Урок 8. Тестовые задания (40 вопросов)

09.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

В тесте 40 заданий: 35 по тригонометрии и отбору корней, 5 на повторение степеней, логарифмов и уравнений с корнями. Задания 1-20 относятся к начальному уровню, 21-35 к среднему, 36-40 к сложному. Следите, требуется общее решение или только корни из указанного промежутка. Ответ и разбор открываются под каждым заданием.

Изучить теорию и разобранные примеры Скачать задания в PDF Скачать ответы и решения в PDF

В общих тригонометрических решениях параметр $n\in\mathbb Z$ , то есть принимает все целые значения. Углы записываются в радианах.

Содержание теста

Начальный уровень - задания 1-20
Средний уровень - задания 21-35
Сложный уровень - задания 36-40
Как продолжить после теста

01. Начальный уровень - задания 1-20

Задание 1. Начальный. Нули синуса

Решите уравнение.

$\sin x = 0$

Ответ и решение к заданию 1

Синус равен нулю на горизонтальной оси.

$x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n,\mspace{6mu} n \in \mathbb{Z}$

Задание 2. Начальный. Максимум косинуса

Решите уравнение.

$\cos x = 1$

Ответ и решение к заданию 2

Косинус равен 1 в точке (1; 0) через каждый полный оборот.

$x = 2\pi n$

Ответ: $x = 2\pi n,\mspace{6mu} n \in \mathbb{Z}$

Задание 3. Начальный. Нули косинуса

Решите уравнение.

$\cos x = 0$

Ответ и решение к заданию 3

Косинус равен нулю на вертикальной оси.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Задание 4. Начальный. Максимум синуса

Решите уравнение.

$\sin x = 1$

Ответ и решение к заданию 4

Синус равен 1 в верхней точке окружности.

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Задание 5. Начальный. Минимум синуса

Решите уравнение.

$\sin x = - 1$

Ответ и решение к заданию 5

Синус равен −1 в нижней точке окружности.

$x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Задание 6. Начальный. Нули тангенса

Решите уравнение.

$\tan x = 0$

Ответ и решение к заданию 6

Тангенс равен нулю, когда sin x = 0 и cos x ≠ 0.

$x = \pi n$

Ответ: $x = \pi n$

Задание 7. Начальный. Табличный тангенс

Решите уравнение.

$\tan x = 1$

Ответ и решение к заданию 7

$\tan\frac{\pi}{4} = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Задание 8. Начальный. Минимум косинуса

Решите уравнение.

$\cos x = - 1$

Ответ и решение к заданию 8

Косинус равен −1 в левой точке окружности.

$x = \pi + 2\pi n$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n$

Задание 9. Начальный. Синус на одном обороте

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\sin x = \frac{1}{2}$

Иллюстрация к условию задания — Рисунок к заданию.

Ответ и решение к заданию 9

Горизонталь y = 1/2 пересекает окружность в I и II четвертях.

$x = \frac{\pi}{6}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{5\pi}{6}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\}$

Задание 10. Начальный. Косинус на одном обороте

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\cos x = \frac{1}{2}$

Ответ и решение к заданию 10

Вертикаль x = 1/2 пересекает окружность в I и IV четвертях.

$x = \frac{\pi}{3}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{5\pi}{3}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\}$

Задание 11. Начальный. Отрицательный синус

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ и решение к заданию 11

Синус отрицателен в III и IV четвертях; опорный угол π/4.

$x = \frac{5\pi}{4}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $x \in \{\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\}$

Задание 12. Начальный. Отрицательный косинус

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ и решение к заданию 12

Косинус отрицателен во II и III четвертях; опорный угол π/6.

$x = \frac{5\pi}{6}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{7\pi}{6}$

Ответ: $x \in \{\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\}$

Задание 13. Начальный. Отрицательный тангенс

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\tan x = - 1$

Ответ и решение к заданию 13

Тангенс отрицателен во II и IV четвертях.

$x = \frac{3\pi}{4}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $x \in \{\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\}$

Задание 14. Начальный. Знак синуса

В каких четвертях синус положителен?

Ответ и решение к заданию 14

Синус - вертикальная координата. Выше горизонтальной оси она положительна: I и II четверти.

Ответ: I и II

Повторение: степени и логарифмы

Задание 15. Начальный. Логарифм

Вычислите.

$\log_{2}16$

Ответ и решение к заданию 15

$2^{4} = 16$

Ответ: $4$

Задание 16. Начальный. Показательное уравнение

Решите уравнение.

$2^{x} = 8$

Ответ и решение к заданию 16

$8 = 2^{3}$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

Задание 17. Начальный. Основное тождество

Заполните пропуск.

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = ▫$

Ответ и решение к заданию 17

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$

Ответ: 1

Задание 18. Начальный. Приведение к синусу

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$2\sin x = 1$

Ответ и решение к заданию 18

$\sin x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{6}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{5\pi}{6}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\}$

Задание 19. Начальный. Приведение к косинусу

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$2\cos x = \sqrt{2}$

Ответ и решение к заданию 19

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{\pi}{4}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\}$

Задание 20. Начальный. Область тангенса

Закончите правило: тангенс не определён, когда ...

Ответ и решение к заданию 20

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: cos x = 0

02. Средний уровень - задания 21-35

Задание 21. Средний. Синус: две точки

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ и решение к заданию 21

Опорный угол π/3, синус положителен в I и II четвертях.

$x = \frac{\pi}{3}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\}$

Задание 22. Средний. Косинус: две точки

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\cos x = - \frac{1}{2}$

Ответ и решение к заданию 22

Опорный угол π/3, косинус отрицателен во II и III четвертях.

$x = \frac{2\pi}{3}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $x \in \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}$

Задание 23. Средний. Общее решение тангенса

Решите уравнение.

$\tan x = \sqrt{3}$

Ответ и решение к заданию 23

$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Задание 24. Средний. Квадрат синуса

Решите уравнение.

$2\sin^{2}x - 1 = 0$

Ответ и решение к заданию 24

$\sin^{2}x = \frac{1}{2}$

$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Задание 25. Средний. Квадрат косинуса

Решите уравнение.

$2\cos^{2}x - 1 = 0$

Ответ и решение к заданию 25

$\cos^{2}x = \frac{1}{2}$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Задание 26. Средний. Произведение функций

Решите уравнение.

$\sin x\cos x = 0$

Ответ и решение к заданию 26

$\sin x = 0\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu}\cos x = 0$

$x = \pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$

Задание 27. Средний. Разложение на ветви

Решите уравнение.

$\sin x\left( 2\cos x - 1 \right) = 0$

Ответ и решение к заданию 27

$\sin x = 0\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu}\cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ: $x = \pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Задание 28. Средний. Двойной аргумент

Решите уравнение.

$\cos 2x = 1$

Ответ и решение к заданию 28

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n$

Ответ: $x = \pi n$

Задание 29. Средний. Двойной аргумент

Решите уравнение.

$\sin 2x = 0$

Ответ и решение к заданию 29

$2x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$

Задание 30. Средний. Сдвиг аргумента

Решите уравнение.

$\sin\left( x - \frac{\pi}{6} \right) = 0$

Ответ и решение к заданию 30

$x - \frac{\pi}{6} = \pi n$

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Задание 31. Средний. Отбор корней

Решите уравнение на промежутке [−π; π].

$\sin x = 0$

Ответ и решение к заданию 31

$x = \pi n$

В промежуток входят значения n = −1, 0, 1.

$x = - \pi,\mspace{6mu} 0,\mspace{6mu}\pi$

Ответ: $x \in \{ - \pi;0;\pi\}$

Задание 32. Средний. Отбор корней

Решите уравнение на промежутке [0; π].

$\cos x = \frac{1}{2}$

Ответ и решение к заданию 32

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

На [0; π] находится только π/3.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$

Повторение: показательные, логарифмические и иррациональные уравнения

Задание 33. Средний. Показательное уравнение

Решите уравнение.

$5^{x - 1} = 25$

Ответ и решение к заданию 33

$25 = 5^{2}$

$x - 1 = 2$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

Задание 34. Средний. Логарифмическое уравнение

Решите уравнение.

$\log_{2}(x - 1) = 3$

Ответ и решение к заданию 34

$x > 1$

$x - 1 = 8$

$x = 9$

Ответ: $x = 9$

Задание 35. Средний. Иррациональное уравнение

Решите уравнение.

$\sqrt{x + 1} = x - 1$

Ответ и решение к заданию 35

$x \geq 1$

$x + 1 = (x - 1)^{2}$

$x(x - 3) = 0$

Подходит только x = 3.

Ответ: $x = 3$

03. Сложный уровень - задания 36-40

Задание 36. Повышенный. Квадрат синуса

Решите уравнение.

$\sin^{2}x = \frac{3}{4}$

Ответ и решение к заданию 36

$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Задание 37. Повышенный. Квадратное относительно косинуса

Решите уравнение.

$2\cos^{2}x - 3\cos x + 1 = 0$

Ответ и решение к заданию 37

$\left( 2\cos x - 1 \right)\left( \cos x - 1 \right) = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu}\cos x = 1$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = 2\pi n$

Ответ: $x = 2\pi n\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Задание 38. Повышенный. Формула двойного угла

Решите уравнение.

$2\sin x\cos x = 1$

Ответ и решение к заданию 38

$\sin 2x = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Задание 39. Повышенный. Однородное уравнение

Решите уравнение.

$\sin x + \cos x = 0$

Ответ и решение к заданию 39

При cos x = 0 исходное уравнение не выполняется, поэтому можно разделить на cos x.

$\tan x + 1 = 0$

$x = - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ: $x = - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Задание 40. Повышенный. Отбор после замены

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$2\sin^{2}x + \sin x - 1 = 0$

Ответ и решение к заданию 40

$\left( 2\sin x - 1 \right)\left( \sin x + 1 \right) = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu}\sin x = - 1$

$x = \frac{\pi}{6},\mspace{6mu}\frac{5\pi}{6},\mspace{6mu}\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6};\frac{3\pi}{2}\}$

04. Как продолжить после теста

Если ответ не совпал, определите первый шаг, на котором возникло расхождение. Повторите соответствующее правило в теории, затем решите задание ещё раз без подсказки.

Вернуться к теории урока