Урок 6. Показательные и логарифмические уравнения

01. Показательное уравнение опирается на строгую монотонность степени

Показательной называют функцию, в которой переменная находится в показателе степени. При $a>0$ и $a\ne 1$ функция $a^x$ определена для всех действительных $x$ и строго монотонна.

$$y=a^x$$

При $a>1$ функция возрастает; при $0<a<1$ убывает. В обоих случаях разные показатели дают разные значения. Поэтому функция принимает каждое положительное значение не более одного раза.

$$a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$$

Равносильность следует из взаимной однозначности показательной функции. Ограничения на основание не являются формальностью: при $a=1$ обе части постоянно равны единице, а при $a\le 0$ действительная степень не определена для всех показателей.

Главный принцип. Не «сбрасываем одинаковые основания», а применяем доказанный факт: строго монотонная функция принимает одинаковые значения только при одинаковых аргументах.

02. Почему основание больше единицы даёт возрастание

Пусть $v>u$. Тогда $v-u>0$. Для $a>1$ положительная степень $a^{v-u}$ больше единицы. Поэтому

$$\frac{a^v}{a^u}=a^{v-u}>1$$

и, следовательно, $a^v>a^u$. Если $0<a<1$, представим $a=\frac{1}{b}$, где $b>1$. Тогда $a^x=b^{-x}$; с ростом $x$ показатель $-x$ уменьшается, поэтому значение функции уменьшается.

Эта же монотонность позже определит направление знака в показательных неравенствах.

03. Простейшее показательное уравнение

Если правую часть можно представить степенью того же основания, уравнение сразу сводится к равенству показателей.

Пример. Решите $8^{x-1}=4^{2x+1}$.

$$2^{3x-3}=2^{4x+2}$$

$$3x-3=4x+2$$

Получаем $x=-5$. Проверка не требует десятичных приближений: обе исходные части после подстановки являются одной и той же степенью двойки.

Выбор основания. Берите простое общее основание, если оно естественно видно. Запись $8=2^3$ и $4=2^2$ сокращает вычисления и делает монотонность прозрачной.

04. Разные основания можно согласовать через их степень

Если основания являются степенями одного числа, переводим их к этому числу. Если нет, иногда полезно перенести всё в одну сторону и разложить по общему множителю.

Пример. Решите $9^x={27}^{x-1}$.

$$3^{2x}=3^{3x-3}$$

По строгой монотонности степени $2x=3x-3$, откуда $x=3$.

Контрпример к механике. В уравнении $2^x=3^x$ одинакового основания нет. Но деление на $3^x>0$ даёт ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1$, а единственный показатель, дающий единицу при основании $\frac{2}{3}$, равен нулю.

05. Вынесение наименьшей степени как общий множитель

Сумма степеней часто превращается в произведение после вынесения общей степени. Ненулевая показательная часть затем безопасно сокращается.

Задача. Решите $3^{x+1}+3^x=108$.

$$3^x(3+1)=108$$

$$3^x=27=3^3$$

Ответ: $x=3$. Деление на 4 и на $3^x$ безопасно: $4\ne 0$, а любая степень положительного основания положительна.

06. Замена t = a x и её обязательное условие

Если в уравнении встречаются $a^{2x},a^x$ и число, вводим $t=a^x$. Новая переменная всегда положительна.

$$t=a^x,t>0$$

Пример. Решите $4^x-5\cdot 2^x+4=0$.

$$t=2^x>0,t^2-5t+4=0$$

Получаем $t=1$ или $t=4$. Возвращаемся к переменной: $2^x=1$ даёт $x=0,2^x=4$ даёт $x=2$.

Полнота замены. Функция $a^x$ при допустимом основании принимает все положительные значения и только их. Поэтому каждому $t>0$ соответствует ровно один $x={log}_{a}t$.

07. Отрицательный корень вспомогательного уравнения отбрасывается до обратной замены

Вспомогательное квадратное уравнение может иметь отрицательный корень, но $a^x$ никогда не бывает отрицательным.

Пример. После замены $t=3^x$ уравнение приводит к $t^2+t-6=0$. Корни $t=2$ и $t=-3$. Второй корень противоречит $t>0$; только $3^x=2$ возвращается к исходной переменной.

Отрицательное $t$ не является «посторонним корнем исходного уравнения»: это недопустимое значение новой переменной, которое не имеет прообраза среди действительных $x$.

08. Смешанные показательные уравнения и деление на положительную степень

Задача. Решите $6^x=2^{x+1}\cdot 3$.

Запишем $6^x=2^x{3}^x$ и разделим на положительное число $2^{x}3$:

$$3^{x-1}=2$$

Получаем $x-1={log}_{3}2$, то есть $x=1+{log}_{3}2$. Такой ответ является точным; переводить его в десятичную дробь не нужно.

Школьный язык. Логарифм появляется как точная запись показателя. Это не новый метод, а решение уравнения $a^y=b$ по определению логарифма.

09. Показательное уравнение с модулем в показателе

Строгая монотонность позволяет сначала сравнить показатели, а затем решить уравнение с модулем.

Пример. Решите $5^{|x-2|}=125$.

$$|x-2|=3$$

Отсюда $x-2=3$ или $x-2=-3$. Ответ: $x=5$ или $x=-1$.

Если правая часть неположительна, решений нет, потому что показательная функция всегда положительна.

10. Логарифмическое уравнение всегда начинается с ОДЗ

Для каждого логарифма требуется положительный аргумент; основание должно быть положительным и не равным единице. Ограничения выписываются по исходной записи до объединения логарифмов.

$${log}_{a}f\left(x\right)=b$$

При допустимом основании это равносильно двум условиям:

$$f\left(x\right)>0\text{и}f\left(x\right)=a^b$$

Второе равенство часто автоматически обеспечивает положительность аргумента, потому что $a^b>0$. Однако записать происхождение ОДЗ всё равно необходимо.

11. Определение логарифма превращает простейшее уравнение в степенное

Пример. Решите ${log}_2(3x-1)=4$.

ОДЗ: $3x-1>0$. По определению логарифма

$$3x-1=2^4$$

Отсюда $x=\frac{17}{3}$. Значение входит в ОДЗ, а аргумент при подстановке равен 16.

Проверка определения. Ученик должен уметь проговорить: логарифм равен 4, значит, основание 2 в четвёртой степени даёт аргумент.

12. Равенство логарифмов с одинаковым основанием

Логарифмическая функция строго монотонна, следовательно, принимает каждое значение единственный раз.

$${log}_{a}f\left(x\right)={log}_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$$

Равносильность действует только на общей ОДЗ: $f\left(x\right)>0$ и $g\left(x\right)>0$.

Пример. ${log}_3(x^2-1)={log}_3(2x+3)$. ОДЗ требует $x^2-1>0$ и $2x+3>0$. После равенства аргументов получаем кандидатов, а затем оставляем только значения общей ОДЗ.

Запрет. Нельзя сначала приравнять аргументы, а затем забыть исходные условия. Алгебраическое равенство может иметь корни, при которых один из логарифмов не существует.

13. Сумма логарифмов: исходная ОДЗ не заменяется условием на произведение

Свойство логарифма произведения работает, если каждый исходный аргумент положителен.

$${log}_{a}u+{log}_{a}v={log}_a\left(uv\right),u>0,v>0$$

Задача. Решите ${log}_2(x-1)+{log}_2(x-3)=3$.

Исходная ОДЗ: $x>3$. Объединяем логарифмы и получаем $(x-1)(x-3)=8$. Квадратное уравнение даёт $x=5$ и $x=-1$; ОДЗ оставляет $x=5$.

Условие $(x-1)(x-3)>0$ дополнительно допустило бы $x<1$, где оба исходных аргумента отрицательны. Поэтому оно не заменяет исходную ОДЗ.

14. Разность логарифмов и ненулевой знаменатель

При объединении разности логарифмов второй аргумент становится знаменателем, но он уже положителен по ОДЗ.

$${log}_{a}u-{log}_{a}v={log}_a\frac{u}{v},u>0,v>0$$

Пример. ${log}_5(x+4)-{log}_{5}x=1$. ОДЗ: $x>0$. После объединения $\frac{x+4}{x}=5$, откуда $x=1$. Проверка исходных аргументов выполнена.

15. Логарифм степени и модуль

Если исходно $x>0$, верно ${log}_a\left(x^2\right)=2{log}_{a}x$. Если известно только $x\ne 0$, справа должен появиться модуль:

$${log}_a{x}^2=2{log}_a\left|x\right|$$

Причина: $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. Потеря модуля незаконно исключает отрицательные значения, для которых логарифм квадрата существует.

Пример. Уравнение ${log}_2\left(x^2\right)=6$ равносильно $x^2=64$ и имеет два корня: $x=-8$ и $x=8$.

16. Логарифмическая замена t = log a x

Если в уравнении встречаются квадрат логарифма, сам логарифм и число, вводим $t={log}_{a}x$. При допустимом $x$ переменная $t$ может принимать любое действительное значение.

$$t={log}_{a}x$$

Пример. ${\left({log}_{2}x\right)}^2-5{log}_{2}x+6=0$.

$$t^2-5t+6=0$$

Получаем $t=2$ или $t=3$, затем $x=4$ или $x=8$. Оба значения положительны.

Сравнение замен. Для $t=a^x$ записываем $t>0$. Для $t={log}_{a}x$ ограничений на $t$ нет, но исходная переменная обязана удовлетворять $x>0$.

17. Согласование разных логарифмических оснований

Разные основания переводятся к одному через формулу замены основания. Формулу не угадываем, а при необходимости выводим из определения.

$${log}_{a}x=\frac{{log}_{b}x}{{log}_{b}a}$$

Пример. Решите ${log}_{2}x+{log}_{4}x=6$.

Поскольку ${log}_{4}x=\left(\frac{1}{2}\right){log}_{2}x$, вводим $t={log}_{2}x$. Тогда $t+\frac{t}{2}=6$, откуда $t=4$ и $x=16$.

ОДЗ $x>0$ сохраняется; найденное значение ей удовлетворяет.

18. Переменное основание: три условия ОДЗ

В логарифме с основанием $g\left(x\right)$ необходимо одновременно проверить:

• $g\left(x\right)>0$;

• $g\left(x\right)\ne 1$;

• аргумент $f\left(x\right)>0$.

Пример. Решите ${log}_{(x-1)}4=2$.

ОДЗ основания: $x>1$ и $x\ne 2$. По определению ${(x-1)}^2=4$. Кандидаты $x=3$ и $x=-1$; только $x=3$ входит в ОДЗ.

Источник ошибки. Квадратное равенство допускает отрицательное $x-1$, но основание логарифма обязано быть положительным. Отбрасывание делает ОДЗ, а не извлечение корня.

19. Факторизация логарифмического уравнения

Иногда общий логарифмический множитель позволяет разложить уравнение на ветви. Перед ветвлением сохраняется общая ОДЗ всех исходных логарифмов.

Пример. $({log}_{2}x-1)({log}_{2}x+3)=0$.

ОДЗ: $x>0$. Нулевое произведение даёт ${log}_{2}x=1$ или ${log}_{2}x=-3$, поэтому $x=2$ или $x=\frac{1}{8}$.

Факторизация является тождественным преобразованием выражения на ОДЗ и потому не добавляет корней.

20. Показательно-логарифмическая связь

Основное логарифмическое тождество позволяет мгновенно упрощать показатель, если основание степени совпадает с основанием логарифма.

$$a^{{log}_{a}u}=u,u>0$$

Пример. Решите $3^{{log}_3(x-1)}=9$.

ОДЗ: $x-1>0$. Левая часть равна $x-1$, поэтому $x-1=9$ и $x=10$.

Если основания различны, сначала согласуем их: $a^{{log}_{b}u}=u^{{log}_{b}a}$. Это следствие замены основания, а не отдельная формула для заучивания.

21. Система показательных уравнений

Задача. Решите систему $2^x\cdot 2^y=32$ и $2^x+2^y=12$.

Положим $u=2^x>0$ и $v=2^y>0$. Тогда $uv=32$ и $u+v=12$. Числа $u$ и $v$ являются корнями $t^2-12t+32=0$, то есть 4 и 8.

Получаем две упорядоченные пары: $(u,v)=(4,8)$ или (8,4). Поэтому $(x,y)=(2,3)$ или (3,2).

Почему решений ровно два. Степенная функция с основанием 2 взаимно однозначна, поэтому каждому положительному $u$ соответствует единственный $x$.

22. Система логарифмов и переход к сумме и произведению

Задача. Решите систему ${log}_{2}x+{log}_{2}y=3$ и $x+y=6$.

ОДЗ: $x>0$ и $y>0$. Первое уравнение равносильно ${log}_2\left(xy\right)=3$, то есть $xy=8$. Числа $x$ и $y$ — корни $t^2-6t+8=0$.

Получаем $(x,y)=(2,4)$ или (4,2). Обе пары входят в ОДЗ.

23. Функциональный метод: сумма возрастающей и убывающей частей

Иногда стандартная замена не работает, но можно доказать единственность корня через монотонность. После нахождения очевидного корня это завершает решение.

Пример. Рассмотрим $2^x+x=3$. Левая часть строго возрастает как сумма двух строго возрастающих функций. Значение $x=1$ является корнем. Следовательно, другого корня нет.

Полнота функционального метода. Проверка одного корня даёт существование; строгая монотонность даёт единственность. Нужны обе части рассуждения.

24. Оценка как метод решения

Если каждое слагаемое имеет известную нижнюю границу и равенство возможно только в одной точке, можно обойти громоздкие преобразования.

Пример. Для $t>0$ верно $t+\frac{1}{t}\ge 2$, потому что ${(t-1)}^2\ge 0$. Если после замены $t=2^x$ уравнение сводится к $t+\frac{1}{t}=2$, то обязательно $t=1$ и $x=0$.

$$t+\frac{1}{t}-2=\frac{{(t-1)}^2}{t}\ge 0$$

Равенство достигается только при $t=1$. Доказанная оценка одновременно даёт корень и его единственность.

25. Полный разбор показательного уравнения

Задача. Решите $9^x-10\cdot 3^x+9=0$.

Положим $t=3^x>0$. Тогда $9^x=t^2$ и уравнение принимает вид $t^2-10t+9=0$.

$$(t-1)(t-9)=0$$

Оба корня положительны: $t=1$ и $t=9$. Обратная замена даёт $x=0$ и $x=2$. Проверка исходного уравнения подтверждает оба значения.

Полнота следует из взаимной однозначности замены $3^x=t$ на области $t>0$ и полного решения квадратного уравнения.

26. Полный разбор логарифмического уравнения

Задача. Решите ${log}_2(x-1)+{log}_2(x+3)=3+{log}_{2}x$.

ОДЗ: $x-1>0,x+3>0$ и $x>0$, то есть $x>1$.

На ОДЗ объединяем логарифмы и переносим их в одну часть:

$${log}_2\frac{(x-1)(x+3)}{x}=3$$

По определению логарифма дробь равна 8. После умножения на $x>0$ получаем квадратное уравнение. Все его корни проверяем условием $x>1$ и исходной записью.

Контроль ОДЗ. Положительность общей дроби не заменяет положительность трёх исходных аргументов. Ограничение $x>1$ сохраняется до ответа.

27. Уравнение с параметром в показателе

Задача. В зависимости от $a$ решите $2^{ax}=4$.

Запишем $4=2^2$. По строгой монотонности $ax=2$.

Если $a\ne 0$, единственный корень $x=\frac{2}{a}$. Если $a=0$, получаем $1=4$, поэтому решений нет.

Параметрическая развилка. Особое значение появляется не из степени, а из последующего деления на $a$. Его нужно разобрать до деления.

28. Лаборатория ошибок

29. Контроль восстановления доказательств

• доказать строгую монотонность $a^x$ при $a>1$ и объяснить убывание при $0<a<1$;

• обосновать равносильность равенства степеней одного основания и равенства их показателей;

• объяснить область $t>0$ в замене $t=a^x$;

• вывести равенство логарифмов через строгую монотонность и общую ОДЗ;

• восстановить формулу замены основания;

• объяснить, почему исходная ОДЗ сохраняется после объединения логарифмов.

30. Дополнительная практика по основному банку

31. Карта урока

32. Быстрая проверка понимания

33. Как упростить или усложнить урок

34. Финальное упражнение: восстановить метод без таблицы

Составьте по одному уравнению для четырёх методов: сведение оснований, замена $t=a^x$, равенство логарифмов и функциональная монотонность. Для каждого запишите ограничения, докажите равносильность перехода и укажите, чем обеспечена полнота ответа.

Критерий. Ученик объясняет не только последовательность действий, но и математический факт, который разрешает каждое действие.

35. Разбор сложных задач ЕГЭ

Шесть крупных задач разбираются полностью: от ОДЗ и выбора метода до проверки, графической интерпретации и доказательства полноты ответа.

36. Задача 1 • Взаимно обратные показательные слагаемые

Условие

Решите уравнение

$$2^x+2^{-x}=\frac{5}{2}.$$

Разбор

1. Вводим положительную замену

$$t=2^x>0.$$

• Тогда $2^{-x}=\frac{1}{t}$.

1. Получаем

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

• После умножения на $2t>0$:

$$2t^2-5t+2=0,$$

• откуда

$$t=2\mathrm{\text{или}}t=\frac{1}{2}.$$

1. Возвращаемся к $x$:

$$2^x=2\Rightarrow x=1,$$

$$2^x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-1.$$

Контроль полноты

Оба корня квадратного уравнения положительны, а функция $2^x$ взаимно однозначно отображает $ℝ$ на $(0,+\infty )$.

Ответ: $-1;1$.

Экзаменационный акцент: условие $t>0$ - обязательная часть показательной замены.

37. Задача 2 • Логарифмическая сумма и исходная ОДЗ

Условие

Решите уравнение

$${log}_2(x-1)+{log}_2(5-x)=1.$$

Разбор

1. ОДЗ задаётся двумя строгими неравенствами:

$$x-1>0,5-x>0,$$

• то есть

$$1<x<5.$$

1. Только на ОДЗ объединяем логарифмы:

$${log}_2\left((x-1)(5-x)\right)=1.$$

1. По определению логарифма:

$$(x-1)(5-x)=2.$$

• После раскрытия скобок:

$$x^2-6x+7=0.$$

• Поэтому

$$x=3\pm \sqrt{2}.$$

1. Оба числа лежат между $1$ и $5$.

Контроль полноты

Переход к произведению выполнен на исходной ОДЗ; равенство логарифма и числа преобразовано по определению при допустимом основании.

Ответ: $3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}$.

Экзаменационный акцент: условие $(x-1)(5-x)>0$ было бы слабее исходной ОДЗ и могло бы добавить лишнюю область.

38. Задача 3 • Переменное основание

Условие

Решите уравнение

$${log}_{x-1}(x^2-5x+7)=1.$$

Разбор

• Условия на основание:

$$x-1>0,x-1\ne 1,$$

• то есть $x>1$, $x\ne 2$.

• Аргумент положителен при всех $x$, потому что

$$x^2-5x+7>0$$

• и его дискриминант равен $25-28=-3<0$.

• По определению логарифма исходное уравнение равносильно

$$x^2-5x+7=x-1.$$

• Тогда

$$x^2-6x+8=0,$$

$$x=2\mathrm{\text{или}}x=4.$$

• Значение $x=2$ запрещено: основание логарифма стало бы равно $1$. Значение $x=4$ допустимо.

Контроль полноты

Все три условия существования логарифма проверены отдельно; оба кандидата из алгебраического уравнения сопоставлены с исходной ОДЗ.

Ответ: $4$.

Экзаменационный акцент: основание, зависящее от $x$, нельзя считать «обычной константой».

39. Задача 4 • Система показательных уравнений

Условие

Решите систему

$$\{\begin{array}{c}\hfill 2^x+2^y=10,\hfill \\ \hfill x+y=4.\hfill \end{array}$$

Разбор

1. Введём положительные переменные

$$u=2^x,v=2^y.$$

1. Из второго уравнения системы:

$$uv=2^{x+y}=2^4=16.$$

• Поэтому

$$u+v=10,uv=16.$$

1. Числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения

$$z^2-10z+16=0.$$

• Отсюда $\{u,v\}=\{2,8\}$.

1. Возвращаемся к показателям:

$$(u,v)=(2,8)\Rightarrow (x,y)=(1,3),$$

$$(u,v)=(8,2)\Rightarrow (x,y)=(3,1).$$

Контроль полноты

Оба порядка пары $\{2,8\}$ учтены; логарифмирование по основанию $2$ однозначно восстанавливает $x$ и $y$.

Ответ: $(1;3)$, $(3;1)$.

Экзаменационный акцент: сумма и произведение новой пары часто сильнее прямого исключения переменной.

40. Задача 5 • число корней симметричной показательной суммы

Условие

В зависимости от параметра $a$ определите число корней уравнения

$$2^x+2^{-x}=a.$$

Разбор

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2.$$

• Равенство достигается только при $2^x=2^{-x}$, то есть при $x=0$.

  Функция чётная. На $[0,+\infty )$ она строго возрастает, поскольку при $x>0$ растущее слагаемое $2^x$ доминирует над убывающим $2^{-x}$; то же можно строго подтвердить производной.

Рисунок 1. Горизонталь ниже минимума не пересекает график, в минимуме касается его, выше минимума пересекает две симметричные ветви.

Следовательно:

при $a<2$ корней нет;

при $a=2$ один корень, $x=0$;

при $a>2$ два корня, противоположных по знаку.

Контроль полноты

Минимум найден точно, а строгая монотонность каждой ветви исключает дополнительные пересечения.

Экзаменационный акцент: график показывает структуру ответа, но критерий полноты — минимум и монотонность.

41. Задача 6 • параметр в логарифмической сумме

Условие

В зависимости от параметра $a$ определите число корней уравнения

$${log}_{2}x+{log}_2(4-x)=a.$$

Разбор

ОДЗ:

$$0<x<4.$$

На ОДЗ:

$${log}_2\left(x(4-x)\right)=a,$$

• поэтому

$$x(4-x)=2^a.$$

Квадратичная функция $x(4-x)$ положительна на $(0,4)$, симметрична относительно $x=2$ и имеет максимум

$$2(4-2)=4.$$

• Следовательно, максимальное значение логарифмической функции равно

$${log}_{2}4=2.$$

Рисунок 2. На концах ОДЗ функция стремится к $-\infty$, а в точке $x=2$ достигает единственного максимума.

Получаем:

при $a<2$ корней два;

при $a=2$ корень один, $x=2$;

при $a>2$ корней нет.

Контроль полноты

На каждой из двух ветвей функция строго монотонна; её поведение у границ ОДЗ и точное значение максимума установлены.

Экзаменационный акцент: границы ОДЗ не входят в ответ, но определяют неограниченное убывание функции.

42. Итог урока

Показательная замена всегда сопровождается условием новой переменной $t>0$.

Исходная логарифмическая ОДЗ сохраняется после объединения логарифмов.

Для переменного основания проверяются аргумент, положительность основания и запрет основания $1$.

В симметрических задачах полезны сумма и произведение новых переменных.

Число корней с параметром обосновывается точными границами и монотонностью.

43. Монотонность и показательная замена

Почему показательная функция с основанием больше 1 возрастает

Пусть $a>1$ и $y>x$. Тогда $y-x>0$. По закону частного степеней

$$\frac{a^y}{a^x}=a^{y-x}.$$

Положительная степень числа больше 1 больше единицы, поэтому

$$\frac{a^y}{a^x}>1,$$

а значит $a^y>a^x$.

Если $0<a<1$, представим $a=\frac{1}{b}$, где $b>1$. Тогда

$$a^x=b^{-x}.$$

При росте $x$ показатель $-x$ уменьшается, поэтому функция убывает. Этот факт станет основанием монотонности логарифма на следующем уроке.

Следствие. При $a>0$, $a\ne 1$ равенство

$$a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$$

равносильно $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ на общей ОДЗ. Строгая монотонность гарантирует единственность показателя.

Полный разбор: уравнение с общим основанием

Решим

$$8^{x-1}=4^{2x+1}.$$

Переходим к основанию 2:

$$2^{3(x-1)}=2^{2(2x+1)}.$$

Основание 2 положительно и не равно 1, степенная функция строго возрастает, поэтому показатели равны:

$$3x-3=4x+2.$$

Откуда $x=-5$.

Проверка подстановкой подтверждает равенство. В решении важно назвать причину перехода к равенству показателей — строгую монотонность, а не «одинаковые основания можно убрать».

Показательная замена в уравнениях и неравенствах

Если в выражении встречаются $a^{2x}$ и $a^x$ при положительном $a$, вводим $t=a^x$. Важно сразу записать $t>0$: показательная функция принимает только положительные значения.

Уравнение

Задача. Решите $4^x-5\cdot 2^x+4=0$. Поскольку $4^x={\left(2^x\right)}^2$, положим $t=2^x,t>0$. Получаем

$$t^2-5t+4=0,(t-1)(t-4)=0.$$

Оба корня положительны: $t=1$ или $t=4$. Возвращаемся к исходной переменной: $2^x=1$ даёт $x=0$, а $2^x=4$ даёт $x=2$. Ответ: 0 и 2.

Проверка. Подстановка $x=0$ даёт $1-5+4=0$; при $x=2$ получаем $16-20+4=0$. Условие $t>0$ не исключило корни, но его всё равно необходимо фиксировать.

Неравенство

Задача. Решите $3^{2x}-10\cdot 3^x+9\le 0$. Положим $t=3^x,t>0$. Тогда

$$t^2-10t+9\le 0,(t-1)(t-9)\le 0.$$

Квадратный трёхчлен неположителен между корнями: $1\le t\le 9$. Возвращаем замену: $1\le 3^x\le 9$. Основание 3 больше 1, поэтому функция возрастает и можно сравнить показатели:

$$0\le x\le 2.$$

Когда один корень замены запрещён

Рассмотрим уравнение $4^x+2^x-2=0$. После замены $t=2^x>0$ получаем $t^2+t-2=0$, то есть $t=1$ или $t=-2$. Второй корень квадратного уравнения не может быть значением $2^x$, поэтому остаётся $t=1$ и $x=0$.

Важно. Ограничение $t>0$ проверяется до обратного перехода. Нельзя пытаться решать $2^x=-2$ и только потом вспоминать, что положительная степень положительного основания всегда положительна.

Критерий решения. Ученик объясняет, почему замена охватывает все исходные значения, решает новое уравнение с учётом $t>0$ и корректно возвращается к $x$ через монотонность показательной функции.

44. Два корня внутри заданного интервала

После замены $t=\log_bx$ нельзя забывать границы для $t$. Для квадратичной функции $q(t)$ с положительным старшим коэффициентом два различных корня лежат строго внутри $(u;v)$ тогда и только тогда, когда вершина лежит между $u$ и $v$, минимум отрицателен, а $q(u)>0$ и $q(v)>0$. На концах открытого интервала равенство нулю запрещено.

Пример. Для $t^2-2at+1=0$ требуются два корня в $(0;3)$. Вершина $t=a$: $0<a<3$; дискриминант положителен при $|a|>1$; $q(0)=1>0$, $q(3)=10-6a>0$. Получаем $1<a<\frac53$.

Функциональный метод. Единственность часто проще доказать монотонностью, чем преобразованиями. Для $\log_2x+x=3$ сумма слева строго возрастает, поэтому найденный корень $x=2$ единственный. Если используется выпуклость, обоснуйте её, например второй производной. Для $2^x-x-1$ она положительна всюду; этот дополнительный приём потребуется в одном задании практики.

45. Скачать PDF