Урок 8. Тригонометрические уравнения

Находим опорный угол

$$\alpha = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Это табличное значение синуса.

Записываем угол в I четверти

$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

В I четверти и синус, и косинус положительны.

Записываем угол во II четверти

$$x_{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Во II четверти синус сохраняет то же положительное значение.

Находим угол во II четверти

$$x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Во II четверти косинус отрицателен.

Находим угол в III четверти

$$x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$

В III четверти косинус также отрицателен.

Добавляем период

$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\quad\text{или}\quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Косинус повторяется через 2π.

Записываем решение для аргумента

$$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad\quad n \in \mathbb{Z}$$

Все углы с тангенсом 1 повторяются через π.

Делим равенство на 2

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Делим и постоянный угол, и периодическое слагаемое.

Переносим правую часть

$$2\sin x\cos x - \sin x = 0$$

Для разложения нужно нулевое значение одной части.

Выносим sin x

$$\sin x\left( 2\cos x - 1 \right) = 0$$

Одинаковый множитель содержится в обоих слагаемых.

Решаем первое уравнение

$$\sin x = 0\quad \Rightarrow \quad x = \pi n$$

Синус равен нулю на концах диаметров по оси x.

Решаем второе уравнение

$$\cos x = \frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Абсцисса 1/2 достигается в I и IV четвертях.

Вводим замену

$$t = \sin x,\quad\quad - 1 \leq t \leq 1$$

Синус не выходит за пределы от −1 до 1.

Решаем уравнение для t

$$2t^{2} - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$$

Получаем t=1/2 или t=1; оба допустимы.

Решаем sin x=1

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Максимум синуса достигается один раз за период.

Решаем sin x=1/2

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\quad\text{или}\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Ордината 1/2 положительна в I и II четвертях.

Раскрываем синус разности

$$\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}}$$

Используем формулу sin(a−b).

Упрощаем уравнение

$$2\cos x\left( \cos x - \sin x \right) = 0$$

После возведения в квадрат применяем sin²x+cos²x=1 и приводим подобные.

Получаем серии

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n\quad\text{или}\quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

cos x=0; либо cos x=sin x, откуда tan x=1.

Отбираем первую серию

$$5\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq 6\pi\quad \Rightarrow \quad n = 5$$

Единственное целое n между 4,5 и 5,5 - число 5.

Отбираем вторую серию

$$5\pi \leq \frac{\pi}{4} + \pi n \leq 6\pi\quad \Rightarrow \quad n = 5$$

Единственное целое n между 4,75 и 5,75 - число 5.

Переносим и группируем

$$2\cos x\left( 1 - \cos^{2}x \right) - \sqrt{3}\sin^{2}x = 0$$

Выносим 2cos x из первого и третьего слагаемых.

Применяем тождество

$$\sin^{2}x\left( 2\cos x - \sqrt{3} \right) = 0$$

1−cos²x=sin²x, после чего появляется общий множитель.

Записываем все серии

$$x = \pi n;\quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n,\quad\quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем sin x=0 и cos x=√3/2.

Отбираем на отрезке

$$x = - 3\pi;\ - \frac{13\pi}{6};\ - 2\pi$$

Подставляем целые n в каждую серию и оставляем значения от −3,5π до −2π.

Применяем формулы

$$2\sin^{2}x - \sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x - \sqrt{6}\cos x = 0$$

Используем sin(2π−x)=−sin x и sin2x=2sin x cos x.

Группируем

$$\left( \sin x + \sqrt{3}\cos x \right)\left( 2\sin x - \sqrt{2} \right) = 0$$

Раскрытие скобок точно восстанавливает четыре слагаемых.

Решаем первый множитель

$$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0 \Rightarrow x = - \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Приводим линейную комбинацию к одной функции.

Решаем второй множитель

$$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Синус положителен в I и II четвертях.

Отбираем корни

$$x = - \frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}$$

Только эти значения из трёх серий принадлежат [−π;π/2].