Урок 11. Производная и касательная

Разбор 1. Первая производная: квадрат

УСЛОВИЕ

Для функции f(x)=x² найдите f′(x) и значение f′(3).

$$f(x) = x^{2}$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

В правиле (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ показатель становится множителем, а новая степень на единицу меньше.

ДО РЕШЕНИЯ.

График y=x² при x=3 поднимается вправо, поэтому ожидаем положительный наклон.

1. Определяем степень

   $$n = 2$$

   Функция состоит из одного степенного слагаемого x².

2. Применяем правило

   $$f\prime(x) = 2x^{2 - 1} = 2x$$

   Двойка переносится вперёд, степень уменьшается до 1.

3. Подставляем точку

   $$f\prime(3) = 2 \cdot 3 = 6$$

   Сначала получаем формулу производной, затем подставляем x=3.

4. Истолковываем

   $$k_{\text{кас}} = 6 > 0$$

   Касательная в этой точке поднимается слева направо.

Проверка. Знак положительный, что согласуется с правой ветвью параболы.

Типичная ошибка. Записать f′(x)=x или f′(3)=9, то есть перепутать значение функции со значением производной.

ОТВЕТ.

$$f\prime(x) = 2x,\quad\quad f\prime(3) = 6$$

Разбор 2. Производная многочлена в точке

УСЛОВИЕ

Найдите значение производной функции в точке x=2.

$$f(x) = x^{3} - 4x + 7$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Дифференцируем каждое слагаемое отдельно; производная постоянного числа равна нулю.

ДО РЕШЕНИЯ.

Нужно найти f′(2), а не f(2). Число 7 исчезнет после дифференцирования.

1. Дифференцируем куб

   $$\left( x^{3} \right)\prime = 3x^{2}$$

   Показатель 3 становится коэффициентом.

2. Дифференцируем остальные слагаемые

   $$( - 4x)\prime = - 4,\quad\quad 7\prime = 0$$

   Производная ax равна a, постоянной - 0.

3. Собираем производную

   $$f\prime(x) = 3x^{2} - 4$$

   Производная суммы равна сумме производных.

4. Подставляем x=2

   $$f\prime(2) = 3 \cdot 2^{2} - 4 = 12 - 4 = 8$$

   Квадрат вычисляем до умножения.

Проверка. f′(2)=8>0: около x=2 функция возрастает.

Типичная ошибка. Подставить x=2 в исходную функцию и получить 7 - это f(2), а не f′(2).

ОТВЕТ.

$$8$$

Разбор 3. Наклон прямой по двум точкам

УСЛОВИЕ

Прямая проходит через точки A(1;2) и B(5;10). Найдите её угловой коэффициент. Если эта прямая - касательная к графику f в точке x₀, чему равно f′(x₀)?

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x. Для касательной это и есть значение производной.

ДО РЕШЕНИЯ.

При движении от A к B обе координаты растут, поэтому наклон должен быть положительным.

1. Находим вертикальное изменение

   $$\Delta y = 10 - 2 = 8$$

   Вычитаем y-координаты в одном порядке.

2. Находим горизонтальное изменение

   $$\Delta x = 5 - 1 = 4$$

   Порядок вычитания должен совпадать с порядком для Δy.

3. Вычисляем наклон

   $$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8}{4} = 2$$

   На каждый шаг вправо прямая поднимается на 2.

4. Связываем с производной

   $$f\prime\left( x_{0} \right) = k = 2$$

   Производная равна угловому коэффициенту касательной.

Проверка. Из A при увеличении x на 4 получаем увеличение y на 2·4=8 и приходим в B.

Типичная ошибка. Перевернуть дробь и вычислить Δx/Δy.

ОТВЕТ.

$$k = 2,\quad\quad f\prime\left( x_{0} \right) = 2$$

Разбор 4. Уравнение касательной к параболе

УСЛОВИЕ

Составьте уравнение касательной к графику y=x² в точке с абсциссой x₀=1.

$$f(x) = x^{2},\quad\quad x_{0} = 1$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

В формуле касательной отдельно вычисляем точку касания f(x₀) и наклон f′(x₀).

ДО РЕШЕНИЯ.

Точка касания имеет координаты (1;1), а наклон на правой ветви параболы положителен.

1. Находим точку на графике

   $$f(1) = 1^{2} = 1$$

   Касательная обязана проходить через (1;1).

2. Находим производную и наклон

   $$f\prime(x) = 2x,\quad\quad f\prime(1) = 2$$

   Угловой коэффициент касательной равен 2.

3. Подставляем в формулу

   $$y = 1 + 2(x - 1)$$

   Используем y=f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀).

4. Приводим к обычному виду

   $$y = 2x - 1$$

   Раскрываем скобки: 1+2x−2=2x−1.

Проверка. При x=1 получаем y=1; коэффициент при x равен найденному наклону 2.

Типичная ошибка. Взять f′(1)=2, но забыть, что касательная проходит через (1;1), и написать y=2x.

ОТВЕТ.

$$y = 2x - 1$$

Разбор 5. Промежутки возрастания по формуле f′

УСЛОВИЕ

Известно, что f′(x)=3x²−12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f.

$$f\prime(x) = 3x^{2} - 12$$

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Разлагаем производную на множители, отмечаем её нули и определяем знак на каждом промежутке.

ДО РЕШЕНИЯ.

Коэффициент при x² положительный, поэтому далеко слева и справа производная положительна.

1. Разлагаем на множители

   $$f\prime(x) = 3\left( x^{2} - 4 \right) = 3(x - 2)(x + 2)$$

   Используем разность квадратов.

2. Находим нули

   $$x = - 2;\ 2$$

   Постоянный множитель 3 в ноль не обращается.

3. Расставляем знаки

   $$( + )\quad\underset{- 2}{|}\quad( - )\quad\underset{2}{|}\quad( + )$$

   У произведения двух простых линейных множителей знак меняется в каждом корне.

4. Переводим знаки в поведение f

   $$f \uparrow \text{ на }( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty),\quad\quad f \downarrow \text{ на }( - 2;2)$$

   Плюс производной означает возрастание, минус - убывание.

Проверка. В x=−2 знак +→− даёт максимум, в x=2 знак −→+ даёт минимум.

Типичная ошибка. Исследовать, возрастает ли сама парабола y=f′(x), вместо проверки знака f′.

ОТВЕТ.

$$\uparrow :\ ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty);\quad\quad \downarrow :\ ( - 2;2)$$

Разбор 6. Точка максимума по графику производной

УСЛОВИЕ

На рисунке изображён график y=f′(x) на интервале (−5;5). Найдите точку максимума функции f(x).

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Максимум f возникает там, где график f′ пересекает ось Ox сверху вниз: знак производной меняется с плюса на минус.

ДО РЕШЕНИЯ.

Высота вершины графика f′ не отвечает на вопрос. Нужна абсцисса пересечения с осью Ox и направление смены знака.

1. Находим участки выше оси

   $$f\prime(x) > 0$$

   На этих x исходная функция f возрастает.

2. Находим участок ниже оси

   $$f\prime(x) < 0$$

   После нужного пересечения функция f убывает.

3. Читаем переход по сетке

   $$x = 2:\quad + \rightarrow -$$

   В точке x=2 рост f сменяется убыванием.

4. Записываем абсциссу максимума

   $$x_{\max} = 2$$

   В кратком ответе требуется именно координата x.

Проверка. Слева от 2 график f′ выше оси, справа - ниже.

Типичная ошибка. Назвать максимум графика f′ или считать ответом его ординату 3.

ОТВЕТ.

$$2$$

Разбор 7. Точки, лежащие на промежутках убывания

УСЛОВИЕ

На оси отмечены девять точек x₁,…,x₉, а на рисунке дан график y=f′(x). Сколько отмеченных точек принадлежит промежуткам убывания функции f?

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Функция f убывает при f′<0, то есть там, где график производной расположен ниже оси Ox.

ДО РЕШЕНИЯ.

Проверяем высоту графика f′ над каждой отмеченной абсциссой; направление самой кривой f′ неважно.

1. Формулируем критерий

   $$f \downarrow \quad \Leftarrow \quad f\prime(x) < 0$$

   Отрицательная мгновенная скорость изменения означает убывание.

2. Просматриваем x₁,…,x₅

   $$f\prime\left( x_{i} \right) > 0$$

   Над этими отметками график находится выше Ox.

3. Находим отметки ниже оси

   $$f\prime\left( x_{6} \right) < 0,\quad\quad f\prime\left( x_{7} \right) < 0$$

   Только x₆ и x₇ попадают в отрицательные участки.

4. Проверяем оставшиеся точки

   $$f\prime\left( x_{8} \right) > 0,\quad\quad f\prime\left( x_{9} \right) > 0$$

   Они не принадлежат промежуткам убывания.

5. Считаем

   $$2$$

   Подходят две отмеченные точки.

Проверка. Перечень подходящих точек выписан до подсчёта: x₆ и x₇.

Типичная ошибка. Считать точки, в которых график f′ идёт вниз, хотя он может идти вниз и оставаться выше Ox.

ОТВЕТ.

$$2$$

Разбор 8. Число точек максимума на отрезке

УСЛОВИЕ

На рисунке изображён график y=f′(x) на интервале (−9;10). Найдите число точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6;8].

КОРОТКОЕ ПРАВИЛО.

Считаем только пересечения Ox со сменой +→− и отдельно проверяем, попадает ли их абсцисса в заданный отрезок.

ДО РЕШЕНИЯ.

Касание оси без смены знака не даёт максимума; переход −→+ даёт минимум и тоже не считается.

1. Ограничиваем просмотр

   $$x \in \lbrack - 6;8\rbrack$$

   Переходы за пределами отрезка не входят в ответ.

2. Отмечаем все нули f′ на отрезке

   $$f\prime(x) = 0$$

   Только возле них возможна смена монотонности f.

3. Классифицируем переходы

   $$- \rightarrow + \ \text{- минимум};\quad\quad + \rightarrow - \ \text{- максимум}$$

   Нужны только переходы второго типа.

4. Считаем переходы +→−

   $$N_{\max} = 1$$

   На заданном отрезке такой переход ровно один.

Проверка. Поздний переход из отрицательных значений в положительные даёт минимум и не увеличивает счётчик максимумов.

Типичная ошибка. Посчитать все пересечения оси Ox или все вершины самого графика f′.

ОТВЕТ.

$$1$$