исходным ОДЗ, а не только с преобразованной записью.

11. Почему умножение на общий знаменатель равносильно только на ОДЗ

Пусть $L$ — общий знаменатель. На области, где $L\ne 0$, умножение на $L$ обратимо: обе части можно затем разделить на $L$. Поэтому множества решений совпадают.

$$\frac{A}{L}=\frac{B}{L}\iff A=B,L\ne 0$$

Без условия $L\ne 0$ обратный переход незаконен: преобразованное уравнение может оказаться истинным в точке, где исходные дроби не существуют.

Контрпример. Равенство $\frac{x-1}{x-1}=1$ после сокращения выглядит верным для любого $x$, но при $x=1$ исходная дробь не определена.

12. Сокращение дроби не возвращает выколотую точку

При сокращении одинакового множителя меняется форма выражения, но не исходная область определения.

$$\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2,x\ne 3$$

Справа стоит многочлен, который определён при $x=3$, однако исходная дробь там не существовала. Поэтому в уравнениях и неравенствах выколотая точка сохраняется до ответа.

Проверка. После любого сокращения отдельно перепишите ограничения исходного знаменателя. Именно они отличают тождественное преобразование выражения от расширения его области определения.

13. Арифметический квадратный корень неотрицателен

Запись $\sqrt{A}$ означает не любой квадратный корень числа $A$, а единственное неотрицательное число, квадрат которого равен $A$. Поэтому для действительного выражения требуется $A\ge 0$, а само значение корня всегда неотрицательно.

$$\sqrt{A}=B\iff B\ge 0\text{и}{B}^2=A$$

Системная запись в формуле здесь читается словами: правая часть $B$ должна быть неотрицательной и её квадрат должен равняться $A$. В документах решения эти два условия записываются отдельными строками.

Контрпример. Уравнение $\sqrt{x+1}=-2$ не имеет решений: левая часть неотрицательна. Простое возведение в квадрат дало бы $x=3$ - посторонний корень.

14. Когда возведение в квадрат становится равносильным

Если обе части уравнения заранее неотрицательны, функция $y$↦$y^2$ строго возрастает на этой области. Тогда возведение в квадрат равносильно.

$$A\ge 0,B\ge 0\Rightarrow A=B\iff A^2=B^2$$

В уравнении $\sqrt{f}\left(x\right)=g\left(x\right)$ левая часть уже неотрицательна. Поэтому достаточно потребовать $g\left(x\right)\ge 0$, а затем возвести в квадрат.

$$\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\iff g\left(x\right)\ge 0\text{и}f\left(x\right)=g^2\left(x\right)$$

Запрет. Не пишите двойную стрелку между $\sqrt{f}=g$ и $f=g^2$ без условия $g\ge 0$. Это главный источник посторонних корней в иррациональных уравнениях.

15. Алгоритм уравнения с одним радикалом

Задача. Решите $\sqrt{2x+3}=x$.

Шаг 1. Правая часть должна быть неотрицательной: $x\ge 0$. При этом подкоренное выражение автоматически положительно.

Шаг 2. На найденной области возводим обе части в квадрат:

$$2x+3=x^2$$

Шаг 3. Решаем $x^2-2x-3=0$ и получаем $x=3$ или $x=-1$. Ограничение $x\ge 0$ оставляет $x=3$.

Шаг 4. Проверка в исходном уравнении: $\sqrt{9}=3$. Ответ: 3.

16. Два радикала: изолировать, а не квадратировать всё сразу

В уравнении $\sqrt{A}+\sqrt{B}=C$ первое возведение в квадрат создаёт смешанный радикал $2\sqrt{AB}$. Поэтому до второго квадрата нужно изолировать оставшийся корень и проверить знак противоположной части.

Задача. Решите $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3$.

ОДЗ: $x\ge 2$. После первого квадрата получаем $2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}=9$, то есть

$$\sqrt{(x+1)(x-2)}=5-x$$

Левая часть неотрицательна, значит дополнительно $x\le 5$. Только после этого снова возводим в квадрат и решаем полученное уравнение. Проверка кандидатов в исходной сумме обязательна.

Экономия ошибок. Изоляция радикала перед каждым квадратом позволяет увидеть знак правой части. Квадратирование длинной суммы скрывает условие и резко увеличивает число посторонних корней.

17. Замена переменной в иррациональном уравнении

Если одно и то же подкоренное выражение повторяется, обозначаем его новой переменной вместе с областью значений.

$$t=\sqrt{x+2},t\ge 0$$

Тогда $x=t^2-2$. Например, уравнение $x+2-5\sqrt{x+2}+6=0$ превращается в

$$t^2-5t+6=0$$

Получаем $t=2$ или $t=3$, затем $x=2$ или $x=7$. Оба значения проверяются в исходном уравнении.

Почему замена полна. Каждому допустимому $x$ соответствует ровно одно $t=\sqrt{x+2}\ge 0$, а каждому $t\ge 0$ соответствует $x=t^2-2$. Поэтому на указанной области замена обратима.

18. Уравнения с модулем как две знаковые ветви

Модуль числа — его расстояние до нуля. Поэтому уравнение $\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)$ сначала требует $g\left(x\right)\ge 0$, а затем распадается на две ветви.

$$\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff g\left(x\right)\ge 0\text{и}(f\left(x\right)=g\left(x\right)\text{или}f\left(x\right)=-g\left(x\right))$$

Пример. $|2x-3|=5$ даёт $2x-3=5$ или $2x-3=-5$. Ответ: $x=4$ или $x=-1$.

Если справа отрицательное число, решений нет. Если модулей несколько, полезно разбить числовую прямую точками, в которых выражения под модулями меняют знак.

19. Система уравнений: замена должна сохранять связь между переменными

В симметрической системе удобно перейти к сумме $s=x+y$ и произведению $q=xy$. Тогда $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения.

$$t^2-st+q=0$$

Задача. Решите систему $x+y=5,x^2+y^2=13$.

Используем $x^2+y^2={(x+y)}^2-2xy$. Получаем $13=25-2xy$, поэтому $xy=6$. Числа $x$ и $y$ — корни $t^2-5t+6=0$, то есть 2 и 3.

Поскольку переменные упорядочены, система имеет два решения: $(2;3)$ и $(3;2)$.

20. Функциональный метод: равенство значений строго монотонной функции

Если функция строго возрастает или строго убывает на общей области, она принимает каждое значение не более одного раза. Поэтому

$$F\left(u\right)=F\left(v\right)\iff u=v$$

на той области, где доказана строгая монотонность. Этот принцип уже использовался для степеней и логарифмов и будет основным на следующих уроках.

Пример. Функция $t$↦$t^3$ строго возрастает на всей прямой. Поэтому ${(2x-1)}^3={(x+4)}^3$ равносильно $2x-1=x+4$, откуда $x=5$.

21. Полный разбор рационального уравнения

Задача. Решите $\frac{x+2}{x-1}-\frac{3}{x+1}=2$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne 1$ и $x\ne -1$.

Шаг 2. На ОДЗ умножаем обе части на $(x-1)(x+1)$:

$$(x+2)(x+1)-3(x-1)=2(x-1)(x+1)$$

Шаг 3. Раскрываем скобки и переносим все члены в одну часть. После приведения получаем квадратное уравнение. Его корни являются лишь кандидатами до проверки ОДЗ.

Шаг 4. Каждый кандидат подставляется в исходные знаменатели и затем в исходное равенство. Полное решение заканчивается отдельной строкой ответа.

22. Полный разбор иррационального уравнения

Задача. Решите $\sqrt{3x+4}=x+2$.

Правая часть должна быть неотрицательной: $x\ge -2$. Подкоренное выражение требует $x\ge -\frac{4}{3}$. Вместе получаем $x\ge -\frac{4}{3}$.

На этой области квадратирование равносильно:

$$3x+4={(x+2)}^2$$

$$x^2+x=0$$

Кандидаты $x=0$ и $x=-1$ оба входят в найденную область. Проверка: $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{1}=1$. Ответ: $-1;0$.

Почему проверка всё равно полезна. Знаковое условие сделало квадратирование равносильным, но финальная подстановка одновременно проверяет вычисления и исходное ОДЗ.

23. Смешанная модель: дробь и радикал

Задача. Решите $\sqrt{x-1}=\frac{6}{x+1}$.

ОДЗ радикала даёт $x\ge 1$, а знаменатель - $x\ne -1$. На $x\ge 1$ правая часть положительна, поэтому квадратирование равносильно.

$$x-1=\frac{36}{{(x+1)}^2}$$

После умножения на положительный квадрат ${(x+1)}^2$ получаем кубическое уравнение. Прежде чем раскрывать скобки, ищем простой целый корень и раскладываем многочлен на множители.

Этот пример показывает, что ОДЗ может не только запрещать значения, но и обосновывать знак множителя и равносильность следующего перехода.

24. Параметр: сначала особые значения коэффициентов

Задача. В зависимости от параметра $a$ решите $(a-1)x=a+1$.

При $a\ne 1$ уравнение линейное и имеет единственный корень:

$$x=\frac{a+1}{a-1}$$

При $a=1$ коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть равна 2. Получаем ложное равенство $0=2$, поэтому решений нет.

Правило параметра. До деления на выражение с параметром выделите значения, при которых оно обращается в ноль. Именно там обычно меняется число решений.

25. Как доказать полноту ответа

• Каждый равносильный переход снабжён условием обратимости.

• После перехода-следствия все кандидаты проверены в исходном уравнении.

• Учтены все ветви: оба знака квадратного корня, каждый множитель нулевого произведения, все случаи параметра.

• Сохранена исходная область определения после сокращений и замен.

• В ответе перечислены только допустимые значения, без неразобранных кандидатов.

Полнота — не дополнительная фраза в конце. Она складывается из обратимости переходов и исчерпывающего ветвления на каждом шаге.

26. Доказательный практикум

Практикум 1. Почему деление на переменную опасно

Докажите, что уравнение $x(x-a)=0$ имеет два различных корня при $a\ne 0$ и один корень при $a=0$. Затем объясните, какой корень теряется при делении на $x$.

Практикум 2. Критерий равносильного квадратирования

Докажите: если $A\left(x\right)\ge 0$ и $B\left(x\right)\ge 0$ на рассматриваемой области, то $A\left(x\right)=B\left(x\right)$ равносильно $A^2\left(x\right)=B^2\left(x\right)$. Используйте разложение разности квадратов и знак суммы $A+B$.

Практикум 3. Обратимость замены $t=x^2$

Объясните, почему отрицательные корни вспомогательного уравнения по $t$ не дают действительных $x$, а каждому $t\ge 0$ соответствуют ровно два $x$, кроме $t=0$.

27. Лаборатория ошибок

28. Контроль восстановления доказательств

• вывод формулы корней квадратного уравнения через полный квадрат;

• доказательство теоремы Виета сравнением коэффициентов;

• обоснование равносильности умножения на общий знаменатель на ОДЗ;

• критерий равносильного квадратирования неотрицательных частей;

• область новой переменной в заменах $t=x^2$ и $t=\sqrt{f}\left(x\right)$;

• полноту разложения нулевого произведения на ветви.

29. Дополнительная практика по основному банку

30. Карта урока

31. Быстрая проверка понимания

32. Как упростить или усложнить урок

33. Финальное упражнение: ученик проектирует решение

Составьте уравнение, в котором квадратирование добавляет посторонний корень. Решите его двумя способами: через систему равносильных условий и через получение кандидатов с последующей проверкой. Сравните, на какой строке каждого решения контролируется знак.

Критерий. Ученик не только получает правильный ответ, но и может показать, какое преобразование создало риск и почему проверка устраняет его.

34. Разбор сложных задач ЕГЭ

Шесть крупных задач разбираются полностью: от ОДЗ и выбора метода до проверки, графической интерпретации и доказательства полноты ответа.

35. Задача 1 • Рациональная симметрия

Условие

Решите уравнение

$$\frac{x+1}{x-2}+\frac{x-2}{x+1}=\frac{5}{2}.$$

Разбор

1. Фиксируем ОДЗ:

$$x\ne 2,x\ne -1.$$

1. На ОДЗ вводим ненулевую замену

$$t=\frac{x+1}{x-2}.$$

• Тогда второе слагаемое равно $\frac{1}{t}$, поэтому исходное уравнение равносильно

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

1. Умножаем на $2t$, причём $t\ne 0$:

$$2t^2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0.$$

• Следовательно,

$$t=2\mathrm{\text{или}}t=\frac{1}{2}.$$

1. Возвращаемся к $x$:

$$\frac{x+1}{x-2}=2\Rightarrow x=5,$$

$$\frac{x+1}{x-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-4.$$

Контроль полноты

Замена однозначно определялась каждым допустимым $x$, оба значения $t$ разобраны, обратные линейные уравнения решены полностью. Числа $5$ и $-4$ входят в ОДЗ.

Ответ: $-4;5$.

Экзаменационный акцент: нельзя раскрывать дроби до фиксации двух запрещённых точек; замена экономит вычисления и сохраняет симметрию.

36. Задача 2 • Сумма двух радикалов через сумму и произведение

Условие

Решите уравнение

$$\sqrt{x+8}+\sqrt{12-x}=6.$$

Разбор

1. ОДЗ:

$$-8\le x\le 12.$$

1. Обозначим

$$A=\sqrt{x+8},B=\sqrt{12-x}.$$

• Тогда $A\ge 0$, $B\ge 0$,

$$A+B=6,A^2+B^2=20.$$

1. Из квадрата суммы:

$$36=A^2+B^2+2AB=20+2AB,$$

• поэтому $AB=8$. Неотрицательные числа $A$ и $B$ имеют сумму $6$ и произведение $8$, значит

$$\{A,B\}=\{2,4\}.$$

1. Если $A=2$, то $x+8=4$ и $x=-4$. Если $A=4$, то $x+8=16$ и $x=8$.

Рисунок 1. График подтверждает два найденных корня, но доказательством служит обратимая замена.

Контроль полноты

Переход от пары $(A,B)$ к её сумме и произведению обратим для неотрицательных чисел; оба порядка пары $\{2,4\}$ учтены.

Ответ: $-4;8$.

Экзаменационный акцент: приём заменяет два последовательных квадратирования и резко уменьшает риск посторонних корней.

37. Задача 3 • Радикалы от взаимно обратных дробей

Условие

Решите уравнение

$$\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}+\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}=\frac{5}{2}.$$

Разбор

• Оба подкоренных выражения должны быть определены, а знаменатели - ненулевы. Поскольку дроби взаимно обратны, они должны быть положительны:

$$x\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty ).$$

• Введём

$$t=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}>0.$$

• Второй радикал равен $\frac{1}{t}$. Получаем

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2},$$

• откуда, как в задаче 1,

$$t=2\mathrm{\text{или}}t=\frac{1}{2}.$$

• Возводим уже не исходное уравнение, а положительную замену в квадрат:

$$\frac{x+1}{x-2}=4\Rightarrow x=3,$$

$$\frac{x+1}{x-2}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=-2.$$

Контроль полноты

На ОДЗ оба радикала положительны и взаимно обратны, поэтому замена и обратный переход равносильны. Оба найденных числа входят в ОДЗ.

Ответ: $-2;3$.

Экзаменационный акцент: условие $t>0$ - часть решения, а не формальная приписка.

38. Задача 4 • Параметр в рациональном уравнении

Условие

В зависимости от параметра $a$ определите число корней уравнения

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=a.$$

Разбор

1. ОДЗ не зависит от параметра:

$$x\ne -1,x\ne 1.$$

1. На ОДЗ приводим к одной дроби:

$$\frac{2x}{x^2-1}=a.$$

1. Особый случай $a=0$ рассматриваем до деления на параметр:

$$2x=0\Rightarrow x=0.$$

• Получен один корень.

1. При $a\ne 0$ имеем квадратное уравнение

$$a{x}^2-2x-a=0.$$

• Его дискриминант

$$D=4+4a^2>0,$$

• поэтому корней два. Ни один из них не равен $\pm 1$: подстановка $x=1$ даёт $-2$, а подстановка $x=-1$ даёт $2$.

Контроль полноты

Случаи $a=0$ и $a\ne 0$ покрывают все действительные параметры; запрещённые точки проверены отдельно.

Ответ: один корень при $a=0$; два корня при $a\ne 0$.

Экзаменационный акцент: при исследовании параметра сначала рассматривают особые значения, а затем применяют формулу корней. Этот подход требуется в задании 18 профильного ЕГЭ.

39. Задача 5 • Число корней суммы радикалов

Условие

В зависимости от параметра $a$ определите число решений уравнения

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}=a.$$

Разбор

ОДЗ:

$$-1\le x\le 5.$$

Рассмотрим функцию

$$f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}.$$

• Она симметрична относительно $x=2$. На концах:

$$f(-1)=f\left(5\right)=\sqrt{6},$$

• а в центре

$$f\left(2\right)=2\sqrt{3}.$$

Для внутренних точек

$$f\prime \left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}.$$

• Поэтому $f$ строго возрастает на $(-1,2)$ и строго убывает на $(2,5)$.

Рисунок 2. Две монотонные ветви дают полный подсчёт пересечений с горизонталью $y=a$.

Считываем число решений:

при $a<\sqrt{6}$ или $a>2\sqrt{3}$ решений нет;

при $\sqrt{6}\le a<2\sqrt{3}$ решений два;

при $a=2\sqrt{3}$ решение одно.

Контроль полноты

Точные значения получены на концах и в единственной точке максимума; строгая монотонность исключает дополнительные пересечения.

Экзаменационный акцент: рисунок организует случаи, но полноту доказывают ОДЗ, экстремум и монотонность.

40. Задача 6 • модель работы двух насосов

Условие

Первый насос заполняет резервуар на $5$ часов быстрее второго. Насосы работали вместе $2$ часа, после чего первый отключили, а второй за следующие $3$ часа закончил заполнение. За сколько часов каждый насос заполняет резервуар в одиночку?

Разбор

Пусть первый насос заполняет резервуар за $t$ часов. Тогда второму требуется $t+5$ часов. Физическое ограничение:

$$t>0.$$

За первые два часа выполнена доля

$$\frac{2}{t}+\frac{2}{t+5},$$

• а за следующие три часа второй насос выполнил ещё

$$\frac{3}{t+5}.$$

• Поэтому модель имеет вид

$$\frac{2}{t}+\frac{5}{t+5}=1.$$

На области $t>0$ умножаем на положительное $t(t+5)$:

$$2(t+5)+5t=t(t+5),$$

$$t^2-2t-10=0.$$

• Отсюда

$$t=1\pm \sqrt{11}.$$

Отрицательное значение не имеет физического смысла. Значит,

$$t=1+\sqrt{11},t+5=6+\sqrt{11}.$$

Контроль модели

Обе скорости положительны; первый насос действительно быстрее. Подстановка в исходное равенство долей даёт ровно единицу.

Ответ: первый - $1+\sqrt{11}$ ч; второй - $6+\sqrt{11}$ ч.

При решении текстовой задачи важно не только вычислить корни, но и обосновать модель, ограничения величин и смысл ответа.

41. Итог урока

ОДЗ фиксируется до алгебраических преобразований.

Деление на выражение и квадратирование требуют отдельного логического контроля.

Замена считается завершённой только после обратного перехода.

В параметрической задаче нужны особые значения, границы случаев и доказательство полноты.

В прикладной задаче ответ обязан удовлетворять смысловым ограничениям модели.

42. Биквадратное уравнение с параметром

Эталонный разбор 2 • Биквадратное уравнение с параметром

Условие

В зависимости от $a$ определите число действительных корней уравнения $x^4+(a-5)x^2+4=0$.

Решение с обоснованием

Шаг 1. Положим $y=x^2\ge 0$. Получаем $y^2+(a-5)y+4=0$.

Шаг 2. Чтобы получить четыре корня $x$, уравнение по $y$ должно иметь два различных положительных корня. Их произведение $4>0$, сумма $5-a$ должна быть положительна, а дискриминант $D={(a-5)}^2-16=(a-1)(a-9)$ - положителен.

Шаг 3. Совместно условия дают $a<1$: тогда оба $y$ положительны и различны, каждый даёт два корня $x$ — всего четыре.

Шаг 4. При $a=1$ имеется двойной положительный корень $y=2$ и два корня $x$. При $a>1$ положительных корней $y$ нет: на $(1;5)$ дискриминант отрицателен, а при $a\ge 5$ сумма корней неположительна.

Контроль полноты. Рассмотрены не только знак дискриминанта, но и ограничение $y\ge 0$, без которого классификация была бы неверной.

Ответ. 4 корня при $a<1;2$ корня при $a=1;0$ корней при $a>1$.

Экзаменационный акцент. В оформлении отдельно фиксируйте переход $y=x^2\ge 0$ и обратный подсчёт корней $x$.

43. Замена переменной и число корней уравнения

Степенная замена в уравнениях

Если в уравнении повторяются $x^4$ и $x^2$, новая переменная вводится не формально: она должна отражать область значений исходного выражения. При $t=x^2$ обязательно $t\ge 0$.

Биквадратное уравнение

Задача. Решите $x^4-5x^2+4=0$. Положим $t=x^2,t\ge 0$. Получаем $t^2-5t+4=0$, то есть $(t-1)(t-4)=0$.

Оба значения $t$ допустимы. Возвращаясь к $x$, решаем $x^2=1$ и $x^2=4$:

$$x=-2,-1,1,2.$$

Почему нельзя остановиться на $t=1$ и $t=4$. Новая переменная не является исходной; каждый допустимый $t$ нужно перевести обратно и получить все значения $x$.

Замена с корнем

Задача. Решите $x-3\sqrt{x}+2=0$. ОДЗ: $x\ge 0$. Положим $t=\sqrt{x}$, тогда $t\ge 0$ и $x=t^2$. Получаем $t^2-3t+2=0$, откуда $t=1$ или $t=2$. Поэтому $x=1$ или $x=4$.

Проверка в исходном уравнении подтверждает оба корня. Ограничение $t\ge 0$ не исключило их, но в другой задаче могло бы убрать отрицательный корень вспомогательного квадратного уравнения.

Ещё два полных разбора с корнями

Сумма двух корней

Задача. Решите $\sqrt{x+3}+\sqrt{7-x}=4$. ОДЗ: $-3\le x\le 7$. Переносить один корень и дважды возводить в квадрат можно, но сначала используем оценку.

Квадрат суммы равен $10+2\sqrt{(x+3)(7-x)}$. Чтобы сумма была равна 4, должно выполняться $\sqrt{(x+3)(7-x)}=3$, то есть

$$(x+3)(7-x)=9.$$

Раскрываем скобки: $-x^2+4x+21=9$, или $x^2-4x-12=0$. Кандидаты $x=6$ и $x=-2$. Оба лежат на ОДЗ; проверка даёт $3+1=4$ и $1+3=4$. Ответ: $-2$ и 6.

Параметр под корнем

Задача. Решите $\sqrt{x-a}=x-a$. Положим $t=x-a$. ОДЗ требует $t\ge 0$. Уравнение $\sqrt{t}=t$. Обе части неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат получаем $t=t^2$, то есть $t=0$ или $t=1$.

$$x=a\text{или}x=a+1.$$

Оба решения существуют при любом действительном $a$: соответствующие значения под корнем равны 0 и 1. Параметр не требует разбиения на случаи, потому что после замены полностью исчезает из условия на $t$.

Эталонный разбор 2 • Число корней радикального уравнения

Условие

В зависимости от $a$ определите число решений уравнения $\sqrt{x+4}=x+a$.

Решение с обоснованием

Шаг 1. Введём $t=\sqrt{x+4}\ge 0$. Тогда $x=t^2-4$, и уравнение становится $t^2-t+a-4=0$ при дополнительном условии $t\ge 0$.

Шаг 2. Дискриминант равен $D=17-4a$. При $a>\frac{17}{4}$ действительных $t$ нет; при $a=\frac{17}{4}$ есть один положительный $t=\frac{1}{2}$.

Шаг 3. Если $4\le a<\frac{17}{4}$, оба корня $t=\frac{1\pm \sqrt{D}}{2}$ неотрицательны, поэтому решений $x$ два. При $a<4$ меньший корень $t$ отрицателен, а больший положителен — решение одно.

Шаг 4. При $a=4$ корни $t=0$ и $t=1$ оба допустимы, поэтому это значение относится к двухкорневому случаю.

Контроль полноты. Ограничение $t\ge 0$ проверено для каждого диапазона параметра, включая границы $a=4$ и $a=\frac{17}{4}$.

Ответ. 1 решение при $a<4;2$ при $4\le a<\frac{17}{4};1$ при $a=\frac{17}{4};0$ при $a>\frac{17}{4}$.

Экзаменационный акцент. Одного дискриминанта недостаточно: отрицательный корень по $t$ не соответствует исходной задаче.

44. Задачи повышенной сложности с подробным решением

Разбор 1

Для каждого действительного $a$ определите число различных корней уравнения $(x^2-1)(x^2-4)=a$.

Разбор 2

Найдите все $a$, при которых уравнение $\frac{x^2+ax+1}{x^2+1}=\frac{1}{2}$ имеет ровно один действительный корень.

Разбор 3

Для каждого действительного $a$ определите число различных действительных корней уравнения $x^4+(a-3)x^2+a=0$.

Разбор 4

Решите уравнение $\sqrt{x+2}=x$.

Разбор 5

Решите уравнение $\sqrt{x+6}=x$.

Разбор 6

Решите уравнение $\sqrt{x+12}=x$.

Разбор 7

Для каждого действительного $a$ определите число корней уравнения $\sqrt{x+3}=x+a$.

Разбор 8

Решите уравнение $\sqrt{x-a}+\sqrt{a+2-x}=2$ для каждого действительного $a$.

Разбор 9

Для каждого действительного $a$ определите число корней уравнения $\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}=a$.

45. Рисунок как проверка, равносильность как доказательство

В уравнении $\sqrt{x+5}=x-1$ рисунок показывает одно пересечение. Для строгого решения сначала фиксируем $x\ge1$, затем возводим в квадрат и выбираем допустимый корень 4. Кандидат $-1$ удовлетворяет уравнению квадратов, но не исходному равенству.

В параметрическом уравнении $\sqrt{x+4}=|x-a|$ ситуация другая: на ОДЗ обе части неотрицательны. После квадратирования $x+4=(x-a)^2$ каждый найденный действительный корень автоматически удовлетворяет $x\ge-4$. Поэтому дискриминант $4a+17$ действительно определяет число решений: 0, 1 или 2.

Для преподавателя. Каждый раз задайте два вопроса: «Одинаковые ли знаки у частей перед квадратированием?» и «Все ли корни нового уравнения разрешены исходной записью?» Ответы должны быть написаны, даже если график очевиден.

46. Скачать PDF