Урок 29. Тестовые задания (40 вопросов)

1. Два нечётных числа дают чётную сумму; прибавление 48 сохраняет чётность.

Ответ

чётное

1. $47 = 5 \cdot 9 + 2$ .

Ответ

2

1. $3^{2} \equiv 1\ (mod\ 4)$ , поэтому $3^{20} = \left( 3^{2} \right)^{10} \equiv 1$ .

Ответ

1

1. Одно из двух последовательных чисел чётно, другое нечётно; их сумма нечётна.

Ответ

доказано

1. $10 \equiv 1\ (mod\ 9)$ , значит $10^{6} + 7 \equiv 1 + 7 = 8$ .

Ответ

8

1. Произведение нечётных множителей остаётся нечётным.

Ответ

Нет

1. $2 \equiv - 1\ (mod\ 3)$ , чётная степень даёт остаток 1.

Ответ

1

1. Если n чётно, квадрат чётен; если n нечётно, квадрат нечётен.

Ответ

доказано

1. Проверяем остатки $0,1,2,3$ ; квадраты дают только $0$ и $1$ .

Ответ

0 или 1

1. $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ , $126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ ; общий множитель $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ .

Ответ

42

1. Одно из них обязательно чётно.

Ответ

доказано

1. $7^{2} = 49$ , $7^{4} = 49^{2}$ оканчивается цифрой 1.

Ответ

1

1. Заметим, что $2026 = 2025 + 1$ .

2. Число $2025$ является квадратом: $2025 = 45^{2}$ .

3. Поэтому $2026 = 45^{2} + 1^{2}$ , то есть требуемые целые числа существуют.

Ответ

да, например 45 и 1

1. Квадрат целого числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1.

2. Поэтому сумма двух квадратов по модулю 4 может быть сравнима только с 0, 1 или 2.

3. Но $2027 \equiv 3\ (mod\ 4)$ .

4. Следовательно, представить 2027 как сумму двух квадратов целых чисел нельзя.

Ответ

нет

1. Предположим, что $a^{2} - b^{2} = 2026$ .

2. Тогда $(a - b)(a + b) = 2026$ ; множители $a - b$ и $a + b$ имеют одинаковую чётность.

3. Их произведение чётно, значит оба множителя должны быть чётными.

4. Тогда произведение делится на 4, однако 2026 на 4 не делится.

5. Получено противоречие.

Ответ

нет

1. Числа $n - 1$ , $n$ и $n + 1$ последовательны, поэтому их произведение делится на 2 и на 3.

2. Имеем $n^{5} - n = n(n - 1)(n + 1)\left( n^{2} + 1 \right)$ , значит выражение делится на 6.

3. По модулю 5 любой остаток $r \in \{ 0,1,2,3,4\}$ удовлетворяет $r^{5} \equiv r\ (mod\ 5)$ .

4. Следовательно, $n^{5} - n$ делится и на 5.

5. Числа 6 и 5 взаимно просты, поэтому выражение делится на 30.

Ответ

делится при любом целом n

1. Сумма остатков перед начислениями равна $1000 \cdot \frac{5 + 1}{2} = 3000$ тыс. рублей.

2. Сумма процентов равна $0,12 \cdot 3000 = 360$ тыс. рублей.

3. Вместе с основным долгом будет выплачено $1000 + 360 = 1360$ тыс. рублей.

Ответ

1 360 тыс. рублей

1. На первом этапе долг уменьшается на $\frac{1200 - 300}{3} = 300$ тыс. рублей в год, на втором - на $\frac{300}{2} = 150$ тыс. рублей.

2. Остатки перед начислениями равны 1 200, 900, 600, 300 и 150 тыс. рублей.

3. Проценты составят $0,1 \cdot (1200 + 900 + 600 + 300 + 150) = 315$ тыс. рублей.

4. Общая сумма выплат равна $1200 + 315 = 1515$ тыс. рублей.

Ответ

1 515 тыс. рублей

1. ОДЗ: $x > 1$ .

2. Так как основание $2$ больше единицы, знак неравенства сохраняется: $x - 1 \geq 2^{3}$ .

3. С учётом ОДЗ получаем $\lbrack 9; + \infty)$ .

Ответ

$$\lbrack 9; + \infty)$$

1. Положим $t = 2^{x} > 0$ . Получаем $t^{2} - 5t + 4 = 0$ .

2. Корни квадратного уравнения: $t = 1$ и $t = 4$ .

3. Следовательно, $x = 0$ или $x = 2$ .

4. Условию пункта б удовлетворяет только $x = 0$ .

Ответ

а) $0;2$ .

б)

0

1. По модулю 2 имеем $n^{3} + 5n \equiv n + n = 2n \equiv 0\ (mod\ 2)$ .

2. По модулю 3 выполняется $n^{3} \equiv n$ , поэтому $n^{3} + 5n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0\ (mod\ 3)$ .

3. Выражение делится одновременно на 2 и на 3.

4. Так как 2 и 3 взаимно просты, оно делится на 6.

Ответ

делится при любом целом n

1. Проверим пять возможных остатков числа n при делении на 5.

2. При $n \equiv 0,1,2,3,4\ (mod\ 5)$ выражение даёт соответственно остатки $4,1,0,1,4$ .

3. Нулевой остаток получается только при остатке n, равном 2.

4. Следовательно, подходят и только подходят числа $n \equiv 2\ (mod\ 5)$ .

Ответ

$$n \equiv 2\ (mod\ 5)$$

1. Остатки степеней 3 по модулю 5 повторяются циклом $3,4,2,1$ .

2. Так как $4 \equiv - 1\ (mod\ 5)$ , остатки $4^{n}$ равны 4 при нечётном n и 1 при чётном n.

3. Для n с остатками 1, 2, 3, 0 по модулю 4 суммы дают остатки 2, 0, 1, 2.

4. Делимость на 5 возникает ровно при $n \equiv 2\ (mod\ 4)$ .

Ответ

$$n \equiv 2\ (mod\ 4)$$

1. При $n = 1$ получаем $2^{1} \equiv 2\ (mod\ 7)$ .

2. При $n = 2$ получаем $2^{2} \equiv 4\ (mod\ 7)$ .

3. При $n = 3$ получаем $2^{3} = 8 \equiv 1\ (mod\ 7)$ .

4. Первые два значения не подходят, поэтому найденное значение минимально.

Ответ

3

1. Любое нечётное число имеет вид 2k+1.

2. Его квадрат равен $4k(k + 1) + 1$ ; произведение $k(k + 1)$ чётно.

3. Поэтому квадрат каждого нечётного числа сравним с 1 по модулю 8.

4. Сумма четырёх таких квадратов сравнима с $4\ (mod\ 8)$ и на 8 не делится.

Ответ

нет

1. Преобразуем выражение: $n^{2} + 2n + 5 = (n + 1)^{2} + 4$ .

2. Для делимости на 8 необходимо $(n + 1)^{2} \equiv 4\ (mod\ 8)$ .

3. Квадрат даёт остаток 4 по модулю 8 тогда и только тогда, когда число сравнимо с 2 по модулю 4.

4. Значит, $n + 1 \equiv 2\ (mod\ 4)$ , то есть $n \equiv 1\ (mod\ 4)$ .

Ответ

$$n \equiv 1\ (mod\ 4)$$

1. По модулю 9 число 10 сравнимо с 1: $10 \equiv 1\ (mod\ 9)$ .

2. Поэтому для любого натурального n выполняется $10^{n} \equiv 1^{n} \equiv 1\ (mod\ 9)$ .

3. Тогда $10^{n} + 8 \equiv 1 + 8 \equiv 0\ (mod\ 9)$ .

4. Следовательно, утверждение верно для каждого натурального n.

Ответ

делится при любом натуральном n

1. Разложим: $n^{3} - n = n(n - 1)(n + 1)$ .

2. Это произведение трёх последовательных целых чисел.

3. Среди них есть чётное число, поэтому произведение делится на 2.

4. Среди них есть число, кратное 3, поэтому произведение делится на 3.

5. Значит, произведение делится на 6.

Ответ

делится при любом целом n

1. Целое число при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2.

2. Квадраты этих остатков равны по модулю 3 соответственно $0,1,1$ .

3. Нулевой остаток квадрата возможен только при нулевом остатке самого числа.

4. Следовательно, из $3 \mid n^{2}$ следует $3 \mid n$ .

Ответ

утверждение доказано

1. Однозначное число 1 на 37 не делится.

2. Двузначное число 11 меньше 37 и также не делится на 37.

3. Трёхзначное число $111 = 3 \cdot 37$ .

4. Следовательно, 111 подходит и является наименьшим.

Ответ

111

1. Числа с остатком 3 при делении на 5 имеют вид $x = 3 + 5k$ .

2. Условие по модулю 3 даёт $3 + 5k \equiv 2k \equiv 2\ (mod\ 3)$ , поэтому $k \equiv 1\ (mod\ 3)$ .

3. Следовательно, $x = 8 + 15t$ .

4. В пределах от 1 до 50 получаем числа 8, 23 и 38.

5. Их сумма равна $8 + 23 + 38 = 69$ .

Ответ

8, 23, 38; сумма - 69.

1. Из двух последовательных чисел одно чётно, другое нечётно.

2. Квадрат чётного числа сравним с 0 по модулю 4.

3. Квадрат нечётного числа сравним с 1 по модулю 4.

4. Их сумма даёт остаток 1 при делении на 4, поэтому делимость невозможна.

Ответ

нет

1. Квадрат целого числа по модулю 8 может иметь остаток только 0, 1 или 4.

2. Возможные суммы двух таких остатков: 0, 1, 2, 4 и 5 по модулю 8.

3. Остаток 6 в этом списке отсутствует.

4. Следовательно, требуемая сумма невозможна.

Ответ

нет

1. Рассмотрим остатки n, равные 0, 1, 2 и 3 по модулю 4.

2. Выражение $n^{2} + n + 4$ даёт соответственно остатки $0,2,2,0$ .

3. Нулевой остаток получается в первом и четвёртом случаях.

4. Поэтому $n \equiv 0$ или $n \equiv 3\ (mod\ 4)$ .

Ответ

$n \equiv 0$ или $n \equiv 3\ (mod\ 4)$

1. Нечётная сумма означает, что одно из чисел чётно, а другое нечётно.

2. Квадрат чётного числа чётен, квадрат нечётного - нечётен.

3. Поэтому сумма квадратов имеет вид «чётное + нечётное» и нечётна.

4. В произведении присутствует чётный множитель, поэтому произведение чётно.

Ответ

утверждение доказано

1. Рассмотрим остаток меньшего числа n по модулю 4.

2. При $n \equiv 0,1,2,3\ (mod\ 4)$ произведение $n(n + 1)$ даёт остатки $0,2,2,0$ .

3. Остаток 1 не возникает ни в одном случае.

4. Следовательно, такое произведение невозможно.

Ответ

нет

1. Последняя цифра квадрата определяется только последней цифрой исходного числа.

2. Возведём в квадрат цифры от 0 до 9 и возьмём последние цифры результатов.

3. Получаем набор 0, 1, 4, 5, 6 и 9.

4. Других случаев нет, поскольку все возможные последние цифры уже проверены.

Ответ

0, 1, 4, 5, 6, 9

1. По модулю 27: $10^{1} \equiv 10$ , $10^{2} \equiv 19$ , $10^{3} \equiv 1$ .

2. После третьей степени остатки повторяются с периодом 3.

3. Делимость $10^{n} - 1$ на 27 равносильна сравнению $10^{n} \equiv 1\ (mod\ 27)$ .

4. Это выполняется ровно при $n \equiv 0\ (mod\ 3)$ .

Ответ

$$n \equiv 0\ (mod\ 3)$$

1. Квадрат целого числа по модулю 4 равен 0 для чётного числа и 1 для нечётного.

2. Если одно число нечётно, сумма квадратов даёт остаток 1 или 2 по модулю 4.

3. Поэтому нулевой остаток возможен только как сумма 0 и 0.

4. Значит, квадраты, а следовательно и оба исходных числа, чётны.

Ответ

утверждение доказано

1. Чётные слагаемые не меняют чётность суммы.

2. Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна, а чётного количества - чётна.

3. Поэтому число нечётных слагаемых должно быть чётным.

4. Среди пяти чисел возможны 0, 2 или 4 нечётных; все три случая реализуются.

Ответ

0, 2 или 4