Урок 12. Экстремумы и наибольшее значение

Разбор 1. Минимум по простейшей производной

УСЛОВИЕ

Найдите точку минимума функции f, если f′(x)=2x−4.

$$f\prime(x) = 2x - 4$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Сначала находим нуль производной, затем проверяем знак слева и справа.

ДО РЕШЕНИЯ.

Линейная функция 2x−4 возрастает: до своего нуля она отрицательна, после - положительна.

1. Находим критическую точку

   $$2x - 4 = 0\quad \Rightarrow \quad x = 2$$

   В этой точке производная равна нулю.

2. Берём точку слева

   $$f\prime(0) = - 4 < 0$$

   До 2 функция f убывает.

3. Берём точку справа

   $$f\prime(3) = 2 > 0$$

   После 2 функция f возрастает.

4. Классифицируем переход

   $$- \rightarrow + \quad \Rightarrow \quad x_{\min} = 2$$

   Убывание сменяется возрастанием.

Проверка. Получена именно абсцисса точки минимума, а не значение f(2), которого условие не позволяет найти.

Типичная ошибка. Считать любой корень f′=0 точкой максимума или минимума без проверки знака.

ОТВЕТ.

$$2$$

Разбор 2. Два экстремума кубической функции

УСЛОВИЕ

Найдите точки максимума и минимума функции.

$$f(x) = x^{3} - 3x$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Для нескольких критических точек строим единую таблицу знаков производной.

ДО РЕШЕНИЯ.

Производная будет квадратной и может иметь два нуля - значит, возможны два экстремума.

1. Находим производную

   $$f\prime(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$

   Дифференцируем куб и линейное слагаемое.

2. Находим критические точки

   $$x = - 1;\ 1$$

   Произведение равно нулю при нуле одного из множителей.

3. Расставляем знаки

   $$( + )\quad\underset{- 1}{|}\quad( - )\quad\underset{1}{|}\quad( + )$$

   Квадратичная производная положительна снаружи корней и отрицательна между ними.

4. Классифицируем

   $$x = - 1:\ + \rightarrow - \Rightarrow \max;\quad\quad x = 1:\ - \rightarrow + \Rightarrow \min$$

   Смотрим направление смены монотонности.

Проверка. f(−1)=2, f(1)=−2: локальный максимум действительно выше локального минимума.

Типичная ошибка. Назвать обе критические точки минимумами только потому, что f′ в них равно нулю.

ОТВЕТ.

$$x_{\max} = - 1,\quad\quad x_{\min} = 1$$

Разбор 3. Наибольшее значение на отрезке

УСЛОВИЕ

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0;5].

$$f(x) = - x^{2} + 6x + 1$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

На отрезке сравниваем значения в критических точках внутри отрезка и на обоих концах.

ДО РЕШЕНИЯ.

Парабола ветвями вниз, поэтому её вершина - естественный кандидат на максимум; концы всё равно проверяем.

1. Находим производную

   $$f\prime(x) = - 2x + 6$$

   Производная −x² равна −2x.

2. Находим внутреннего кандидата

   $$- 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$$

   Точка 3 лежит внутри [0;5].

3. Вычисляем три значения

   $$f(0) = 1,\quad\quad f(3) = 10,\quad\quad f(5) = 6$$

   Концы отрезка нельзя пропускать.

4. Выбираем наибольшее

   $$\max\{ 1,10,6\} = 10$$

   Вопрос требует значение функции, не координату.

Проверка. Вершина параболы имеет x=−b/(2a)=3 - совпадает с критической точкой.

Типичная ошибка. Ответить 3 вместо 10: 3 - точка максимума, 10 - наибольшее значение.

ОТВЕТ.

$$10$$

Разбор 4. Минимум дробной функции на x>0

УСЛОВИЕ

Найдите наименьшее значение функции при x>0.

$$f(x) = x + \frac{4}{x}$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Учитываем область определения до исследования и оставляем только критические точки из неё.

ДО РЕШЕНИЯ.

При x→0+ дробь 4/x растёт, при x→+∞ растёт x; между ними должен быть минимум.

1. Фиксируем область

   $$x > 0$$

   Это дано условием и исключает отрицательные кандидаты.

2. Находим производную

   $$f\prime(x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^{2}}$$

   Производная 4/x равна −4/x².

3. Отбираем критическую точку

   $$x = 2$$

   x=−2 не входит в область x>0.

4. Проверяем знак

   $$0 < x < 2:\ f\prime < 0;\quad\quad x > 2:\ f\prime > 0$$

   Получаем переход −→+, значит, в x=2 минимум.

5. Находим значение

   $$f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$$

   Спрашивают наименьшее значение функции.

Проверка. По неравенству x+4/x≥2√4=4 для x>0 меньшего значения быть не может.

Типичная ошибка. Оставить x=−2 или записать в ответ точку 2 вместо значения 4.

ОТВЕТ.

$$4$$

Разбор 5. Оптимальная площадь прямоугольника

УСЛОВИЕ

Периметр прямоугольника равен 20. Найдите его наибольшую возможную площадь.

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Выражаем обе стороны через одну переменную и учитываем, что длины должны быть положительными.

ДО РЕШЕНИЯ.

Полупериметр равен 10, поэтому стороны можно обозначить x и 10−x, где 0<x<10.

1. Строим модель

   $$a = x,\quad\quad b = 10 - x,\quad\quad 0 < x < 10$$

   Из 2(a+b)=20 следует a+b=10.

2. Записываем площадь

   $$S(x) = x(10 - x) = 10x - x^{2}$$

   Площадь равна произведению сторон.

3. Находим критическую точку

   $$S\prime(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$$

   Точка входит в допустимый промежуток.

4. Подтверждаем максимум

   $$S\prime:\ + \rightarrow - \ \text{при }x = 5$$

   Площадь сначала растёт, затем уменьшается.

5. Вычисляем площадь

   $$S_{\max} = 5(10 - 5) = 25$$

   Оптимальный прямоугольник оказался квадратом 5×5.

Проверка. Стороны положительны, периметр 2(5+5)=20.

Типичная ошибка. Найти x=5 и не ответить на вопрос о площади.

ОТВЕТ.

$$25$$

Разбор 6. Минимум функции с корнем на отрезке

УСЛОВИЕ

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1;50].

$$y = x\sqrt{x} - 9x + 25$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Для экстремума на отрезке сравниваем значение во внутренней критической точке с обоими концами.

ДО РЕШЕНИЯ.

x√x=x^(3/2), поэтому производная вычисляется степенным правилом.

1. Дифференцируем

   $$y\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 9$$

   Производная x^(3/2) равна (3/2)x^(1/2).

2. Находим критическую точку

   $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 36$$

   36 принадлежит [1;50].

3. Вычисляем значение в критической точке

   $$y(36) = 36 \cdot 6 - 9 \cdot 36 + 25 = - 83$$

   Сначала √36=6.

4. Проверяем концы

   $$y(1) = 17,\quad\quad y(50) = 50\sqrt{50} - 425 > - 83$$

   Без концов вывод о минимуме на отрезке неполон.

5. Выбираем минимум

   $$y_{\min} = - 83$$

   Это наименьшее из трёх значений.

Проверка. Производная отрицательна до 36 и положительна после 36, поэтому внутри отрезка это минимум.

Типичная ошибка. Ответить 36: это точка минимума, а требуется наименьшее значение −83.

ОТВЕТ.

$$- 83$$

Разбор 7. Точка максимума кубической функции

УСЛОВИЕ

Найдите точку максимума функции.

$$y = x^{3} - 300x + 5$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

После нахождения двух критических точек выбираем ту, в которой знак производной меняется +→−.

ДО РЕШЕНИЯ.

Спрашивают точку максимума - в ответе нужна абсцисса, вычислять y необязательно.

1. Находим производную

   $$y\prime = 3x^{2} - 300 = 3(x - 10)(x + 10)$$

   Выносим 3 и используем разность квадратов.

2. Находим критические точки

   $$x = - 10;\ 10$$

   Оба линейных множителя по очереди обращаются в ноль.

3. Расставляем знаки

   $$( + )\quad\underset{- 10}{|}\quad( - )\quad\underset{10}{|}\quad( + )$$

   Производная положительна снаружи корней.

4. Выбираем максимум

   $$x = - 10:\quad + \rightarrow -$$

   В этой точке возрастание сменяется убыванием.

Проверка. В x=10 происходит −→+, поэтому это минимум, а не второй максимум.

Типичная ошибка. Выбрать положительную критическую точку 10 только потому, что она больше.

ОТВЕТ.

$$- 10$$

Разбор 8. Минимум функции с логарифмом

УСЛОВИЕ

Найдите точку минимума функции.

$$y = x^{2} - 20x + 48\ln x - 97$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Для ln x сначала фиксируем x>0; после приведения производной к дроби знаменатель положителен, поэтому знак задаёт числитель.

ДО РЕШЕНИЯ.

Обе найденные критические точки нужно классифицировать; в ответе требуется только точка минимума.

1. Записываем область

   $$x > 0$$

   Натуральный логарифм определён только для положительного аргумента.

2. Находим производную

   $$y\prime = 2x - 20 + \frac{48}{x} = \frac{2(x - 4)(x - 6)}{x}$$

   Приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель.

3. Находим критические точки

   $$x = 4;\ 6$$

   Обе точки положительны; x=0 не входит в область.

4. Определяем знаки

   $$( + )\quad\underset{4}{|}\quad( - )\quad\underset{6}{|}\quad( + )$$

   На x>0 знаменатель положителен, знак меняется в простых корнях числителя.

5. Выбираем минимум

   $$x = 6:\quad - \rightarrow +$$

   Убывание сменяется возрастанием.

Проверка. Точка x=4 даёт +→−, то есть максимум; классификация различает два кандидата.

Типичная ошибка. Включить x=0 как критическую точку или выбрать x=4 без таблицы знаков.

ОТВЕТ.

$$6$$