Урок 7. Показательные и логарифмические уравнения

01. Степени: правила, необходимые для уравнений

В показательном уравнении неизвестное находится в показателе степени. Запись $2^x=8$ спрашивает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8. Ответ $x=3$, поскольку $2\cdot2\cdot2=8$. Деление 8 на 2 не решает этот вопрос.

При положительном основании действуют правила $a^u\cdot a^v=a^{u+v}$, $\frac{a^u}{a^v}=a^{u-v}$, $(a^u)^v=a^{uv}$. Также $a^0=1$ и $a^{-u}=\frac{1}{a^u}$. Например, $\frac1{27}=3^{-3}$, а $9^{x-1}=3^{2x-2}$.

Почему основания ограничены. Для показательной функции рассматривают $a>0$ и $a\ne1$. При $a=1$ все значения $1^x$ равны 1, и приравнивать показатели нельзя. Положительное основание позволяет определять степень для любого действительного показателя.

02. Приведение к одному основанию

Если $a>0$, $a\ne1$, то из $a^u=a^v$ следует $u=v$. При $a>1$ функция строго возрастает, а при $0<a<1$ строго убывает; в обоих случаях одинаковому значению соответствует только один показатель.

В уравнении $8^x=4$ обе части удобно представить степенями двойки: $2^{3x}=2^2$, откуда $3x=2$ и $x=\frac23$. Разные исходные основания не означают, что показатели можно приравнять сразу.

Замена переменной

Выражения $a^{2x}$ и $a^x$ связаны как квадрат и само число: $a^{2x}=(a^x)^2$. Поэтому можно ввести $t=a^x$, обязательно указав $t>0$. Полученное квадратное уравнение решают относительно $t$, после чего возвращаются к $x$.

Например, $4^x-3\cdot2^x+2=0$ превращается в $t^2-3t+2=0$. Получаем $t=1$ или $t=2$, а значит, $x=0$ или $x=1$. Отрицательный корень по $t$, если бы он появился, следовало бы отбросить: положительная степень основания не бывает отрицательной.

03. Что такое логарифм

Равенство $\log_a b=c$ означает $a^c=b$. Здесь $a>0$, $a\ne1$ и $b>0$. Например, $\log_5 25=2$, $\log_{10}0{,}001=-3$ и $\log_7 1=0$.

Логарифм может быть отрицательным или нулевым. Положительным обязан быть его аргумент, а не значение логарифма. В уравнении $\log_2 x=-1$ получаем допустимый ответ $x=\frac12$.

Как записать ОДЗ

Для $\log_3(x-5)$ нужно $x-5>0$, то есть $x>5$. Если логарифмов несколько, условия выполняются одновременно. Для $\log_2(x-1)+\log_2(7-x)$ получаем $1<x<7$.

Если неизвестное стоит в основании, ограничения добавляются и к нему. Выражение $\log_x 5$ требует $x>0$, $x\ne1$. В текущих задачах основания постоянны, но смысл ограничений полезно понимать заранее.

04. Свойства логарифмов и их ограничения

При допустимом основании и положительных $u$, $v$:

• $\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$;
• $\log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv$;
• $\log_a(u^r)=r\log_a u$ для $u>0$.

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения, а не суммы аргументов. Например, $\log_2 4+\log_2 8=\log_2 32=5$. Запись $\log_2(4+8)$ дала бы другое число.

Особый случай. При $x\ne0$ верно $\log_a(x^2)=2\log_a|x|$. Запись $2\log_a x$ сужает область до $x>0$ и может потерять отрицательный корень. Поэтому $\log_3(x^2)=2$ удобно решать как $x^2=9$: подходят и 3, и −3.

05. Как решать логарифмическое уравнение

1. Запишите ОДЗ исходной записи.
2. Если возможно, объедините логарифмы по их свойствам.
3. Используйте определение логарифма или равенство аргументов при одинаковом основании.
4. Решите полученное алгебраическое уравнение.
5. Проверьте найденные значения по ОДЗ и исходному равенству.

В уравнении $\log_2(x-1)=\log_2(7-x)$ сначала получаем $1<x<7$, затем $x-1=7-x$, откуда $x=4$. Оба аргумента при этом равны 3 и положительны.

Проверять только произведение аргументов после объединения недостаточно: оно может быть положительным и при двух отрицательных множителях. Исходные логарифмы тогда не определены. Именно поэтому ОДЗ записывается до преобразований.

Как понять, что ответ правдоподобен

При основании больше 1 положительный логарифм соответствует аргументу больше 1, отрицательный - аргументу между 0 и 1. Для основания между 0 и 1 соотношение обратное. Самая надёжная короткая проверка - восстановить степенное равенство по определению логарифма.

06. Примеры с пошаговыми решениями

07. Основные формулы

$$a^{u} = a^{v}\quad \Leftrightarrow \quad u = v,\quad\quad a > 0,\ a \neq 1$$

$$\log_{a}b = c\quad \Leftrightarrow \quad a^{c} = b$$

$$\log_{a}(uv) = \log_{a}u + \log_{a}v$$

$$\log_{a}\frac{u}{v} = \log_{a}u - \log_{a}v$$

08. Вопросы по теме

Может ли логарифм быть отрицательным?

Да. Например, логарифм 0,01 по основанию 10 равен −2. Положительным должен быть аргумент логарифма, а не его значение.

Зачем нужна ОДЗ до объединения логарифмов?

Положительное произведение аргументов может получиться из двух отрицательных множителей. Логарифм произведения тогда существует, но исходные логарифмы - нет.

09. Практика по теме

Проверьте понимание правил на отдельной странице: 40 заданий с ответами и решениями. Начните с первого уровня; к следующему переходите, когда можете объяснить каждый шаг.

Для повторения: рациональные и иррациональные уравнения.

Следующая тема: тригонометрические уравнения.