Урок 6. Показательные и логарифмические уравнения: 40 заданий с решениями

1. Основание $2$ положительно и не равно 1, поэтому функция $2^t$ взаимно однозначна.

2. Приравниваем показатели: $x+3=8$.

3. Получаем $x=5$.

Ответ. $5$

$27=3^3$. Инъективность степени даёт $2x-1=3x-6$, откуда $x=5$.

Ответ. $5$.

1. Основание $5$ положительно и не равно 1, поэтому функция $5^t$ взаимно однозначна.

2. Приравниваем показатели: $x+1=4$.

3. Получаем $x=3$.

Ответ. $3$

Правая часть равна $(\frac12)^4$. Поэтому $x^2-3x=4$, то есть $(x-4)(x+1)=0$. Основание положительно и не равно 1, обе степени определены для всех $x$.

Ответ. $-1;4$.

1. Основание $4$ положительно и не равно 1, поэтому функция $4^t$ взаимно однозначна.

2. Приравниваем показатели: $x+2=8$.

3. Получаем $x=6$.

Ответ. $6$

Выносим $2^x$: $3\cdot2^x=24$. Значит, $2^x=8$ и $x=3$.

Ответ. $3$.

Показательная функция $4^x$ строго положительна для любого действительного $x$, поэтому не может равняться отрицательному числу.

Ответ. Корней нет.

1. ОДЗ: $x+1>0$.

2. По определению логарифма $x+1=2^3$.

3. Отсюда $x=7$; аргумент в этой точке равен $8>0$.

Ответ. $7$

ОДЗ: $x>\frac13$. По определению $3x-1=(\frac12)^{-2}=4$, поэтому $x=\frac53$. Найденное значение входит в ОДЗ.

Ответ. $\frac53$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne1$. По определению $x^2=9$. Из кандидатов $\pm3$ допустим только 3.

Ответ. $3$.

ОДЗ: $x<-2$ или $x>2$. По определению $x^2-4=8$, откуда $x=\pm2\sqrt3$. Оба числа входят в ОДЗ; аргумент равен 8.

Ответ. $-2\sqrt3;2\sqrt3$.

ОДЗ: $\log_3x>0$, то есть $x>1$. Сначала $\log_3x=2$, затем $x=9$. Оба логарифма определены.

Ответ. $9$.

Шаг 1. ОДЗ: $x>0,x\ne 1$.

Шаг 2. По формуле перехода к новому основанию ${\log }_{x}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}x}=\frac{3}{{\log }_{2}x}$.

Шаг 3. Поэтому левая часть равна ${\log }_{2}x·\frac{3}{{\log }_{2}x}=3$ для каждого $x$ из ОДЗ.

Шаг 4. Уравнение является тождеством на своей области определения.

Проверка полноты. Единственное сокращаемое выражение ${\log }_{2}x$ не равно нулю именно благодаря условию $x\ne 1$.

Ответ. $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$.

ОДЗ: $x>1$. Обозначим $t=\log_2(x-1)$. Правая часть равна $\frac{2+t}{2}$. Из $t=\frac{2+t}{2}$ получаем $t=2$, то есть $x=5$. Проверка: $\log_2 4=\log_4 16=2$.

Ответ. $5$.

1. Вводим $t=2^x$; обязательно $t>0$.

2. Получаем квадратное уравнение $t^2-5t+4=0$.

3. Разлагаем трёхчлен и оставляем только положительные корни $t$.

4. Каждый корень является целой степенью основания $2$, поэтому возвращаемся к $x$.

5. Получаем $x=0;2$; взаимная однозначность показательной функции гарантирует полноту.

Ответ. $0;2$

1. Вводим $t=3^x$; обязательно $t>0$.

2. Получаем квадратное уравнение $t^2-10t+9=0$.

3. Разлагаем трёхчлен и оставляем только положительные корни $t$.

4. Каждый корень является целой степенью основания $3$, поэтому возвращаемся к $x$.

5. Получаем $x=0;2$; взаимная однозначность показательной функции гарантирует полноту.

Ответ. $0;2$

1. ОДЗ: $x\ge -2$.

2. Возводим в квадрат: $x+2=4$.

3. Получаем $x=2$ и проверяем.

Ответ. $2$

1. $sin{30}^{\circ }=\frac{1}{2}$.

2. $cos{60}^{\circ }=\frac{1}{2}$.

3. Сумма равна 1.

Ответ. $1$

1. ОДЗ: $x\ne 2$.

2. $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

3. Сокращаем на ОДЗ.

4. Получаем $x+2$.

5. Запрещённую точку сохраняем.

Ответ. $x+2$, $x\ne 2$

1. Рационализируем: $\sqrt{65}-8=\frac{1}{\sqrt{65}+8}$.

2. $\sqrt{65}>8$.

3. Знаменатель больше 16.

4. При положительных знаменателях дробь меньше.

5. Получаем $\sqrt{65}-8<\frac{1}{16}$.

Ответ. $\sqrt{65}-8<\frac{1}{16}$

1. Вводим $t=2^x$; обязательно $t>0$.

2. Получаем квадратное уравнение $t^2-6t+8=0$.

3. Разлагаем трёхчлен и оставляем только положительные корни $t$.

4. Каждый корень является целой степенью основания $2$, поэтому возвращаемся к $x$.

5. Получаем $x=1;2$; взаимная однозначность показательной функции гарантирует полноту.

Ответ. $1;2$

Пусть $t=2^x>0$. Тогда $(t+3)(t-2)=0$; отрицательное значение $t=-3$ отбрасываем. Из $2^x=2$ получаем $x=1$.

Ответ. $1$.

Делим на $4^x>0$: $(\frac32)^{2x}-4(\frac32)^x+4=0$. Замена $t=(\frac32)^x>0$ даёт $(t-2)^2=0$. Отсюда $x=\log_{\frac32}2$ — единственный корень.

Ответ. $\log_{\frac32}2$.

1. ОДЗ: $x>3$.

2. На ОДЗ объединяем логарифмы: ${log}_2\left((x-1)(x-3)\right)={log}_{2}3$.

3. Равенство логарифмов с одним допустимым основанием даёт $(x-1)(x-3)=3$.

4. Квадратное уравнение имеет кандидаты $x=4$ и $x=0$.

5. После проверки ОДЗ остаётся $4$.

Ответ. $4$

1. ОДЗ: $x>2$.

2. На ОДЗ объединяем логарифмы: ${log}_3\left(\left(x\right)(x-2)\right)={log}_{3}3$.

3. Равенство логарифмов с одним допустимым основанием даёт $\left(x\right)(x-2)=3$.

4. Квадратное уравнение имеет кандидаты $x=3$ и $x=-1$.

5. После проверки ОДЗ остаётся $3$.

Ответ. $3$

ОДЗ: $x>3$. Объединяем в логарифм частного: $\frac{x-1}{x-3}=2$. Отсюда $x-1=2x-6$, то есть $x=5$. Он допустим.

Ответ. $5$.

При $x>0$ замена $t=\log_2x$ принимает все действительные значения. $(t-1)(t-2)=0$, поэтому $x=2$ или 4. Обратное соответствие однозначно.

Ответ. $2;4$.

ОДЗ: $x>1$. Тогда $x^2-1=3x+1$, то есть $x^2-3x-2=0$. Кандидаты $\frac{3\pm\sqrt{17}}2$; условию $x>1$ удовлетворяет только число со знаком плюс.

Ответ. $\frac{3+\sqrt{17}}2$.

1. Обе части положительны; приводим основания к степени одного простого числа.

2. Получаем $2^{x+1}=2^{3x-3}$.

3. Показательная функция с таким основанием взаимно однозначна.

4. Приравниваем показатели: $x+1=3x-3$.

5. Решение линейного уравнения: $x=2$.

Ответ. $2$

1. Обе части положительны; приводим основания к степени одного простого числа.

2. Получаем $3^{2x-2}=3^{6-3x}$.

3. Показательная функция с таким основанием взаимно однозначна.

4. Приравниваем показатели: $2x-2=6-3x$.

5. Решение линейного уравнения: $x=\frac{8}{5}$.

Ответ. $\frac{8}{5}$

Шаг 1. Подстановка даёт $x=0$ и $x=1$.

Шаг 2. Функция $f(x)=2^x-x-1$ строго выпукла: $f^{\prime\prime}(x)=(\ln2)^2 2^x>0$. У строго выпуклой функции не может быть трёх нулей: средний из них лежал бы строго ниже хорды, соединяющей крайние нули, то есть имел бы отрицательное значение.

Шаг 3. Два найденных корня исчерпывают ответ.

Ответ. $0;1$.

ОДЗ: $x>0$. Функция $\log_2x+x$ строго возрастает как сумма двух строго возрастающих функций. При $x=2$ её значение равно 3. Поэтому это единственный корень.

Ответ. $2$.

Шаг 1. Положим $t=3^x>0$. Тогда $3^{1-x}=\frac{3}{t}$.

Шаг 2. Получаем $t+\frac{3}{t}=4$, или после умножения на $t:t^2-4t+3=0$.

Шаг 3. Отсюда $t=1$ или $t=3$. Возвращаясь к $x$, имеем $3^x=1$ либо $3^x=3$.

Шаг 4. Следовательно, $x=0$ или $x=1$.

Проверка. При $x=0$ сумма равна 1+3, при $x=1$ — 3+1; замена охватывает все положительные $t$.

Ответ. $x=0;1$.

Шаг 1. ОДЗ: $x>0,x\ne 1$. Положим $t={\log }_{2}x$, тогда $t\ne 0$ и ${\log }_{x}2=\frac{1}{t}$.

Шаг 2. Уравнение $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ после умножения на $2t$ принимает вид $2t^2-5t+2=0$.

Шаг 3. Корни: $t=\frac{1}{2}$ и $t=2$. Оба ненулевые.

Шаг 4. Следовательно, $x=\sqrt{2}$ или $x=2^2=4$.

Проверка. Для $x=\sqrt{2}$ логарифмы равны $\frac{1}{2}$ и 2; для $x=4$ — 2 и $\frac{1}{2}$.

Ответ. $x=\sqrt{2};4$.

Шаг 1. Разделим уравнение на положительное $5^x:{\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x=1$.

Шаг 2. Каждая из функций ${\left(\frac{3}{5}\right)}^x$ и ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ строго убывает на $R$, поэтому их сумма также строго убывает. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Шаг 3. При $x=2$ получаем $9+16=25$, то есть равенство выполняется.

Шаг 4. Следовательно, найденный корень единственный.

Проверка полноты. Строгая монотонность доказана на всей числовой прямой, а не только в окрестности найденного значения.

Ответ. $x=2$.

Шаг 1. ОДЗ требует $x^2-1>0$ и $x-1>0$. Совместно это даёт $x>1$.

Шаг 2. На ОДЗ правая часть равна ${\log }_{2}2+{\log }_2(x-1)={\log }_2(2x-2)$.

Шаг 3. Из равенства логарифмов следует $x^2-1=2x-2$, то есть ${(x-1)}^2=0$.

Шаг 4. Единственный алгебраический кандидат $x=1$ не принадлежит ОДЗ. Следовательно, решений нет.

Проверка полноты. Логарифм с основанием 2 взаимно однозначен на положительных аргументах, поэтому иных кандидатов после приравнивания аргументов нет.

Ответ. Решений нет.

Шаг 1. Пусть $t=2^x>0$. Тогда уравнение имеет вид $t+\frac{1}{t}=a$.

Шаг 2. По неравенству $t+\frac{1}{t}\ge 2$ для $t>0$, причём равенство достигается только при $t=1$.

Шаг 3. Функция $t+\frac{1}{t}$ убывает на (0;1] и возрастает на [1;+∞); значения $t$ и $\frac{1}{t}$ дают одну и ту же сумму.

Шаг 4. Поэтому при $a<2$ решений нет, при $a=2$ имеется одно решение $x=0$, а при $a>2$ — два взаимно противоположных решения.

Проверка полноты. Монотонность на двух ветвях гарантирует ровно по одному пересечению при $a>2$.

Ответ. 0 решений при $a<2;1$ при $a=2;2$ при $a>2$.

Шаг 1. ОДЗ: $1<x<5$. На нём уравнение равносильно $(x-1)(5-x)=2^a$.

Шаг 2. Функция $f\left(x\right)=(x-1)(5-x)$ — обращённая вниз парабола с нулями 1 и 5 и максимумом $f\left(3\right)=4$.

Шаг 3. Правая часть $2^a$ всегда положительна. При $0<2^a<4$ горизонтальная прямая пересекает дугу дважды; при $2^a=4$ — один раз; при $2^a>4$ — ни разу.

Шаг 4. Условия равносильны соответственно $a<2,a=2$ и $a>2$.

Проверка полноты. На промежутках (1;3] и [3;5) парабола строго монотонна, поэтому число пересечений установлено точно.

Ответ. 2 решения при $a<2;1$ при $a=2;0$ при $a>2$.

Шаг 1. Положим $t=2^x>0$. Тогда $2^{a-x}=\frac{2^a}{t}$, и уравнение равносильно $t^2-3t+2^a=0$.

Шаг 2. Произведение корней равно $2^a>0$, а сумма равна $3>0$, поэтому при наличии двух действительных корней оба положительны и дают допустимые $x$.

Шаг 3. Дискриминант $D=9-4·2^a$. Он положителен при $2^a<\frac{9}{4}$, равен нулю при $2^a=\frac{9}{4}$ и отрицателен при $2^a>\frac{9}{4}$.

Шаг 4. Следовательно, решений два при $a<{\log }_2\left(\frac{9}{4}\right)$, одно при $a={\log }_2\left(\frac{9}{4}\right)$, ни одного при $a>{\log }_2\left(\frac{9}{4}\right)$.

Проверка полноты. Положительность алгебраических корней доказана через Виета, поэтому ни один действительный корень по $t$ не теряется при обратном переходе.

Ответ. 2 решения при $a<{\log }_2\left(\frac{9}{4}\right);1$ при равенстве; 0 при $a>{\log }_2\left(\frac{9}{4}\right)$.

Шаг 1. При замене $t=\log_2x$ интервал превращается в $0<t<4$. Нужны два различных корня $q(t)=t^2-2at+a+2$ строго внутри $(0;4)$.

Шаг 2. Необходимы и достаточны: вершина внутри интервала ($0<a<4$), два различных корня ($D/4=a^2-a-2>0$), оба конца выше оси ($q(0)=a+2>0$, $q(4)=18-7a>0$). Достаточность следует из того, что вершина ниже оси, а оба конца выше неё: по одному корню лежит с каждой стороны вершины.

Шаг 3. Условие дискриминанта даёт $a<-1$ или $a>2$. Вместе с остальными получаем $2<a<\frac{18}{7}$.

Границы. При $a=2$ корень по $t$ двойной, значит, решение по $x$ одно. При $a=\frac{18}{7}$ один корень равен 4 и соответствует запрещённому концу $x=16$.

Ответ. $a\in(2;\frac{18}{7})$.