Урок 12. Тестовые задания (40 вопросов)

Точка, в которой производная равна нулю, является критической. Наличие экстремума ещё нужно проверить.

Ответ: критическая точка

До точки функция убывает, после точки возрастает. Это минимум.

Ответ: точка минимума x = 3

До точки функция возрастает, после точки убывает. Это максимум.

Ответ: точка максимума x = −1

Функция возрастает по обе стороны точки. Направление не меняется, поэтому экстремума нет.

Ответ: нет

$$f\prime(x) = 2x - 4 = 0$$

$$x = 2,\quad\quad f(2) = 3$$

Ответ: $3$

$$f\prime(x) = - 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$$

$$f(3) = - 9 + 18 - 5 = 4$$

Ответ: $4$

$$f( - 2) = 4,\quad\quad f(0) = 0,\quad\quad f(3) = 9$$

Наибольшее из чисел - 9.

Ответ: $9$

$$f( - 2) = 4,\quad\quad f(0) = 0,\quad\quad f(3) = 9$$

Наименьшее из чисел - 0.

Ответ: $0$

Проверяются оба конца отрезка и все критические точки, лежащие внутри него.

Ответ: концы отрезка и внутренние критические точки

Квадрат минимален и равен нулю при x = 1. Тогда f(1) = 2.

Ответ: $x_{\min} = 1,\quad f_{\min} = 2$

График сначала возрастает, а после x = −1 убывает. Поэтому внутренняя точка максимума имеет абсциссу −1.

Ответ: $- 1$

График убывает до x = 1, а затем возрастает. Поэтому точка минимума имеет абсциссу 1.

Ответ: $1$

Производная меняет знак в каждом из трёх нулей. Значит экстремумов три.

Ответ: $3$

Максимум соответствует смене знака «+ → −». Это происходит при x = −3 и x = 4.

Ответ: $- 3;\ 4$

$$f\prime(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$

$$f\prime(x) > 0\text{ при }x < - 1\text{ и }x > 1$$

Ответ: $( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

$$f\prime(x) = 3x^{2} \geq 0$$

Знак производной не меняется: функция возрастает слева и справа. Экстремума нет.

Ответ: нет

Функция возрастает, поэтому максимум достигается в правом конце.

$$f(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$$

Ответ: $9$

$$f( - 3) = - 9 + 4 = - 5$$

$$f(0) = 4$$

$$f(1) = 3$$

Наименьшее значение равно −5.

Ответ: $- 5$

$$f\prime(x) = 3x(x - 2)$$

$$x = 0,\ 2$$

$$f( - 1) = - 2,\ f(0) = 2,\ f(2) = - 2,\ f(3) = 2$$

Ответ: $- 2$

$$f\prime(x) = 4x\left( x^{2} - 2 \right)$$

$$x = 0,\ \pm \sqrt{2}$$

$$f(0) = 0,\quad f\left( \pm \sqrt{2} \right) = - 4,\quad f( \pm 3) = 45$$

Ответ: $- 4$

$$f(0) = 0,\quad f\left( \pm \sqrt{2} \right) = - 4,\quad f( \pm 3) = 45$$

Наибольшее значение достигается на концах отрезка.

Ответ: $45$

$$f\prime(x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0$$

$$x = 2$$

$$f(2) = 2 + 2 = 4$$

На положительной полуоси производная отрицательна до 2 и положительна после этой точки. Поэтому найденное значение является наименьшим на всей указанной области.

Ответ: $4$

$$f\prime(x) = 2 - \frac{8}{x^{2}} = 0$$

$$x^{2} = 4,\quad x = 2$$

$$f(2) = 4 + 4 = 8$$

На положительной полуоси производная отрицательна до 2 и положительна после этой точки. Поэтому найденное значение является наименьшим на всей указанной области.

Ответ: $8$

$$f\prime(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$$

Знаки: +, −, +. Поэтому x = 1 - максимум, x = 3 - минимум.

$$f(1) = 4,\quad\quad f(3) = 0$$

Ответ: $(1;4),\ (3;0)$

Крайние нули производной: −3 и 4. Между ними график f′ находится выше оси Ox только при 1 < x < 4. Там исходная функция возрастает.

Ответ: (1; 4).

Смена «− → +» происходит при x = 1.

Ответ: $1$

Сравниваем значения в концах и критической точке: 3, −2 и 5. Наибольшее - 5.

Ответ: $5$

Пусть одна сторона x, тогда другая 10 − x.

$$S(x) = x(10 - x) = - x^{2} + 10x$$

$$S\prime(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$$

$$S_{\max} = 25$$

Ответ: $25$

$$h\prime(t) = - 10t + 20 = 0$$

$$t = 2$$

$$h(2) = - 20 + 40 + 1 = 21$$

Ответ: $21$

$$f\prime(x) = 3x^{2} - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$$

Внутри отрезка находится x = 2.

$$f( - 1) = 11,\quad f(2) = - 16,\quad f(4) = 16$$

Ответ: $16$

Вычислим производную и найдём её нули.

$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$$

Критические точки: x = −3 и x = 1. Знаки производной слева направо: плюс, минус, плюс. При x = −3 возрастание сменяется убыванием, при x = 1 убывание сменяется возрастанием.

Проверка: f(−3) = 27, f(1) = −5. Вопрос требует абсциссы, а не значения функции.

Ответ: точка максимума −3; точка минимума 1.

$$f(x) = (x - a)^{2} + 5 - a^{2}$$

$$5 - a^{2} = 1$$

$$a^{2} = 4$$

$$a = \pm 2$$

Ответ: $- 2;\ 2$

$$f\prime(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x = 1$$

$$f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2},\quad f(1) = 2,\quad f(4) = \frac{17}{4}$$

Ответ: $\frac{17}{4}$

$$f\prime(x) = 2x - \frac{4}{x^{2}} = 0$$

$$2x^{3} = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}$$

$$f_{\min} = 3\sqrt[3]{4}$$

На положительной полуоси производная отрицательна до ∛2 и положительна после этой точки. Поэтому найденное значение является наименьшим на всей указанной области.

Ответ: $3\sqrt[3]{4}$

Критические точки соответствуют нулям производной. На графике их три: −3, 1 и 4.

Ответ: $3$

Пусть стороны x и 10 − x.

$$S(x) = x(10 - x)$$

$$S\prime(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$$

Вторая сторона также равна 5.

Ответ: 5 и 5