Урок 9. Тестовые задания (40 вопросов)

09.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

В тесте 40 заданий: 34 по неравенствам, системам и методу интервалов, 6 на повторение уравнений и алгебраических дробей. Задания 1-20 составляют начальный уровень, 21-35 средний, 36-40 сложный. Перед проверкой отметьте запрещённые значения и решите, входят ли граничные точки в ответ.

Изучить теорию и разобранные примеры Скачать задания в PDF Скачать ответы и решения в PDF

В общих тригонометрических решениях параметр $n\in\mathbb Z$ , то есть принимает все целые значения. Углы записываются в радианах.

Содержание теста

Начальный уровень - задания 1-20
Средний уровень - задания 21-35
Сложный уровень - задания 36-40
Как продолжить после теста

01. Начальный уровень - задания 1-20

Задание 1. Начальный. Линейное неравенство

Решите неравенство.

$x + 3 > 7$

Ответ и решение к заданию 1

$x > 4$

Ответ: $x > 4$

Задание 2. Начальный. Отрицательный коэффициент

Решите неравенство.

$5 - 2x \leq 1$

Ответ и решение к заданию 2

$- 2x \leq - 4$

Делим на −2 и меняем знак.

$x \geq 2$

Ответ: $x \geq 2$

Задание 3. Начальный. Перенос слагаемого

Решите неравенство.

$3x - 6 < 0$

Ответ и решение к заданию 3

$3x < 6$

$x < 2$

Ответ: $x < 2$

Задание 4. Начальный. Отрицательный коэффициент

Решите неравенство.

$- 4x > 12$

Ответ и решение к заданию 4

При делении на −4 меняем знак.

$x < - 3$

Ответ: $x < - 3$

Задание 5. Начальный. Дробный коэффициент

Решите неравенство.

$\frac{x}{3} + 2 \geq 5$

Ответ и решение к заданию 5

$\frac{x}{3} \geq 3$

$x \geq 9$

Ответ: $x \geq 9$

Задание 6. Начальный. Разность квадратов

Решите неравенство.

$x^{2} - 9 > 0$

Ответ и решение к заданию 6

$(x - 3)(x + 3) > 0$

Произведение положительно вне корней.

$x < - 3\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x > 3$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

Задание 7. Начальный. Между корнями

Решите неравенство.

$x^{2} - 9 < 0$

Ответ и решение к заданию 7

$(x - 3)(x + 3) < 0$

Произведение отрицательно между корнями.

$- 3 < x < 3$

Ответ: $x \in ( - 3;3)$

Задание 8. Начальный. Знак произведения

Решите неравенство.

$(x - 1)(x + 4) > 0$

Ответ и решение к заданию 8

Корни −4 и 1; положительные интервалы находятся снаружи.

$x < - 4\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x > 1$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$

Задание 9. Начальный. Знак произведения

Решите неравенство.

$(x - 2)(x + 3) < 0$

Ответ и решение к заданию 9

Корни −3 и 2; отрицательный знак между ними.

$- 3 < x < 2$

Ответ: $x \in ( - 3;2)$

Задание 10. Начальный. Квадрат неотрицателен

Решите неравенство.

$(x - 5)^{2} \geq 0$

Ответ и решение к заданию 10

Квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: все действительные числа

Задание 11. Начальный. Квадрат отрицателен

Решите неравенство.

$(x + 2)^{2} < 0$

Ответ и решение к заданию 11

Квадрат не может быть отрицательным.

Ответ: решений нет

Задание 12. Начальный. Знак простой дроби

Решите неравенство.

$\frac{1}{x - 3} > 0$

Ответ и решение к заданию 12

$x \neq 3$

Числитель положителен, поэтому знаменатель должен быть положителен.

$x > 3$

Ответ: $x > 3$

Задание 13. Начальный. Отрицательная дробь

Решите неравенство.

$\frac{1}{x + 1} < 0$

Ответ и решение к заданию 13

$x \neq - 1$

Дробь отрицательна при отрицательном знаменателе.

$x < - 1$

Ответ: $x < - 1$

Задание 14. Начальный. Чтение числовой прямой

Запишите множество, изображённое на рисунке.

Числовой луч направлен влево; его правая граница 2 закрашена — Рисунок к заданию.

Ответ и решение к заданию 14

Луч направлен влево, точка 2 закрашена, значит 2 входит в ответ.

Ответ: x ≤ 2

Задание 15. Начальный. Тип скобки

Какая скобка ставится у конечной границы 4 в ответе x < 4?

Ответ и решение к заданию 15

Строгое неравенство не включает границу, поэтому используется круглая скобка.

Ответ: круглая

Задание 16. Начальный. Система неравенств

Решите систему.

$\{\begin{matrix} x > 1 \\ x \leq 4 \end{matrix}$

Ответ и решение к заданию 16

Пересекаем лучи x > 1 и x ≤ 4.

$x \in (1;4\rbrack$

Ответ: $x \in (1;4\rbrack$

Задание 17. Начальный. Совокупность

Запишите множество решений.

$x < - 2\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x \geq 3$

Ответ и решение к заданию 17

Слово «или» означает объединение двух лучей.

$x \in ( - \infty; - 2) \cup \lbrack 3; + \infty)$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 2) \cup \lbrack 3; + \infty)$

Повторение: уравнения

Задание 18. Начальный. Корни синуса

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\sin x = 0$

Ответ и решение к заданию 18

$x = \pi n$

$x = 0,\mspace{6mu}\pi,\mspace{6mu} 2\pi$

Ответ: $x \in \{ 0;\pi;2\pi\}$

Задание 19. Начальный. Показательное уравнение

Решите уравнение.

$2^{x} = 8$

Ответ и решение к заданию 19

$8 = 2^{3}$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

Задание 20. Начальный. Иррациональное уравнение

Решите уравнение.

$\sqrt{x + 6} = x$

Ответ и решение к заданию 20

$x \geq 0$

$x + 6 = x^{2}$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

Подходит только 3.

Ответ: $x = 3$

02. Средний уровень - задания 21-35

Задание 21. Средний. Квадратный трёхчлен

Решите неравенство.

$x^{2} - 5x + 6 > 0$

Ответ и решение к заданию 21

$(x - 2)(x - 3) > 0$

Положительный знак вне корней.

$x < 2\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x > 3$

Ответ: $x \in ( - \infty;2) \cup (3; + \infty)$

Задание 22. Средний. Неположительный трёхчлен

Решите неравенство.

$x^{2} - 5x + 6 \leq 0$

Ответ и решение к заданию 22

$(x - 2)(x - 3) \leq 0$

Отрицательный или нулевой знак между корнями, нули включаем.

$x \in \lbrack 2;3\rbrack$

Ответ: $x \in \lbrack 2;3\rbrack$

Задание 23. Средний. Общий множитель

Решите неравенство.

$x(x - 4) \geq 0$

Ответ и решение к заданию 23

Корни 0 и 4; положительный знак снаружи, корни включаем.

$x \leq 0\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x \geq 4$

Ответ: $x \in \left( - \infty;0\rbrack \cup \lbrack 4; + \infty \right)$

Задание 24. Средний. Три множителя

Решите неравенство.

$(x - 1)(x + 2)(x - 5) < 0$

Ответ и решение к заданию 24

Критические точки −2, 1, 5. Проверяем знак на каждом интервале.

$x \in ( - \infty; - 2) \cup (1;5)$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 2) \cup (1;5)$

Задание 25. Средний. Рациональное неравенство

Решите неравенство методом интервалов.

$\frac{x - 3}{x + 1} > 0$

Ответ и решение к заданию 25

$x \neq - 1$

Критические точки −1 и 3. Дробь положительна на внешних интервалах.

$x \in ( - \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$

Задание 26. Средний. Неположительная дробь

Решите неравенство.

$\frac{x + 2}{x - 4} \leq 0$

Ответ и решение к заданию 26

$x \neq 4$

Ноль числителя −2 включаем, ноль знаменателя 4 исключаем.

$x \in \lbrack - 2;4)$

Ответ: $x \in \lbrack - 2;4)$

Задание 27. Средний. Три критические точки

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} - 4}{x - 1} \geq 0$

Ответ и решение к заданию 27

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 1} \geq 0$

$x \neq 1$

По таблице знаков подходят [−2; 1) и [2; +∞).

Ответ: $x \in \lbrack - 2;1) \cup \lbrack 2; + \infty)$

Задание 28. Средний. Знак знаменателя

Решите неравенство.

$\frac{1}{x^{2} - 9} < 0$

Ответ и решение к заданию 28

$x \neq \pm 3$

Числитель положителен, дробь отрицательна при x² − 9 < 0.

$- 3 < x < 3$

Ответ: $x \in ( - 3;3)$

Задание 29. Средний. Кратный корень

Решите неравенство.

$(x - 1)^{2}(x + 3) > 0$

Ответ и решение к заданию 29

Квадрат не меняет знак в точке 1, но в ней выражение равно нулю и не входит при строгом знаке.

$x \in ( - 3;1) \cup (1; + \infty)$

Ответ: $x \in ( - 3;1) \cup (1; + \infty)$

Задание 30. Средний. Пересечение условий

Решите систему.

$\{\begin{matrix} x^{2} < 9 \\ x \geq 0 \end{matrix}$

Ответ и решение к заданию 30

$- 3 < x < 3$

Пересекаем с x ≥ 0.

$x \in \lbrack 0;3)$

Ответ: $x \in \lbrack 0;3)$

Задание 31. Средний. Двойное неравенство

Решите двойное неравенство.

$2x - 1 \leq x + 4 < 3x + 2$

Ответ и решение к заданию 31

$2x - 1 \leq x + 4 \Rightarrow x \leq 5$

$x + 4 < 3x + 2 \Rightarrow x > 1$

$x \in (1;5\rbrack$

Ответ: $x \in (1;5\rbrack$

Задание 32. Средний. Модуль

Решите неравенство.

$|x| < 4$

Ответ и решение к заданию 32

Расстояние от x до нуля меньше 4.

$- 4 < x < 4$

Ответ: $x \in ( - 4;4)$

Повторение: уравнения и алгебраические дроби

Задание 33. Средний. Логарифмическое уравнение

Решите уравнение.

$\log_{3}(x - 1) = 2$

Ответ и решение к заданию 33

$x > 1$

$x - 1 = 9$

$x = 10$

Ответ: $x = 10$

Задание 34. Средний. Косинус на обороте

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\cos x = - \frac{1}{2}$

Ответ и решение к заданию 34

Косинус отрицателен во II и III четвертях.

$x = \frac{2\pi}{3},\mspace{6mu}\frac{4\pi}{3}$

Ответ: $x \in \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}$

Задание 35. Средний. Алгебраическая дробь

Упростите выражение при x ≠ 3.

$\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

Ответ и решение к заданию 35

$x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$

Ответ: $x + 3$

03. Сложный уровень - задания 36-40

Задание 36. Повышенный. Три критические точки

Решите неравенство.

$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 4} \leq 0$

Ответ и решение к заданию 36

$x \neq 4$

Критические точки −1, 2 и 4. По знакам подходят первый и третий интервалы.

$x \in \left( - \infty; - 1\rbrack \cup \lbrack 2;4 \right)$

Ответ: $x \in \left( - \infty; - 1\rbrack \cup \lbrack 2;4 \right)$

Задание 37. Повышенный. Четыре критические точки

Решите неравенство.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4} > 0$

Ответ и решение к заданию 37

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} > 0$

Точки ±2 исключены; точки ±1 не входят при строгом знаке.

$x \in ( - \infty; - 2) \cup ( - 1;1) \cup (2; + \infty)$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 2) \cup ( - 1;1) \cup (2; + \infty)$

Задание 38. Повышенный. Кратный корень в числителе

Решите неравенство.

$\frac{(x - 1)^{2}}{x + 2} \geq 0$

Ответ и решение к заданию 38

$x \neq - 2$

Числитель неотрицателен и равен нулю при x = 1. Знак дроби определяется знаменателем.

$x > - 2$

Ответ: $x \in ( - 2; + \infty)$

Задание 39. Повышенный. Система интервалов

Решите систему.

$\{\begin{matrix} (x - 3)(x + 1) \leq 0 \\ x^{2} > 1 \end{matrix}$

Ответ и решение к заданию 39

$- 1 \leq x \leq 3$

$x < - 1\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x > 1$

Пересечение множеств даёт (1; 3].

Ответ: $x \in (1;3\rbrack$

Задание 40. Повышенный. Неравенство с корнем

Решите неравенство.

$\sqrt{x - 1} \leq 3$

Ответ и решение к заданию 40

$x \geq 1$

$x - 1 \leq 9$

$x \leq 10$

$x \in \lbrack 1;10\rbrack$

Ответ: $x \in \lbrack 1;10\rbrack$

04. Как продолжить после теста

Если ответ не совпал, определите первый шаг, на котором возникло расхождение. Повторите соответствующее правило в теории, затем решите задание ещё раз без подсказки.

Вернуться к теории урока