Урок 13. Прикладные расчёты по формуле

09.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Теория

В задачах с формулами важно согласовать единицы, правильно подставить данные и выразить неизвестную величину. Разберём расчёты пути, энергии, давления, процентов и степенных зависимостей. Восемь примеров сопровождаются проверкой единиц и результата.

Скачать теорию в PDF Перейти к тесту: 40 заданий

Содержание урока

Формула как инструкция вычисления
Как выразить неизвестную величину
Перевод единиц
Проценты и повторяющиеся изменения
Ограничения и несколько ответов
Оценка и точность
Подробные объяснения и разобранные примеры
Опорные формулы
Практика по теме
Вопросы по теме
Самостоятельная работа

01. Формула как инструкция вычисления

Формула связывает величины: часть из них известна, одну нужно найти. Перед подстановкой выпишите, какая буква означает искомое, и прочитайте единицы каждого данного. Число 2,5 может означать часы, киловатты или сантиметры; одинаковая запись не делает величины взаимозаменяемыми.

Последовательность действий: согласовать единицы, заменить буквы числами, сохранить скобки, выполнить степени и корни, затем умножение, деление и оставшиеся действия. Например, в $mv^2/2$ квадрат относится только к скорости, а не ко всему произведению.

Главное правило. Числовой ответ имеет смысл вместе с единицами. Для сложения величины должны быть выражены в одинаковых единицах.

02. Как выразить неизвестную величину

К обеим частям равенства применяют одно и то же действие. Из $s=vt$ при $v\ne0$ получаем $t=s/v$ . Из $P=UI$ при $U\ne0$ следует $I=P/U$ . Условие ненулевого делителя нужно даже тогда, когда в числовом примере оно выполнено автоматически.

Если неизвестная находится в знаменателе, сначала умножают на него с учётом области допустимых значений. Из $R=\rho l/S$ при ненулевых $R$ и $S$ получается $S=\rho l/R$ . Проверка обратной подстановкой надёжнее механического «переноса буквы».

Квадрат создаёт два алгебраических кандидата. Но радиус и модуль скорости неотрицательны, поэтому из $S=\pi r^2$ для положительной площади берут $r=\sqrt{S/\pi}$ . В задаче о координате отрицательное значение, напротив, может быть допустимо: решение отбирают по смыслу искомой величины.

03. Перевод единиц

Переход	Действие	Почему
км/ч → м/с	Разделить на $3{,}6$	$1000/3600=1/3{,}6$
м/с → км/ч	Умножить на $3{,}6$	Обратное преобразование
кВт → Вт	Умножить на 1000	Приставка «кило»
см² → м²	Разделить на 10 000	Меняются две длины

В формуле кинетической энергии $E=mv^2/2$ джоули получаются при массе в килограммах и скорости в метрах в секунду. Если ответ нужен в км/ч, сначала найдите скорость в согласованных единицах, а затем переведите результат. Нельзя подставить километры в час и исправить только подпись ответа.

Перевод скорости: 72 км/ч = 72 · 1000 / 3600 м/с = 20 м/с.

04. Проценты и повторяющиеся изменения

Процент нужно перевести в долю: $10\%=0{,}1$ . При каждом увеличении на 10% текущая величина умножается на $1{,}1$ , при уменьшении - на $0{,}9$ . После $n$ одинаковых изменений коэффициент возводится в степень.

Если увеличение каждый год считается от первоначальной суммы, прибавка постоянна и используется $N=N_0(1+pn)$ . Если от текущей, используется $N=N_0(1+p)^n$ . Это разные модели. В заданиях урока встречаются обе; выбор определяется словами условия.

В модели $B=B_0\cdot2^{t/3}$ число $t/3$ обозначает количество периодов удвоения. При $t=6$ произошло два удвоения, а не шесть. Аналогично множитель $(1/2)^{t/3}$ описывает уменьшение вдвое за каждый период из трёх единиц времени.

05. Ограничения и несколько ответов

Фраза «не должна превышать» переводится знаком $\le$ . При положительном напряжении 220 В ограничение $P\le2200$ и формула $P=220I$ дают $I\le10$ . Если просят максимальный ток, в ответ идёт граничное значение 10 А.

Квадратная зависимость может давать два момента времени для одной высоты: один при подъёме, второй при спуске. Сохраните оба неотрицательных корня, если условие не ограничивает этап движения. При наличии ограничения на время проверьте каждый корень отдельно.

06. Оценка и точность

Сначала проверьте порядок величины. Если удвоить радиус, площадь круга вырастет в четыре раза, а длина окружности - в два. Если удвоить скорость, кинетическая энергия вырастет в четыре раза при неизменной массе. Эти проверки помогают заметить потерянный квадрат.

Используйте значение $\pi$ , прямо указанное в условии. Не округляйте дроби и корни раньше последнего действия. Если точность не задана, сохраняйте точное значение, а десятичное приближение подписывайте отдельно.

07. Подробные объяснения и разобранные примеры

Разбор 1. Прямая подстановка в формулу пути

УСЛОВИЕ

Автомобиль движется равномерно со скоростью 72 км/ч в течение 2,5 часа. Найдите путь.

$s = vt$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Если искомая величина уже стоит слева, подставляем согласованные данные и выполняем действия по порядку.

ДО РЕШЕНИЯ.

За 2 часа автомобиль проедет 144 км, ещё за полчаса - 36 км; ответ должен быть около 180 км.

Выписываем данные

$v = 72\ \text{км/ч},\quad\quad t = 2,5\ \text{ч}$

Скорость и время уже согласованы по часам.
Подставляем

$s = 72 \cdot 2,5$

Каждую букву заменяем её числом.
Вычисляем удобным способом

$72 \cdot 2,5 = 72 \cdot \frac{5}{2} = 36 \cdot 5 = 180$

Десятичную дробь заменяем обыкновенной.
Приписываем единицу

$s = 180\ \text{км}$

км/ч · ч = км.

Проверка. 180=144+36, что совпадает с предварительной оценкой.

Типичная ошибка. Делить скорость на время или оставить ответ без единицы.

ОТВЕТ. 180 км; в краткий ответ записывается число 180.

$180$

Разбор 2. Квадрат величины в формуле энергии

УСЛОВИЕ

Найдите кинетическую энергию тела массой 4 кг, движущегося со скоростью 3 м/с.

$E_{k} = \frac{mv^{2}}{2}$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Степень относится только к скорости v: сначала вычисляем v², затем умножаем на массу и делим на 2.

ДО РЕШЕНИЯ.

Все данные уже в СИ; перевод единиц не нужен.

Подставляем с обозначениями

$E_{k} = \frac{4 \cdot 3^{2}}{2}$

m=4, v=3.
Вычисляем квадрат

$3^{2} = 9$

Степень выполняется раньше умножения.
Завершаем расчёт

$E_{k} = \frac{4 \cdot 9}{2} = 18$

Можно сначала сократить 4/2 до 2.
Записываем единицу

$E_{k} = 18\ \text{Дж}$

Кинетическая энергия измеряется в джоулях.

Проверка. При удвоении скорости энергия выросла бы в 4 раза - формула действительно квадратичная по v.

Типичная ошибка. Возвести в квадрат всё произведение mv или заменить 3² на 6.

ОТВЕТ.

$18$

Разбор 3. Выражаем ускорение из второго закона Ньютона

УСЛОВИЕ

На тело массой 12 кг действует сила 84 Н. Найдите ускорение.

$F = ma$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Чтобы оставить a в одиночестве, делим обе части равенства на множитель m.

ДО РЕШЕНИЯ.

84 больше 12 в 7 раз, поэтому ожидаем ускорение 7 м/с².

Выражаем неизвестную

$a = \frac{F}{m}$

В исходной формуле a умножается на m.
Подставляем

$a = \frac{84}{12}$

Числитель - сила, знаменатель - масса.
Вычисляем

$a = 7$

12·7=84.
Проверяем формулой

$12 \cdot 7 = 84$

Обратная подстановка восстанавливает данную силу.

Проверка. Н·кг⁻¹ = м/с², единица согласована.

Типичная ошибка. Найти m/F вместо F/m.

ОТВЕТ. 7 м/с²; в краткий ответ записывается число 7.

$7$

Разбор 4. Перевод площади перед подстановкой

УСЛОВИЕ

Сила 500 Н действует равномерно на площадь 250 см². Найдите давление в паскалях.

$p = \frac{F}{S}$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Для паскалей площадь нужна в м². При переводе квадратных единиц коэффициент 100 тоже возводится в квадрат.

ДО РЕШЕНИЯ.

250 см² - это 0,025 м², а не 2,5 м² и не 0,25 м².

Переводим площадь

$250\ \text{см}^{2} = 250 \cdot 10^{- 4}\ \text{м}^{2} = 0,025\ \text{м}^{2}$

1 см²=10⁻⁴ м².
Подставляем

$p = \frac{500}{0,025}$

Теперь единицы соответствуют определению паскаля.
Убираем десятичный знаменатель

$p = \frac{500000}{25} = 20000$

Умножаем числитель и знаменатель на 1000.
Записываем единицу

$p = 20000\ \text{Па}$

1 Па=1 Н/м².

Проверка. Площадь мала, поэтому давление заметно больше 500 Па; порядок результата разумен.

Типичная ошибка. Использовать 250 в формуле с паскалями, не переведя см² в м².

ОТВЕТ.

$20000$

Разбор 5. Процент внутри степенной формулы

УСЛОВИЕ

На счёт внесли 50 000 рублей под 10% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет через 2 года?

$A = P\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{n}$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Процент r сначала переводим в долю r/100; скобку возводим в степень числа периодов.

ДО РЕШЕНИЯ.

Без капитализации прибавилось бы 10 000 рублей; с капитализацией итог немного больше 60 000.

Подставляем данные

$A = 50000\left( 1 + \frac{10}{100} \right)^{2}$

P=50000, r=10, n=2.
Упрощаем скобку

$1 + \frac{10}{100} = 1,1$

10%=0,1 от текущей суммы.
Возводим в квадрат

$1,1^{2} = 1,21$

Капитализация происходит дважды.
Вычисляем итог

$A = 50000 \cdot 1,21 = 60500$

Во второй год проценты начисляются и на проценты первого года.

Проверка. После первого года 55 000, после второго 60 500 - тот же результат.

Типичная ошибка. Подставить 10 вместо 0,1 или умножить исходную сумму на 20% без капитализации.

ОТВЕТ.

$60500$

Разбор 6. Логарифм в формуле работы газа

УСЛОВИЕ

В водолазном колоколе работа A вычисляется по формуле A=ανT·log₂(p₂/p₁). Дано: α=10,9 Дж/(моль·К), ν=3 моль, T=300 К, p₁=1,4 атм, A=29 430 Дж. Найдите p₂.

$A = \alpha\nu T\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Сначала делением изолируем логарифм, затем переводим логарифмическое равенство в степенное.

ДО РЕШЕНИЯ.

Все множители положительны; отношение p₂/p₁ также должно быть положительным.

Подставляем известные данные

$29430 = 10,9 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_{2}\frac{p_{2}}{1,4}$

Неизвестной остаётся только p₂.
Вычисляем коэффициент

$10,9 \cdot 3 \cdot 300 = 9810$

Удобно сначала 3·300=900.
Изолируем логарифм

$\log_{2}\frac{p_{2}}{1,4} = \frac{29430}{9810} = 3$

Делим обе части на 9810.
Переходим к степени

$\frac{p_{2}}{1,4} = 2^{3} = 8$

По определению логарифма.
Находим давление

$p_{2} = 1,4 \cdot 8 = 11,2$

Умножаем обе части на p₁.

Проверка. p₂/p₁=11,2/1,4=8, а log₂8=3.

Типичная ошибка. Считать log₂(p₂/p₁)=3 как p₂/p₁=6.

ОТВЕТ.

$11,2$

Разбор 7. Ускорение из формулы скорости

УСЛОВИЕ

Скорость автомобиля вычисляется по формуле v=√(2la), где l - путь в километрах, a - ускорение в км/ч². Найдите a, если l=1 км и v=120 км/ч.

$v = \sqrt{2la}$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Чтобы убрать квадратный корень, возводим обе части в квадрат, затем делим на известные множители.

ДО РЕШЕНИЯ.

Все величины неотрицательны, поэтому возведение в квадрат не создаёт выбора знака для скорости.

Возводим в квадрат

$v^{2} = 2la$

Квадрат устраняет квадратный корень.
Выражаем ускорение

$a = \frac{v^{2}}{2l}$

Делим обе части на 2l.
Подставляем

$a = \frac{120^{2}}{2 \cdot 1}$

Единицы уже соответствуют формуле.
Вычисляем

$a = \frac{14400}{2} = 7200$

120²=14 400.

Проверка. √(2·1·7200)=√14400=120.

Типичная ошибка. Не возвести v в квадрат или поделить только на l, забыв множитель 2.

ОТВЕТ.

$7200$

Разбор 8. Четвёртая степень в законе излучения

УСЛОВИЕ

Мощность излучения звезды вычисляется по формуле P=σST⁴. Дано: σ=5,7·10⁻⁸, S=(1/256)·10²¹, P=9,12·10²⁶. Найдите температуру T в кельвинах.

$P = \sigma ST^{4}$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Сначала выражаем T⁴, аккуратно объединяем степени десяти и только потом извлекаем корень четвёртой степени.

ДО РЕШЕНИЯ.

Температура звезды измеряется тысячами кельвинов; ответ порядка единиц или миллионов был бы подозрителен.

Выражаем четвёртую степень

$T^{4} = \frac{P}{\sigma S}$

Делим обе части на положительное произведение σS.
Подставляем

$T^{4} = \frac{9,12 \cdot 10^{26}}{5,7 \cdot 10^{- 8} \cdot \frac{1}{256} \cdot 10^{21}}$

Сохраняем дробь до сокращения.
Упрощаем числа и степени

$T^{4} = 4096 \cdot 10^{12} = 4,096 \cdot 10^{15}$

9,12/5,7=1,6; 1,6·256=409,6; показатель 26−(−8+21)=13.
Распознаём четвёртую степень

$4,096 \cdot 10^{15} = 8000^{4}$

8000⁴=8⁴·10¹²=4096·10¹².
Учитываем смысл величины

$T = 8000$

Температура положительна, отрицательный корень не рассматривается.

Проверка. Порядок 8·10³ К соответствует предварительной оценке.

Типичная ошибка. Извлечь квадратный корень вместо корня четвёртой степени или потерять отрицательный показатель у σ.

ОТВЕТ.

$8000$

08. Опорные формулы

$s = vt,\quad\quad E_{k} = \frac{mv^{2}}{2},\quad\quad F = ma$

$p = \frac{F}{S},\quad\quad A = P\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{n}$

$v = \sqrt{2la}\quad \Leftrightarrow \quad a = \frac{v^{2}}{2l}$

$P = \sigma ST^{4}\quad \Leftrightarrow \quad T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$

09. Практика по теме

Перейти к 40 заданиям с ответами и решениями. Ответ каждого задания раскрывается отдельно.

10. Вопросы по теме

Нужно ли знать физическую формулу наизусть?

В этих заданиях используйте формулу из условия. Важно понять обозначения, согласовать единицы и выполнить преобразования.

Когда округлять результат?

В последнем действии, если условие требует приближения. Промежуточные округления могут изменить ответ.

11. Самостоятельная работа

Сначала решите задания 1-20 в тесте. После проверки переходите к заданиям 21-35, затем к 36-40. Задания на повторение выделены отдельно. К каждому ошибочному ответу запишите причину и повторите решение без подсказки.

Предыдущая тема: Экстремумы и наибольшее значение.

Следующая тема: Текстовые задачи: движение.