Урок 4. Тригонометрические выражения

01. Радианная мера не является новой системой «для запоминания»

Определение. Радианная мера центрального угла равна отношению длины соответствующей дуги $l$ к радиусу $R$:

$$\alpha =\frac{l}{R}.$$

Полная окружность имеет длину $2\pi R$, поэтому полный угол равен

$$\frac{2\pi R}{R}=2\pi .$$

Отсюда последовательно:

$${360}^{\circ }=2\pi ,$$

$${180}^{\circ }=\pi ,$$

$${90}^{\circ }=\frac{\pi }{2}.$$

Формула перевода следует из пропорции:

$${\alpha }_{\mathrm{\text{рад}}}={\alpha }_{\mathrm{\text{град}}}\cdot \frac{\pi }{{180}^{\circ }}.$$

Радиан удобен тем, что связывает угол с длиной дуги без дополнительного коэффициента.

02. Синус и косинус - координаты

На единичной окружности отметим точку и обозначим её буквой $P$. Здесь $P$ - только название точки. Точку получаем поворотом точки $(1;0)$ на угол $\alpha$.

Определение.

$$P=(cos\alpha ,sin\alpha ).$$

Косинус - абсцисса точки, синус - ордината. Из определения сразу видны диапазоны:

$$-1\le sin\alpha \le 1,$$

$$-1\le cos\alpha \le 1.$$

Они следуют из того, что координата точки единичной окружности по модулю не превосходит радиуса.

03. Основное тригонометрическое тождество

Точка $P=(x,y)$ лежит на окружности радиуса 1, поэтому по теореме Пифагора

$$x^2+y^2=1.$$

Подставляя определения координат, получаем

$${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1.$$

Это полное доказательство тождества. Оно не является отдельной формулой: это уравнение единичной окружности.

Следствие. Если известен синус, то

$$cos\alpha =\pm \sqrt{1-{sin}^2\alpha }.$$

Знак не выбирается автоматически. Его определяет четверть, то есть знак абсциссы точки.

04. Знаки функций по четвертям

Таблица не заучивается. Знаки синуса и косинуса читаются по координатам, а знак тангенса - по отношению этих координат.

05. Тангенс и котангенс выводятся из координат

Определения.

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },cos\alpha \ne 0,$$

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha },sin\alpha \ne 0.$$

Ограничения появляются из знаменателей, а не добавляются позднее.

Следствие. Разделим основное тождество на ${cos}^2\alpha$, если $cos\alpha \ne 0$:

$${\mathrm{tg}}^2\alpha +1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }.$$

Аналогично при $sin\alpha \ne 0$

$$1+{\mathrm{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{sin}^2\alpha }.$$

Каждое тождество хранит условие, при котором выполнялось деление.

06. Табличные значения выводятся из двух треугольников

Углы ${45}^{\circ }$ и $\frac{\pi }{4}$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами 1 гипотенуза по Пифагору равна $\sqrt{2}$. Поэтому

$$sin\frac{\pi }{4}=cos\frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Углы ${30}^{\circ }$ и ${60}^{\circ }$

Высота равностороннего треугольника со стороной 2 делит его на два прямоугольных треугольника со сторонами $1$, $\sqrt{3}$, $2$. Поэтому

$$sin\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},cos\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$$

Значения для $0$ и $\frac{\pi }{2}$ читаются по координатам точек $(1,0)$ и $(0,1)$.

07. Чётность функций следует из отражения

Точки углов $\alpha$ и $-\alpha$ симметричны относительно оси $Ox$. Их абсциссы совпадают, ординаты противоположны. Поэтому

$$cos(-\alpha )=cos\alpha ,$$

$$sin(-\alpha )=-sin\alpha .$$

Делением получаем

$$\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$$

на общей области определения.

Косинус - чётная функция, синус и тангенс - нечётные. Это геометрические следствия, а не три отдельных правила.

08. Периодичность следует из полного оборота

Углы $\alpha$ и $\alpha +2\pi k$ приводят к одной точке окружности. Поэтому

$$sin(\alpha +2\pi k)=sin\alpha ,$$

$$cos(\alpha +2\pi k)=cos\alpha .$$

Для тангенса достаточно половины оборота: обе координаты меняют знак, их отношение сохраняется.

$$\mathrm{tg}(\alpha +\pi k)=\mathrm{tg}\alpha .$$

09. Формулы сложения из поворота

Введём две взаимно перпендикулярные единичные стрелки на координатной плоскости и обозначим их:

$${𝐞}_{\alpha }=(cos\alpha ,sin\alpha ),$$

$${𝐧}_{\alpha }=(-sin\alpha ,cos\alpha ).$$

Вторая стрелка получается поворотом первой на $\frac{\pi }{2}$. Если из направления $\alpha$ повернуться ещё на $\beta$, координаты нового направления выражаются через эти две единичные стрелки с коэффициентами $\cos \beta$ и $\sin \beta$:

$${𝐞}_{\alpha +\beta }=cos\beta {𝐞}_{\alpha }+sin\beta {𝐧}_{\alpha }.$$

Сравним первые координаты:

$$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta .$$

Сравним вторые координаты:

$$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta .$$

Это доказательство обеих формул сложения. Все дальнейшие формулы урока выводятся из них.

10. Формулы разности

Подставим вместо $\beta$ угол $-\beta$ и используем чётность косинуса и нечётность синуса:

$$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta ,$$

$$sin(\alpha -\beta )=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta .$$

Если знак забыт, не нужно вспоминать две похожие таблицы: достаточно взять формулу суммы и заменить $\beta$ на $-\beta$.

11. Формулы приведения не нужно учить таблицей

Каждая формула приведения получается подстановкой специального угла в формулы сложения.

Пример.

$$sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )=sin\frac{\pi }{2}cos\alpha -cos\frac{\pi }{2}sin\alpha =cos\alpha .$$

Ещё пример.

$$cos(\pi -\alpha )=cos\pi cos\alpha +sin\pi sin\alpha =-cos\alpha .$$

Поэтому алгоритм приведения имеет доказательное основание:

1. убрать полный период;

2. представить угол как сумму или разность со специальным углом;

3. применить формулу сложения;

4. подставить значения синуса и косинуса специального угла;

5. проверить знак по четверти.

Правило «на $\frac{\pi }{2}$ функция меняется» - лишь сокращённая версия этого вывода. Если оно забыто, формула сложения восстанавливает результат.

12. Двойной угол

Положим $\beta =\alpha$.

$$sin2\alpha =sin(\alpha +\alpha )=2sin\alpha cos\alpha .$$

$$cos2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha .$$

Используя ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$, получаем ещё две формы:

$$cos2\alpha =2{cos}^2\alpha -1,$$

$$cos2\alpha =1-2{sin}^2\alpha .$$

Выбор формы определяется известной функцией, но происхождение у всех трёх одно.

13. Формулы половинного угла

Из

$$cos2t=1-2{sin}^{2}t$$

следует

$${sin}^{2}t=\frac{1-cos2t}{2}.$$

Подставляя $t=\frac{\alpha }{2}$, получаем

$${sin}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}.$$

Аналогично из $cos2t=2{cos}^{2}t-1$:

$${cos}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+cos\alpha }{2}.$$

После извлечения корня знак выбирается по четверти половинного угла:

$$sin\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}.$$

Модуль и знак нельзя игнорировать.

14. Тангенс суммы и разности

Разделим формулы синуса и косинуса суммы:

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta }{cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta }.$$

При ненулевых $cos\alpha$ и $cos\beta$ делим числитель и знаменатель на $cos\alpha cos\beta$:

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }.$$

Нужно также, чтобы знаменатель итоговой дроби был ненулевым. Формула разности получается заменой $\beta$ на $-\beta$:

$$\mathrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }.$$

15. Сумма в произведение

Пусть

$$u=\frac{\alpha +\beta }{2},v=\frac{\alpha -\beta }{2}.$$

Тогда $\alpha =u+v$, $\beta =u-v$. Складывая формулы синуса суммы и разности, получаем

$$sin\alpha +sin\beta =2sinucosv.$$

Возвращая $u,v$:

$$sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}.$$

Аналогично:

$$sin\alpha -sin\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2},$$

$$cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2},$$

$$cos\alpha -cos\beta =-2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}.$$

Ученик может восстановить весь блок, помня только формулы сложения и замену $u,v$.

16. Произведение в сумму

Сложим формулы косинуса суммы и разности:

$$cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )=2cos\alpha cos\beta .$$

Следовательно,

$$cos\alpha cos\beta =\frac{cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )}{2}.$$

Вычитанием и аналогичными действиями выводятся:

$$sin\alpha sin\beta =\frac{cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )}{2},$$

$$sin\alpha cos\beta =\frac{sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )}{2}.$$

Эти формулы не выдаются отдельным листом для запоминания - они восстанавливаются за две строки.

17. Однородные выражения

Если все члены имеют одну степень по $sin\alpha$ и $cos\alpha$, выражение можно разделить на ненулевую степень одной функции.

Например, при $cos\alpha \ne 0$

$$A{sin}^2\alpha +Bsin\alpha cos\alpha +C{cos}^2\alpha =0$$

после деления на ${cos}^2\alpha$ превращается в

$$A{\mathrm{tg}}^2\alpha +B\mathrm{tg}\alpha +C=0.$$

Условие $cos\alpha \ne 0$ нужно проверить отдельно. Если $cos\alpha =0$ могло давать решения исходного выражения, их рассматривают до деления.

18. Тройной угол как тренировка восстановления

Формулу тройного угла не нужно хранить отдельной строкой. Выведем её из суммы $2\alpha +\alpha$.

$$sin3\alpha =sin(2\alpha +\alpha )$$

$$=sin2\alpha cos\alpha +cos2\alpha sin\alpha .$$

Подставляем

$$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha ,$$

$$cos2\alpha =1-2{sin}^2\alpha .$$

Тогда

$$sin3\alpha =2sin\alpha {cos}^2\alpha +\sin \alpha -2{sin}^3\alpha .$$

Используя ${cos}^2\alpha =1-{sin}^2\alpha$, получаем

$$sin3\alpha =3sin\alpha -4{sin}^3\alpha .$$

Аналогично

$$cos3\alpha =4{cos}^3\alpha -3cos\alpha .$$

Пояснение. Если ученик умеет вывести формулу тройного угла из двух базовых формул, он действительно владеет системой, а не набором карточек памяти.

19. Линейная комбинация синуса и косинуса

Выражение

$$Asinx+Bcosx$$

можно представить одной синусоидой. Положим

$$R=\sqrt{A^2+B^2}.$$

Если $R>0$, существуют $\phi$ такие, что

$$cos\phi =\frac{A}{R},sin\phi =\frac{B}{R},$$

потому что

$${\left(\frac{A}{R}\right)}^2+{\left(\frac{B}{R}\right)}^2=1.$$

Тогда по формуле синуса суммы

$$Rsin(x+\phi )=R(sinxcos\phi +cosxsin\phi )$$

$$=Asinx+Bcosx.$$

Отсюда сразу следует оценка

$$|Asinx+Bcosx|\le \sqrt{A^2+B^2},$$

поскольку модуль синуса не превосходит 1. Равенство достигается при подходящем $x$, поэтому оценка точна.

Пример.

$$3sinx+4cosx=5sin(x+\phi ),$$

где $cos\phi =\frac{3}{5}$, $sin\phi =\frac{4}{5}$. Следовательно, выражение принимает значения от $-5$ до 5.

20. Полный разбор преобразования

Упростим

$$\frac{1-cos2x}{sin2x}.$$

Используем доказанные формулы:

$$1-cos2x=2{sin}^{2}x,$$

$$sin2x=2sinxcosx.$$

На исходной ОДЗ $sin2x\ne 0$, поэтому $sinx\ne 0$ и $cosx\ne 0$. Сокращаем:

$$\frac{2{sin}^{2}x}{2sinxcosx}=\mathrm{tg}x.$$

Ответ $\mathrm{tg}x$ верен только на исходной ОДЗ. Упрощённая функция может быть определена в точках, где исходный знаменатель равнялся нулю; эти точки не возвращаются.

21. Полный разбор приведения без таблицы

Найдём

$$sin\left(\frac{7\pi }{6}\right).$$

Представим угол как

$$\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}.$$

По формуле суммы

$$sin(\pi +\frac{\pi }{6})=sin\pi cos\frac{\pi }{6}+\cos \pi sin\frac{\pi }{6}.$$

Подставляя $sin\pi =0$, $cos\pi =-1$, $sin\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$, получаем

$$-\frac{1}{2}.$$

Проверка по окружности: угол лежит в $III$ четверти, где синус отрицателен. Формула и геометрия согласуются.

22. Универсальная проверка формулы

Даже правильный вывод полезно быстро проверить.

• Подставить $\alpha =0$ или $\beta =0$.

• Проверить знак по четверти.

• Проверить диапазон: синус и косинус не выходят за $[-1,1]$.

• Проверить ОДЗ тангенса и знаменателей.

• Сравнить чётность обеих частей при замене $\alpha$ на $-\alpha$.

Проверка не заменяет доказательство, но ловит ошибку знака.

23. Формулы сложения: полное школьное доказательство

Косинус разности через координаты и скалярное произведение

На единичной окружности рассмотрим точки углов $\alpha$ и $\beta$. Их радиус-векторы имеют координаты $(\cos\alpha;\sin\alpha)$ и $(\cos\beta;\sin\beta)$ и длину 1. Косинус угла между ними равен $\cos(\alpha-\beta)$; сама разность углов может быть отрицательной или выходить за $[0;\pi]$.

По геометрическому определению скалярного произведения произведение длин векторов умножается на косинус угла между ними. Поэтому оно равно $cos(\alpha -\beta )$. По координатной формуле то же произведение равно $cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$. Сравнивая две записи, получаем

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .$$

Это доказательство использует только координаты точки на окружности и школьное скалярное произведение.

Косинус суммы

Заменим $\beta$ на $-\beta$. Косинус - чётная функция, а синус - нечётная:

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .$$

Синус суммы

Используем связь $sint=cos(\frac{\pi }{2}-t)$ и уже доказанную формулу косинуса разности:

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$$

После замены $\beta$ на $-\beta$ получаем формулу синуса разности:

$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .$$

Проверка структуры. В формуле косинуса участвуют произведения одноимённых функций. В формуле синуса - разноимённых. Знак суммы у синуса сохраняется, у косинуса меняется. Это следствие вывода, а не отдельная мнемоника.

24. Формулы приведения как координаты одной точки

Формулы приведения удобно восстанавливать не по таблице, а двумя вопросами: в какой четверти находится новый угол и какая координата точки стала первой или второй после поворота.

Поворот на $\pi$

При добавлении $\pi$ точка переходит в диаметрально противоположную. Обе координаты меняют знак:

$$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha .$$

Отражение относительно вертикальной оси

Углы $\alpha$ и $\pi -\alpha$ задают точки с одинаковой второй координатой и противоположными первыми координатами:

$$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha .$$

Поворот на $\frac{\pi }{2}$

После поворота точки $(x;y)$ на 90° её координаты становятся $(-y;x)$. Поэтому

$$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha ,\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha .$$

Для $\frac{\pi }{2}-\alpha$ можно использовать формулы разности или симметрию относительно биссектрисы первой четверти:

$$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha ,\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha .$$

Важно. Ученик сначала рисует четверть и знак координаты, затем решает, меняется ли название функции. Запоминание длинной таблицы заменяется одним рисунком окружности.

25. Табличные значения выводятся из двух треугольников

Угол 45°

Возьмём прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 1 и 1. По теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{2}$. Поэтому отношение каждого катета к гипотенузе равно $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$$\sin 45{}^{\circ }=\cos 45{}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Углы 30° и 60°

Разделим равносторонний треугольник со стороной 2 высотой пополам. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 2, коротким катетом 1 и вторым катетом $\sqrt{3}$.

$$\sin 30{}^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 30{}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$$\sin 60{}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60{}^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

Значения тангенса получаются только после проверки ненулевого косинуса: $\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\mathrm{tg}{45}^{\circ }=1,\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$.

Значения для других четвертей не требуют новых треугольников. Модули координат сохраняются, а знак определяется четвертью.

26. Двойной и половинный угол без заучивания

Двойной угол

Подставим $\beta =\alpha$ в формулы сложения:

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$$

$$\cos 2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha .$$

Используя ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$, получаем ещё две равные формы:

$$\cos 2\alpha =2co{s}^2\alpha -1=1-2si{n}^2\alpha .$$

Выбор формы зависит от того, какую функцию нужно исключить. Все три записи - не разные формулы, а одно равенство после подстановки основного тождества.

Половинный угол

Перенесём слагаемые в двух последних формулах:

$$co{s}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1+\cos \alpha }{2}.$$

$$si{n}^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1-\cos \alpha }{2}.$$

При извлечении квадратного корня обязательно появляется выбор знака:

$$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}},\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}.$$

Знак определяется четвертью, в которой лежит угол $\frac{\alpha }{2}$. Формула без знака плюс-минус верна только после дополнительного ограничения на угол.

Контрпример. При $\alpha =3\pi$ получаем $\frac{\alpha }{2}=\frac{3\pi }{2}$ и $sin\left(\frac{\alpha }{2}\right)=-1$. Правая часть $\sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}$ равна 1. Поэтому без выбора знака равенство неверно.

27. Сумма в произведение и произведение в сумму

Сумма синусов

Положим $p=\frac{\alpha +\beta }{2}$ и $q=\frac{\alpha -\beta }{2}$. Тогда $\alpha =p+q,\beta =p-q$. По формулам синуса суммы и разности:

$$\sin \alpha +\sin \beta =\sin (p+q)+\sin (p-q).$$

После раскрытия слагаемые $cospsinq$ уничтожаются, а одинаковые $sinpcosq$ складываются:

$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right).$$

Разность синусов

При вычитании, наоборот, уничтожаются слагаемые $sinpcosq$:

$$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right).$$

Сумма и разность косинусов

$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right).$$

$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right).$$

Формулы произведения в сумму получаются тем же выводом в обратную сторону. Например, складывая $cos(\alpha -\beta )$ и $cos(\alpha +\beta )$, получаем $2cos\alpha cos\beta$.

$$2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta ).$$

Проверка знака в разности косинусов. Возьмём $\alpha =\pi ,\beta =0$. Левая часть равна $-2$. Правая часть с минусом также равна $-2$; без минуса получился бы неверный знак.

28. Тангенс: каждое деление требует условия

Тангенс определён как отношение синуса к косинусу, поэтому любая формула с $\mathrm{tg}$ требует ненулевых соответствующих косинусов. Это условие нельзя дописывать после сокращения: оно определяет область, на которой преобразование имеет смысл.

Тангенс суммы

Делим формулу синуса суммы на формулу косинуса суммы, а затем числитель и знаменатель - на $cos\alpha cos\beta$. Такое деление разрешено при $cos\alpha \ne 0$ и $cos\beta \ne 0$:

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\beta }.$$

Дополнительно знаменатель $1-\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\beta$ не должен быть равен нулю: это соответствует $cos(\alpha +\beta )=0$, когда тангенс суммы не определён.

Тангенс двойного угла

Подставляя $\beta =\alpha$, получаем

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-t{g}^2\alpha }.$$

Ограничения: $cos\alpha \ne 0$ и $cos2\alpha \ne 0$. Формула не расширяет область определения исходного тангенса.

Пример преобразования

Задача. Упростите $\frac{sin2x}{1+cos2x}$. Используем формулы двойного угла:

$$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2co{s}^{2}x}=\mathrm{tg}x.$$

Равенство верно там, где исходный знаменатель не равен нулю. Условие $1+cos2x=2{cos}^{2}x\ne 0$ совпадает с $cosx\ne 0$, то есть с областью определения $\mathrm{tg}x$.

29. Линейная комбинация синуса и косинуса

Выражение $Asinx+Bcosx$ можно представить одной тригонометрической функцией. Это не отдельный вузовский приём, а прямое применение формулы синуса суммы.

Разбор $3sinx+4cosx$

Числа 3 и 4 являются катетами прямоугольного треугольника с гипотенузой 5. Выберем угол $\phi$ так, чтобы $cos\phi =\frac{3}{5}$ и $sin\phi =\frac{4}{5}$. Тогда

$$3\sin x+4\cos x=5(\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi )=5\sin (x+\phi ).$$

Поскольку синус принимает значения от $-1$ до 1, всё выражение лежит от $-5$ до 5. Эти границы достигаются, поэтому максимум равен 5, минимум $-5$.

Общий вывод

Для $R=\sqrt{A^2+B^2}$ выбираем $cos\phi =\frac{A}{R}$ и $sin\phi =\frac{B}{R}$. Основное тождество гарантирует, что такой угол существует, потому что сумма квадратов выбранных координат равна 1.

$$A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\phi ),R=\sqrt{A^2+B^2}.$$

Задача. Найдите наибольшее значение $5sinx-12cosx$. Амплитуда равна $\sqrt{25+144}=13$, поэтому максимум 13. Для доказательства достижимости представляем выражение как $13sin(x-\phi )$ при подходящем $\phi$.

Если $A=B=0$, выражение тождественно равно нулю. Деление на $R$ используется только при $R>0$.

30. Четыре полноценных вычислительных разбора

Значение $sin{75}^{\circ }$

Разложим 75° как 45°+30° и применим формулу суммы:

$$\sin 75{}^{\circ }=\sin 45{}^{\circ }\cos 30{}^{\circ }+\cos 45{}^{\circ }\sin 30{}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$

Проверка знака и величины: угол в первой четверти, ответ положителен и меньше 1.

Значение $cos{15}^{\circ }$

Представим $15°=45°-30°$:

$$\cos 15{}^{\circ }=\cos 45{}^{\circ }\cos 30{}^{\circ }+\sin 45{}^{\circ }\sin 30{}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$

Одинаковые ответы не случайны: $\sin 75°=\cos 15°$ как значения дополнительных углов.

Преобразование дроби

Задача. Упростите $\frac{1-cos2\alpha }{sin2\alpha }$. По формулам двойного угла числитель равен $2{sin}^2\alpha$, знаменатель - $2\sin \alpha \cos \alpha$. На исходной ОДЗ $sin2\alpha \ne 0$, поэтому оба множителя $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ ненулевые:

$$\frac{1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\mathrm{tg}\alpha .$$

Однородное выражение

Задача. Упростите $\frac{{sin}^{2}x-{cos}^{2}x}{sinxcosx}$. Если $sinxcosx\ne 0$, делим числитель и знаменатель на ${cos}^{2}x$:

$$\frac{t{g}^{2}x-1}{\mathrm{tg}x}=\mathrm{tg}x-\mathrm{ctg}x.$$

Альтернативно числитель равен $-cos2x$, а знаменатель - $\left(\frac{1}{2}\right)sin2x$, поэтому выражение равно $-2\mathrm{ctg}2x$. Обе формы равны на общей ОДЗ; выбор зависит от следующего шага задачи.

31. Аудит формулы перед применением

1. Назвать исходную геометрическую модель: координаты на единичной окружности.

2. Проверить четверть и знак каждой функции.

3. Если есть деление, выписать условия ненулевых знаменателей до сокращения.

4. Если извлекается корень в формуле половинного угла, определить знак по четверти.

5. Сделать контроль при простом угле: $0,\frac{\pi }{2},\pi$ или при $\alpha =\beta$.

6. Сравнить структуру: степени, число слагаемых и тип функций в каждом произведении.

Критерий сильной группы. Ученик не обязан хранить в памяти всю таблицу преобразований. Он обязан за 30-90 секунд восстановить нужную формулу из единичной окружности, основного тождества и формул сложения, а затем назвать её ОДЗ.

32. Тождества для тангенса и котангенса

Разделим основное тождество ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$ на ${cos}^2\alpha$. Такое деление разрешено при $cos\alpha \ne 0$:

$$t{g}^2\alpha +1=\frac{1}{co{s}^2\alpha }.$$

Если вместо этого разделить на ${sin}^2\alpha$ при $sin\alpha \ne 0$, получим

$$1+ct{g}^2\alpha =\frac{1}{si{n}^2\alpha }.$$

Эти формулы часто ошибочно учат как отдельные. На самом деле обе восстанавливаются за одну строку из основного тождества, а условия существования появляются из выполненного деления.

Пример

Задача. Известно $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти. Найдите $sin\alpha$ и $cos\alpha$. Из $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{cos}^2\alpha }$ получаем $1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$, поэтому ${cos}^2\alpha =\frac{16}{25}$. В первой четверти косинус положителен: $cos\alpha =\frac{4}{5}$. Тогда $sin\alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot cos\alpha =\frac{3}{5}$.

Если четверть не указана, по одному значению тангенса нельзя выбрать знаки синуса и косинуса: в первой и третьей четвертях тангенс положителен.

33. Доказательство составного тождества

Задача. Докажите тождество

$${(\sin \alpha +\sin \beta )}^2+{(\cos \alpha +\cos \beta )}^2=4co{s}^2\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right).$$

Решение. Раскроем квадраты. Сумма ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha$ равна 1, так же для $\beta$. Смешанные члены дают $2(sin\alpha sin\beta +cos\alpha cos\beta )$. По формуле косинуса разности выражение в скобках равно $cos(\alpha -\beta )$.

$$\text{Левая}\text{часть}=2+2\cos (\alpha -\beta ).$$

По формуле двойного угла $1+cost=2{cos}^2\left(\frac{t}{2}\right)$. Поэтому $2+2cos(\alpha -\beta )=4{cos}^2\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$, что и требовалось доказать.

Почему доказательство надёжно. Каждый переход является тождественным и не содержит деления, поэтому дополнительных ограничений ОДЗ нет: равенство верно при любых действительных $\alpha$ и $\beta$.

34. Проверка формулы частными значениями

Частное значение не доказывает тождество, но быстро обнаруживает ошибку. Для каждой восстановленной формулы ученик выбирает два теста: нулевой угол и угол, при котором знак заранее понятен.

Проверка формулы $sin(\alpha +\beta )$. При $\beta =0$ она должна превратиться в $sin\alpha$. При $\alpha =\beta =\frac{\pi }{2}$ левая часть равна $sin\pi =0$, а правая - $1\cdot 0+0\cdot 1=0$.

Проверка формулы $cos(\alpha +\beta )$. При $\alpha =\beta =\frac{\pi }{2}$ левая часть равна $cos\pi =-1$. Это сразу показывает, что между произведениями должен стоять минус: $0\cdot 0-1\cdot 1=-1$.

Проверка формулы суммы косинусов. При $\alpha =\beta$ правая часть должна дать $2\cos \alpha$. Подстановка в $2cos\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)cos\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ даёт $2cos\alpha \cdot 1$.

Итог. Проверка частными значениями - это контроль после доказательства, а не замена доказательства. В ЕГЭ она помогает за несколько секунд найти потерянный знак или коэффициент 2.

35. Тройной угол выводится из формул сложения

Представим $3\alpha$ как $2\alpha +\alpha$ и применим формулу синуса суммы:

$$\sin 3\alpha =\sin 2\alpha \cos \alpha +\cos 2\alpha \sin \alpha .$$

Подставим $sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$ и $cos2\alpha =1-2{sin}^2\alpha$:

$$\sin 3\alpha =2\sin \alpha co{s}^2\alpha +\sin \alpha -2si{n}^3\alpha .$$

Заменяем ${cos}^2\alpha$ на $1-{sin}^2\alpha$ и приводим подобные:

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4si{n}^3\alpha .$$

Для косинуса используем $cos(2\alpha +\alpha )=cos2\alpha cos\alpha -sin2\alpha sin\alpha$. После подстановки и приведения получаем

$$\cos 3\alpha =4co{s}^3\alpha -3\cos \alpha .$$

Проверка при $\alpha =0$ даёт $0=0$ и $1=1$. При $\alpha =\frac{\pi }{3}$ формула косинуса даёт $4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)=-1$, что совпадает с $cos\pi$.

36. Замена t=sinx+cosx

Если в выражении симметрично встречаются синус и косинус одного угла, полезно обозначить $t=sinx+cosx$. Возводим равенство в квадрат:

$$t^2=si{n}^{2}x+2\sin x\cos x+co{s}^{2}x=1+2\sin x\cos x.$$

Следовательно,

$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$$

Сумма кубов

По формуле суммы кубов

$$si{n}^{3}x+co{s}^{3}x={(\sin x+\cos x)}^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x).$$

Подставляя найденное произведение, получаем

$$si{n}^{3}x+co{s}^{3}x=\frac{3t-t^3}{2}.$$

Задача. Если $sinx+cosx=\frac{1}{2}$, то сумма кубов равна $\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{8}}{2}=\frac{11}{16}$.

Допустимые значения замены

Из представления $sinx+cosx=\sqrt{2}\cdot sin(x+\frac{\pi }{4})$ следует $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$. Поэтому не каждое значение $t$, появившееся после решения алгебраического уравнения, соответствует реальному углу $x$.

Важно. Тригонометрическая замена всегда сопровождается областью значений новой переменной, так же как $t=x^2$ требует $t\ge 0$, а $t=a^x$ - $t>0$.

37. Оценки из основного тождества

Из ${(sinx-cosx)}^2\ge 0$ получаем ${sin}^{2}x+{cos}^{2}x\ge 2sinxcosx$, то есть $1\ge 2sinxcosx$. Аналогично квадрат ${(sinx+cosx)}^2\ge 0$ даёт $1\ge -2sinxcosx$.

$$-\frac{1}{2}\le \sin x\cos x\le \frac{1}{2}.$$

Верхняя граница достигается при $sinx=cosx$, например при $x=\frac{\pi }{4}$. Нижняя - при $sinx=-cosx$, например при $x=-\frac{\pi }{4}$. Поэтому это точные, а не приблизительные оценки.

Так как $sin2x=2sinxcosx$, тот же результат равносилен привычной оценке $-1\le sin2x\le 1$. Мы вывели её из квадрата и основного тождества.

Пример на максимум

Задача. Найдите наибольшее значение $3+4sinxcosx$. Поскольку $sinxcosx\le \frac{1}{2}$, выражение не больше $3+2=5$. При $x=\frac{\pi }{4}$ равенство достигается, поэтому максимум равен 5.

Полный ответ на максимум содержит две части: доказательство верхней границы и конкретное значение угла, при котором эта граница достигается.

38. Лаборатория ошибок

39. Быстрая проверка понимания

Следующие разборы показывают переход от преобразований к отбору корней и к исследованию параметра.

40. Эталонный разбор 1 • Двойной угол и отбор на симметричном отрезке

Условие

а) Решите уравнение $cos2x=sinx$.

б) Укажите корни на $[-\pi ;\pi ]$.

Решение с обоснованием

Шаг 1. Заменим $cos2x$ на $1-2{sin}^{2}x$. При $t=sinx$ получаем $2t^2+t-1=0$.

Шаг 2. Корни $t=\frac{1}{2}$ и $t=-1$ допустимы. Поэтому $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ либо $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$.

Шаг 3. На $[-\pi ;\pi ]$ попадают $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$.

Шаг 4. Каждая серия отбирается отдельно по целому $k$; объединение сортируем по возрастанию.

Контроль полноты. Оба значения синуса допустимы и породили все стандартные серии; границы отрезка проверены.

Ответ. а) $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ или $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$.

Экзаменационный акцент. В №13 оцениваются и общее решение, и отдельный пункт отбора.

41. Параметр и число корней на полном периоде

Условие

В зависимости от $a$ определите число решений уравнения $2\cos^2x-1=a$ на $[0;2\pi)$.

Решение

Шаг 1. Левая часть равна $\cos2x$. При $|a|>1$ решений нет.

Шаг 2. При замене $u=2x$ промежуток превращается в $[0;4\pi)$. Это два полных периода косинуса. При $-1<a<1$ на каждом периоде два корня, всего четыре.

Шаг 3. При $a=1$ корни по $x$: $0,\pi$. При $a=-1$: $\frac\pi2,\frac{3\pi}{2}$. В обоих случаях корней два. Точка $2\pi$ в исходный полуинтервал не входит.

Ответ. 0 корней при $|a|>1$; 2 корня при $|a|=1$; 4 корня при $|a|<1$.

Переносить нужно не только формулу, но и границы промежутка: один и тот же отрезок по $x$ может содержать несколько периодов новой функции.

42. Параметр: допустимые значения замены и число углов

Подсчёт корней квадратного уравнения по $t=\sin x$ ещё не даёт число углов $x$. Сначала оставляем только $t\in[-1;1]$, затем возвращаемся к исходной переменной.

Например, $t=0$ даёт ровно два угла: $0$ и $\pi$. Значение $2\pi$ не входит в полуинтервал. Двойной корень квадратного уравнения считается одним значением $t$.

Разобранный пример

При каких $a$ уравнение $\sin^2x-\sin x+a=0$ имеет четыре различных корня на $[0;2\pi)$?

Шаг 1. Нужны два различных корня $t^2-t+a=0$ строго внутри $(-1;1)$. Корни симметричны относительно $\frac12$ и имеют вид $$t_\pm=\frac{1\pm\sqrt{1-4a}}2.$$ Шаг 2. Различность требует $a<\frac14$. Условие $t_+<1$ равносильно $\sqrt{1-4a}<1$, то есть $a>0$. Тогда автоматически $0<t_-<\frac12<t_+<1$.

Шаг 3. Каждое из двух значений синуса даёт по два угла. Итого четыре при $0<a<\frac14$.

Границы проверяем отдельно. При $a=0$ уровни $t=0$ и $t=1$ дают три угла. При $a=\frac14$ остаётся один уровень $t=\frac12$, то есть два угла.

Ответ. $a\in(0;\frac14)$.

В более сложной задаче границы случаев ищут по дискриминанту и по подстановкам $q(-1)$, $q(1)$: так обнаруживают слияние корней и выход из допустимого диапазона. В практике урока эти события нужно учесть отдельно.

43. Скачать PDF