Урок 9. Неравенства и метод интервалов

09.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Теория

В неравенстве нужно найти всё множество подходящих значений. Разберём, когда меняется знак сравнения, как расставлять знаки методом интервалов и какие граничные точки включать в ответ. Отдельно рассмотрим системы, корни чётной кратности и ограничения логарифмов.

Восемь разборов ведут от линейных неравенств к рациональным и логарифмическим. Числовая ось помогает увидеть промежутки решений. После теории можно проверить себя в тесте на 40 заданий.

Скачать теорию в PDF Перейти к тесту с ответами

Содержание урока

Чем неравенство отличается от уравнения
Как записывать множество решений
Метод интервалов: полный алгоритм
Кратность корня и изолированные точки
Степени, логарифмы и замена переменной
Неравенство с корнем и модулем
Примеры с пошаговыми решениями
Основные формулы
Вопросы по теме
Практика по теме

01. Чем неравенство отличается от уравнения

Уравнение требует равенства двух выражений, а неравенство - выполнения сравнения. Решением может быть целый промежуток, несколько промежутков, отдельные точки или пустое множество. Например, $x+3>7$ выполняется при любом $x>4$ .

К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число. Умножение или деление на положительное число сохраняет знак, на отрицательное - меняет его на противоположный. Из $-2x>6$ получаем $x<-3$ . Это соответствует порядку на числовой оси: после смены знака числа располагаются в обратном порядке.

Осторожно со знаменателем. Нельзя просто умножить неравенство на выражение с неизвестным, если его знак не установлен. У $x-2$ знак зависит от $x$ , поэтому для рациональных неравенств удобен метод интервалов.

02. Как записывать множество решений

Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная - что входит. Например, $1<x\le4$ записывают как $(1;4]$ . Бесконечность не является числом, которое можно включить, поэтому возле $-\infty$ и $+\infty$ всегда ставят круглую скобку.

Слово «и» означает одновременное выполнение условий - пересечение множеств. Слово «или» означает объединение. Система $x>1$ и $x\le4$ даёт $(1;4]$ . Условия $x<-2$ или $x\ge3$ дают $(-\infty;-2)\cup[3;+\infty)$ .

Двойное неравенство также является системой. В $2x-1\le x+4<3x+2$ решают оба сравнения: $x\le5$ и $x>1$ . Затем находят общую часть: $(1;5]$ .

03. Метод интервалов: полный алгоритм

Для произведения или дроби из многочленов сначала перенесите всё в одну часть, чтобы с другой стороны оказался ноль. Если есть дроби, приведите их к общему знаменателю с сохранением исходной ОДЗ.

Разложите числитель и знаменатель на множители.
Найдите нули числителя и знаменателя.
Отметьте их на числовой оси по возрастанию. Запрещённые значения исключите.
Определите знак на каждом открытом интервале между точками.
Выберите интервалы с требуемым знаком.
Отдельно решите, какие граничные точки входят в ответ.

Знак можно проверить подстановкой одного удобного числа из интервала: внутри него ни один множитель не проходит через ноль, поэтому знак не меняется. Например, для $(x-2)(x+1)>0$ точки −1 и 2 дают три интервала. Подстановки −2, 0 и 3 показывают знаки «плюс, минус, плюс». Ответ: $(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$ .

Ноль числителя и ноль знаменателя

При нестрогом знаке ноль числителя можно включить, только если выражение там определено. Ноль знаменателя исключают всегда. Поэтому $\frac{x+2}{x-4}\le0$ имеет решение $[-2;4)$ : −2 допускается, 4 запрещено.

После сокращения общий нулевой множитель не восстанавливает исключённую точку. В $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ исходное ограничение $x\ne1$ сохраняется, даже если при вычислениях дробь заменяется на $x+2$ .

04. Кратность корня и изолированные точки

У простого линейного множителя знак при переходе через ноль меняется. У множителя чётной степени, например $(x-2)^2$ , знак не меняется. У нечётной степени - меняется. Это правило относится к полной кратности точки после учёта множителей; исходные запрещённые значения всё равно сохраняются.

Не следует автоматически чередовать знаки через каждую отмеченную точку. В $(x-2)^2(x+3)\le0$ квадрат положителен при $x\ne2$ , поэтому вне точки 2 знак определяется $x+3$ . Получаем $x\le-3$ , а также отдельное решение $x=2$ , где произведение равно нулю. Ответ: $(-\infty;-3]\cup\{2\}$ .

Самопроверка. При нестрогом знаке отдельно проверьте все допустимые нули выражения. Так вы не потеряете точку, которая не примыкает к выбранному интервалу.

05. Степени, логарифмы и замена переменной

При основании $a>1$ показательная и логарифмическая функции возрастают; при $0<a<1$ убывают. Поэтому из $2^x>2^3$ следует $x>3$ , а из $(\frac12)^x>(\frac12)^3$ следует $x<3$ .

Для логарифмов сначала находят ОДЗ. Например, $\log_2(x-1)\le3$ требует $x>1$ . Затем сравнивают аргумент со степенью основания: $x-1\le8$ . Совместный ответ - $(1;9]$ .

В сложном выражении можно ввести $t=\log_2 x$ . Тогда $x>0$ , а $t$ может быть любым действительным числом. Если логарифм стоит в знаменателе, добавляется $t\ne0$ , то есть $x\ne1$ . При замене $t=2^x$ ограничение другое: обязательно $t>0$ .

После решения по $t$ вернитесь к $x$ . Например, $-1\le\log_2 x\le2$ даёт $\frac12\le x\le4$ . Не оставляйте интервалы для вспомогательной переменной в качестве окончательного ответа.

06. Неравенство с корнем и модулем

Из $\sqrt{x-1}\le3$ при ОДЗ $x\ge1$ можно получить $x-1\le9$ , поскольку обе сравниваемые величины неотрицательны. Ответ - $[1;10]$ . Без ОДЗ в ответ ошибочно попал бы весь луч $x\le10$ .

Неравенство $|x|<a$ при $a>0$ означает, что расстояние до нуля меньше $a$ , то есть $-a<x<a$ . Для $|x|>a$ при $a>0$ выбираются два внешних луча. Границы включаются при нестрогом знаке.

07. Примеры с пошаговыми решениями

Разбор 1. Линейное неравенство и разворот знака

Условие

Решите неравенство.

$- 3x + 6 \leq 0$

Короткое правило.

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.

До решения.

При x=0 левая часть равна 6>0 и не подходит. Значит, ответ должен лежать правее некоторой точки.

Переносим число

$- 3x \leq - 6$

Вычитаем 6 из обеих частей.
Делим на −3

$x \geq 2$

Отрицательный делитель разворачивает знак ≤ в ≥.
Записываем промежуток

$x \in \lbrack 2; + \infty)$

Точка 2 включается, потому что неравенство нестрогое.

Проверка. x=2 даёт 0 и подходит; x=3 даёт −3≤0; x=1 даёт 3≤0 - неверно.

Типичная ошибка. Разделить на −3 и оставить знак ≤ без изменения.

Ответ.

$x \in \lbrack 2; + \infty)$

Разбор 2. Двойное неравенство

Условие

Решите двойное неравенство.

$- 1 < 2x + 3 \leq 7$

Короткое правило.

Выполняем одно и то же действие сразу с тремя частями двойного неравенства.

До решения.

Коэффициент при x положителен, поэтому при делении на 2 направления знаков сохранятся.

Вычитаем 3

$- 4 < 2x \leq 4$

Из каждой из трёх частей вычитаем одно число.
Делим на 2

$- 2 < x \leq 2$

Положительный делитель не меняет знаки.
Записываем промежуток

$x \in ( - 2;2\rbrack$

Левая граница строгая, правая - нестрогая.

Проверка. x=0 даёт −1<3≤7; x=−2 даёт строгое равенство слева и не подходит; x=2 подходит.

Типичная ошибка. Потерять один из знаков и решить только половину двойного неравенства.

Ответ.

$x \in ( - 2;2\rbrack$

Разбор 3. Произведение двух линейных множителей

Условие

Решите неравенство.

$(x - 4)(x + 1) > 0$

Знаки произведения (x−4)(x+1) на интервалах с границами −1 и 4.

Короткое правило.

Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки. Метод интервалов показывает это без двух отдельных систем.

До решения.

Критические точки −1 и 4 делят ось на три интервала. Поскольку старший коэффициент положителен, справа знак плюс.

Находим нули

$x = - 1,\quad\quad x = 4$

Каждый линейный множитель обращается в ноль в своей точке.
Расставляем знаки

$( + )\quad( - )\quad( + )$

При переходе через простой корень знак произведения меняется.
Выбираем положительные интервалы

$x < - 1\quad\text{или}\quad x > 4$

Нужен знак строго больше нуля.
Учитываем строгость

$x \in ( - \infty; - 1) \cup (4; + \infty)$

В точках −1 и 4 произведение равно нулю, поэтому они не входят.

Проверка. Тестовые точки: x=−2 даёт (+), x=0 даёт (−), x=5 даёт (+).

Типичная ошибка. Включить точки −1 и 4 при строгом знаке >0.

Ответ.

$x \in ( - \infty; - 1) \cup (4; + \infty)$

Разбор 4. Корень чётной кратности

Условие

Решите неравенство.

$(x - 2)^{2}(x + 3) \leq 0$

Короткое правило.

Квадратный множитель неотрицателен и не меняет знак при переходе через свой корень. Но сам корень может войти в ответ при нестрогом знаке.

До решения.

Знак выражения почти везде определяется x+3. Отдельно нельзя забыть точку x=2, где квадрат равен нулю.

Отмечаем критические точки

$x = - 3\ \text{(кратность 1)},\quad\quad x = 2\ \text{(кратность 2)}$

Кратность определяет, меняется ли знак.
Определяем знаки

$( - \infty; - 3):\ - ,\quad( - 3;2):\ + ,\quad(2; + \infty):\ +$

При −3 знак меняется; при 2 - нет.
Выбираем ≤0

$x \in ( - \infty; - 3\rbrack \cup \{ 2\}$

Берём отрицательный интервал и обе нулевые точки.

Проверка. x=0 даёт 4·3>0 и не входит; x=2 даёт 0 и входит; x=−4 даёт 36·(−1)<0.

Типичная ошибка. Автоматически чередовать знаки в каждой точке и поменять знак около корня x=2.

Ответ.

$x \in ( - \infty; - 3\rbrack \cup \{ 2\}$

Разбор 5. Рациональное неравенство

Условие

Решите неравенство.

$\frac{x + 2}{x - 4} \leq 0$

Короткое правило.

Ноль числителя может входить при нестрогом знаке; ноль знаменателя исключается всегда.

До решения.

Критические точки −2 и 4 имеют разный статус: −2 - ноль выражения, 4 - запрещённое значение.

Фиксируем ОДЗ

$x \neq 4$

Знаменатель не равен нулю.
Находим ноль числителя

$x = - 2$

При x=−2 дробь равна нулю и может войти в ответ.
Расставляем знаки

$( + )\quad( - )\quad( + )$

На интервалах (−∞;−2), (−2;4), (4;+∞) знаки чередуются.
Выбираем ≤0

$x \in \lbrack - 2;4)$

−2 включаем, 4 исключаем.

Проверка. x=0 даёт 2/(−4)<0; x=−2 даёт 0; x=5 даёт 7>0.

Типичная ошибка. Включить x=4 из-за нестрогого знака, забыв, что выражение там не существует.

Ответ.

$x \in \lbrack - 2;4)$

Разбор 6. Логарифмическое неравенство с заменой

Условие

Решите неравенство.

$\frac{4}{\log_{2}x} - \log_{2}\frac{4}{x} \leq \frac{38}{\log_{2}\left( x^{2} \right)}$

Короткое правило.

Сначала находим ОДЗ, затем вводим t=log₂x. Рациональное неравенство по t решаем методом интервалов и переводим результат обратно к x.

До решения.

Нужно x>0 и log₂x≠0, то есть x≠1. При замене t=log₂x получаем t≠0.

Записываем ОДЗ и замену

$x > 0,\ x \neq 1;\quad\quad t = \log_{2}x,\ t \neq 0$

Аргументы логарифмов положительны, знаменатели ненулевые.
Преобразуем логарифмы

$\log_{2}\frac{4}{x} = 2 - t,\quad\quad\log_{2}\left( x^{2} \right) = 2t$

Используем свойства логарифма произведения и степени.
Получаем рациональное неравенство

$\frac{4}{t} - (2 - t) \leq \frac{19}{t}\quad \Leftrightarrow \quad\frac{(t - 5)(t + 3)}{t} \leq 0$

Переносим всё влево и раскладываем t²−2t−15.
Решаем по t

$t \in ( - \infty; - 3\rbrack \cup (0;5\rbrack$

Критические точки −3, 0 и 5; t=0 исключается.
Возвращаемся к x

$x \in \left( 0;\frac{1}{8} \right\rbrack \cup (1;32\rbrack$

Основание 2>1: t≤−3 даёт x≤2^(−3), а 0<t≤5 - 1<x≤32.

Проверка. Границы x=1/8 и x=32 дают равенство; x=1 исключён из ОДЗ.

Типичная ошибка. Сократить или умножить неравенство на t без учёта неизвестного знака t.

Ответ.

$x \in \left( 0;\frac{1}{8} \right\rbrack \cup (1;32\rbrack$

Разбор 7. Логарифмическое неравенство после объединения логарифмов

Условие

Решите неравенство.

$\log_{11}\left( 2x^{2} + 1 \right) + \log_{11}\left( \frac{1}{32x} + 1 \right) \geq \log_{11}\left( \frac{x}{16} + 1 \right)$

Короткое правило.

Сначала строим полное ОДЗ. На ОДЗ объединяем логарифмы и, поскольку основание 11>1, сравниваем положительные аргументы без разворота знака.

До решения.

Первый аргумент положителен всегда. Два остальных условия дают ОДЗ (−16;−1/32)∪(0;+∞).

Записываем ОДЗ

$x \in \left( - 16; - \frac{1}{32} \right) \cup (0; + \infty)$

Нужно (32x+1)/(32x)>0 и x+16>0.
Сравниваем аргументы

$\left( 2x^{2} + 1 \right)\left( 1 + \frac{1}{32x} \right) \geq 1 + \frac{x}{16}$

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения; основание больше 1.
Переносим в одну дробь

$\frac{64x^{3} + 1}{32x} \geq 0$

После приведения к общему знаменателю сокращаются слагаемые 2x² и 32x.
Факторизуем

$\frac{(4x + 1)\left( 16x^{2} - 4x + 1 \right)}{32x} \geq 0$

Квадратный множитель всегда положителен: его дискриминант отрицателен.
Решаем и пересекаем с ОДЗ

$x \in \left( - 16; - \frac{1}{4} \right\rbrack \cup (0; + \infty)$

Знак определяет дробь (4x+1)/x; точку −1/4 включаем, x=0 исключаем.

Проверка. x=−1/4 даёт равенство; x=−16 и x=0 не входят в ОДЗ.

Типичная ошибка. Решать преобразованную дробь без пересечения с исходным ОДЗ логарифмов.

Ответ.

$x \in \left( - 16; - \frac{1}{4} \right\rbrack \cup (0; + \infty)$

Разбор 8. Логарифмическое неравенство со степенью аргумента

Условие

Решите неравенство.

$7\log_{12}\left( x^{2} - 13x + 42 \right) \leq 8 + \log_{12}\frac{(x - 7)^{7}}{x - 6}$

Короткое правило.

На ОДЗ переводим множитель перед логарифмом в степень аргумента, константу - в логарифм степени основания, а затем сокращаем только положительные выражения.

До решения.

x²−13x+42=(x−6)(x−7). Оба логарифмических аргумента положительны при x<6 или x>7.

Находим ОДЗ

$x \in ( - \infty;6) \cup (7; + \infty)$

На этих промежутках положительны и (x−6)(x−7), и (x−7)⁷/(x−6).
Переходим к аргументам

$((x - 6)(x - 7))^{7} \leq 12^{8}\frac{(x - 7)^{7}}{x - 6}$

Основание 12>1, а 8=log₁₂(12⁸).
Делим на положительный аргумент

$(x - 6)^{8} \leq 12^{8}$

На ОДЗ дробь (x−7)⁷/(x−6) положительна, поэтому знак не меняется.
Извлекаем корень чётной степени

$|x - 6| \leq 12\quad \Rightarrow \quad - 6 \leq x \leq 18$

Для восьмой степени получаем двойное ограничение по модулю.
Пересекаем с ОДЗ

$x \in \left\lbrack - 6;6) \cup (7;18 \right\rbrack$

Точки 6 и 7 исключены аргументами логарифмов.

Проверка. Границы −6 и 18 дают равенство; точки 6 и 7 недопустимы.

Типичная ошибка. Сократить (x−7)⁷ до записи ОДЗ или включить точки 6 и 7 из-за нестрогого знака.

Ответ.

$x \in \left\lbrack - 6;6) \cup (7;18 \right\rbrack$

08. Основные формулы

$a < b,\ c < 0\quad \Rightarrow \quad ac > bc$

$\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0:\quad P(x) = 0\ \text{можно включить},\ Q(x) = 0\ \text{нельзя}$

$(x - a)^{2k}\ \text{не меняет знак в точке }a$

$a^{u} < a^{v} \Leftrightarrow u < v\quad(a > 1)$

09. Вопросы по теме

Включать ли нули знаменателя при нестрогом знаке?

Нет. В этих точках дробь не определена. Нестрогий знак разрешает равенство нулю, но не деление на ноль.

Почему знак иногда не меняется при переходе через корень?

Множитель чётной степени имеет один и тот же знак с обеих сторон своего нуля. Учитывайте кратность, а не чередуйте знаки автоматически.

10. Практика по теме

Проверьте понимание правил на отдельной странице: 40 заданий с ответами и решениями. Начните с первого уровня; к следующему переходите, когда можете объяснить каждый шаг.

Для повторения: тригонометрические уравнения.