Функции и графики на ЕГЭ: теория

01. Функция, аргумент и значение

Функция сопоставляет каждому допустимому значению аргумента $x$ единственное значение $y$ . Запись $y=f(x)$ означает, что результат зависит от выбранного $x$ . Для $f(x)=2x+1$ значение $f(3)$ равно 7: вместо $x$ подставляют 3.

Не путайте вопросы «найдите $f(3)$ » и «решите $f(x)=3$ ». В первом известен вход, нужно вычислить выход. Во втором известен выход, нужно найти все подходящие входы.

График функции состоит из точек $(x;f(x))$ . Чтобы проверить, принадлежит ли ему точка $(2;5)$ , подставьте $x=2$ в формулу и сравните результат с 5. Для $y=2x+1$ равенство выполняется.

02. Область определения и множество значений

Область определения $D(f)$ - допустимые значения $x$ . Множество значений $E(f)$ - все результаты $y$ , которые функция действительно принимает. У $y=x^2$ область определения - все действительные числа, а множество значений - $[0;+\infty)$ .

Для области определения учитывают все ограничения одновременно: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен. Например, $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$ требует $x\ge-1$ и $x\ne2$ .

Если корень стоит в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: у $\frac1{\sqrt{x-3}}$ условие $x>3$ . Равенство нулю здесь запрещено именно из-за знаменателя.

03. Что можно узнать по графику

Нули функции - значения $x$ , при которых $y=0$ : график пересекает ось $Ox$ или касается её. Функция положительна там, где график выше этой оси, и отрицательна там, где ниже.

Для чтения $f(a)$ найдите $a$ на горизонтальной оси и прочитайте высоту точки графика. Для решения $f(x)=b$ рассмотрите пересечения с горизонтальной прямой $y=b$ и выпишите их абсциссы.

Возрастание и положительность - разные свойства

На промежутке возрастания при движении слева направо значения становятся больше. Они могут оставаться отрицательными: например, на $(-\infty;0)$ функция $y=x$ возрастает и при этом отрицательна. Убывающая функция, наоборот, принимает всё меньшие значения при увеличении аргумента.

Координата точки максимума - значение $x$ , а максимальное значение функции - соответствующее $y$ . В ответе нужно указать именно то, что спрашивает условие.

04. Прямая и парабола

Линейная функция имеет вид $y=kx+b$ . Коэффициент $b$ - значение при $x=0$ , а $k$ описывает изменение $y$ при увеличении $x$ на единицу. При $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает, при $k=0$ постоянна.

Для двух точек с разными абсциссами $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . Затем координаты любой из точек подставляют в $y=kx+b$ и находят $b$ . Если прямая проходит через начало координат, $b=0$ .

Квадратичная функция имеет вид $y=ax^2+bx+c$ , где $a\ne0$ . При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ - вниз. Абсцисса вершины равна $x_0=-\frac{b}{2a}$ , а ордината вычисляется как $y_0=f(x_0)$ .

Вершинная форма и сдвиги

В записи $y=a(x-h)^2+k$ вершина сразу видна: $(h;k)$ . Например, у $y=(x-2)^2-3$ вершина $(2;-3)$ . Знак внутри скобок нужно прочитать внимательно: квадрат равен нулю именно при $x=2$ .

Замена $f(x)$ на $f(x-h)+k$ сдвигает график на $h$ вправо и на $k$ вверх; отрицательные $h$ и $k$ означают противоположные направления. У $y=|x+2|-1$ вершина равна $(-2;-1)$ . Умножение всех значений на −1 отражает график относительно оси $Ox$ .

Нули параболы можно найти решением квадратного уравнения. Если известны два различных нуля $r_1$ , $r_2$ , удобно записать $y=a(x-r_1)(x-r_2)$ . Дополнительная точка графика позволяет найти коэффициент $a$ .

05. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Для параболы сравните значения на концах отрезка и в вершине, если вершина принадлежит отрезку. Например, у $f(x)=-(x-1)^2+4$ на $[-2;3]$ получаем $f(-2)=-5$ , $f(3)=0$ , $f(1)=4$ . Минимум равен −5, максимум - 4.

Проверка только вершины нашла бы максимум, но пропустила бы минимум на левом конце. На открытом промежутке наибольшего или наименьшего значения может не быть: функция $y=x$ на $(0;1)$ не достигает ни 0, ни 1.

06. Первое знакомство с производной

В последних разборах используется производная $f'(x)$ . Она описывает скорость изменения функции и наклон касательной. Если производная положительна на промежутке, функция там возрастает; если отрицательна - убывает. Смена знака с плюса на минус указывает на локальный максимум, с минуса на плюс - на локальный минимум.

Для задач этого урока нужны правила:

$(c)'=0$ и $(x^n)'=nx^{n-1}$ для натурального $n$ ;
$(u+v)'=u'+v'$ и $(cu)'=cu'$ ;
$(uv)'=u'v+uv'$ ;
$(e^x)'=e^x$ .

Для постоянного $c$ также $(e^{x+c})'=e^{x+c}$ : выражение $e^{x+c}=e^c e^x$ отличается от $e^x$ постоянным множителем.

Число $e$ - основание натуральной экспоненты, приблизительно 2,718. Значение $e^x$ всегда положительно. Поэтому знак производной $e^x(1+x)$ определяется множителем $1+x$ .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, найдите внутренние точки, где производная равна нулю или не существует, если такие точки есть в области функции. Затем сравните значения функции в этих точках и на концах отрезка. Для рассматриваемых здесь гладких функций достаточно решить $f'(x)=0$ и добавить концы.

Важно. Равенство $f'(x)=0$ само по себе не доказывает экстремум. У $f(x)=x^3$ производная равна нулю при $x=0$ , но функция продолжает возрастать по обе стороны. Проверяйте смену знака или сравнивайте значения по условиям задачи.

07. Примеры с пошаговыми решениями

Разбор 1. Значение функции по формуле

Условие

Функция задана формулой f(x)=2x−3. Найдите f(4).

$f(x) = 2x - 3$

Короткое правило.

Чтобы найти f(a), подставляем a вместо каждого x и выполняем действия по порядку.

До решения.

При x=4 произведение 2x равно 8; после вычитания 3 ответ должен быть меньше 8.

Подставляем аргумент

$f(4) = 2 \cdot 4 - 3$

Число 4 заменяет переменную x.
Вычисляем

$f(4) = 8 - 3 = 5$

Сначала умножение, затем вычитание.

Проверка. Точка (4;5) удовлетворяет уравнению прямой y=2x−3.

Типичная ошибка. Подставить 4 вместо f и решать уравнение 4=2x−3 - это другой вопрос.

Ответ.

$5$

Разбор 2. Область определения: корень и знаменатель

Условие

Найдите область определения функции.

$f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$

Короткое правило.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, знаменатель - ненулевым. Область определения - пересечение всех условий.

До решения.

Первое условие даст луч от −1 вправо; из него нужно удалить одну точку x=2.

Условие для корня

$x + 1 \geq 0\quad \Rightarrow \quad x \geq - 1$

Квадратный корень определён для неотрицательного аргумента.
Условие для знаменателя

$x - 2 \neq 0\quad \Rightarrow \quad x \neq 2$

На ноль делить нельзя.
Пересекаем условия

$D(f) = \lbrack - 1;2) \cup (2; + \infty)$

Берём x≥−1 и исключаем точку 2.

Проверка. При x=−1 корень равен нулю и знаменатель ненулевой - граница входит; при x=2 функция не существует.

Типичная ошибка. Потребовать x+1>0 и ошибочно исключить x=−1.

Ответ.

$D(f) = \lbrack - 1;2) \cup (2; + \infty)$

Разбор 3. Парабола в вершинной форме

Условие

Для функции y=(x−2)²−3 укажите вершину, ось симметрии и нули.

$y = (x - 2)^{2} - 3$

Парабола y = (x − 2)² − 3 с вершиной (2; −3) — Парабола y=(x−2)²−3 с вершиной (2; −3) и осью симметрии x=2.

Короткое правило.

В форме y=(x−a)²+b вершина имеет координаты (a;b), ось симметрии x=a. Нули находим из уравнения y=0.

До решения.

Коэффициент перед квадратом положителен, поэтому ветви направлены вверх, а вершина - точка минимума.

Считываем вершину

$(a;b) = (2; - 3)$

В скобках x−2, снаружи −3.
Записываем ось

$x = 2$

Вертикальная прямая через вершину делит параболу симметрично.
Находим нули

$(x - 2)^{2} - 3 = 0\quad \Rightarrow \quad(x - 2)^{2} = 3$

В точках пересечения с Ox значение y равно нулю.
Извлекаем корень

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Уравнение z²=3 имеет два решения z=±√3.

Проверка. Нули симметричны относительно x=2, а их среднее равно 2.

Типичная ошибка. Записать вершину (−2;−3), не учесть смену знака внутри скобок.

Ответ. вершина (2; −3), ось x=2.

$x_{1} = 2 - \sqrt{3},\quad\quad x_{2} = 2 + \sqrt{3}$

Разбор 4. Нули и знак квадратичной функции

Условие

Найдите нули функции и промежутки, где f(x)<0.

$f(x) = x^{2} - 4x$

Короткое правило.

Нули находим из f(x)=0. Знак квадратного трёхчлена можно определить разложением на множители или положением ветвей параболы.

До решения.

Старший коэффициент положителен, поэтому функция положительна далеко слева и справа и отрицательна между двумя различными корнями.

Разлагаем на множители

$f(x) = x(x - 4)$

Выносим общий множитель x.
Находим нули

$x = 0\quad\text{или}\quad x = 4$

Произведение равно нулю при нуле одного множителя.
Определяем знак

$f(x) < 0\quad\text{при}\quad 0 < x < 4$

Между простыми корнями множители имеют разные знаки.

Проверка. f(2)=4−8=−4<0; f(−1)=5>0; f(5)=5>0.

Типичная ошибка. Включить нули 0 и 4 в решение строгого неравенства f(x)<0.

Ответ. нули: 0 и 4.

$f(x) < 0\ \text{при}\ x \in (0;4)$

Разбор 5. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [−2;3].

$f(x) = - (x - 1)^{2} + 4$

Короткое правило.

На замкнутом отрезке проверяем вершину, если она входит в отрезок, и оба конца. Затем сравниваем полученные значения.

До решения.

Ветви направлены вниз, вершина (1;4) даст максимум. Минимум на отрезке будет на одном из концов.

Проверяем вершину

$x = 1 \in \lbrack - 2;3\rbrack,\quad\quad f(1) = 4$

Квадрат равен нулю, это вершина параболы.
Проверяем левый конец

$f( - 2) = - ( - 3)^{2} + 4 = - 5$

Подставляем x=−2 в исходную формулу.
Проверяем правый конец

$f(3) = - (2)^{2} + 4 = 0$

Подставляем x=3.
Сравниваем

$- 5 < 0 < 4$

Наименьшее значение −5, наибольшее 4.

Проверка. Левый конец дальше от оси x=1, чем правый, поэтому значение там ниже - это согласуется с ответом.

Типичная ошибка. Назвать вершину минимумом по привычке, не посмотреть на отрицательный коэффициент перед квадратом.

Ответ. наибольшее значение 4 при x=1; наименьшее −5 при x=−2.

$f_{\max} = 4,\quad\quad f_{\min} = - 5$

Разбор 6. Восстановление квадратичной функции по графику

Условие

На рисунке изображён график f(x)=ax²+bx+c. По графику нули равны 1 и 4, а f(0)=4. Найдите f(−2).

Парабола с нулями 1 и 4 и точкой (0; 4) — Парабола с нулями 1 и 4 и отмеченной точкой (0; 4).

Короткое правило.

По нулям записываем f(x)=a(x−x₁)(x−x₂), затем используем ещё одну точку графика для нахождения коэффициента a.

До решения.

Ветви направлены вверх, поэтому a>0. Значение f(0)=4 позволит найти a без системы из трёх уравнений.

Записываем функцию по нулям

$f(x) = a(x - 1)(x - 4)$

При x=1 и x=4 произведение обращается в ноль.
Используем точку (0;4)

$4 = a(0 - 1)(0 - 4) = 4a$

Подставляем известные координаты точки графика.
Находим коэффициент

$a = 1,\quad\quad f(x) = (x - 1)(x - 4)$

Делим равенство 4=4a на 4.
Вычисляем требуемое значение

$f( - 2) = ( - 2 - 1)( - 2 - 4) = ( - 3)( - 6) = 18$

Подставляем −2 в восстановленную формулу.

Проверка. Для x<1 оба множителя отрицательны, поэтому f(−2)>0; значение 18 согласуется с видом графика.

Типичная ошибка. Принять f(0)=4 за коэффициент a и не использовать точку для вычисления масштаба параболы.

Ответ.

$18$

Разбор 7. Точка максимума кубической функции

Условие

Найдите точку максимума функции.

$y = x^{3} - 108x + 23$

Короткое правило.

Находим критические точки из f′(x)=0 и определяем знак производной на промежутках. Максимум соответствует переходу f′: плюс → минус.

До решения.

Производная будет квадратным выражением с двумя нулями. Нужно выбрать не любой ноль производной, а именно точку перехода от возрастания к убыванию.

Находим производную

$f\prime(x) = 3x^{2} - 108 = 3(x - 6)(x + 6)$

Производная x³ равна 3x², производная −108x равна −108.
Находим критические точки

$f\prime(x) = 0\quad \Rightarrow \quad x = - 6;\ 6$

Каждый линейный множитель может быть равен нулю.
Определяем знаки производной

$( + )\quad\underset{- 6}{|}\quad( - )\quad\underset{6}{|}\quad( + )$

Квадратичное выражение с положительным старшим коэффициентом положительно вне корней и отрицательно между ними.
Выбираем максимум

$f\prime(x):\ + \rightarrow - \ \text{при}\ x = - 6$

Функция сначала возрастает, затем убывает.

Проверка. В точке x=6 знак меняется с минуса на плюс, поэтому там минимум, а не максимум.

Типичная ошибка. Записать оба нуля производной или выбрать x=6 без таблицы знаков.

Ответ.

$- 6$

Разбор 8. Точка минимума произведения с экспонентой

Условие

Найдите точку минимума функции.

$y = \left( 8x^{2} - 40x + 40 \right)e^{x + 4}$

Короткое правило.

Применяем правило производной произведения. Положительный множитель e^(x+4) не влияет на знак производной.

До решения.

После дифференцирования выражение должно вынести общий множитель e^(x+4) и свестись к произведению двух линейных множителей.

Дифференцируем произведение

$f\prime(x) = (16x - 40)e^{x + 4} + \left( 8x^{2} - 40x + 40 \right)e^{x + 4}$

Используем (uv)′=u′v+uv′ и (e^(x+4))′=e^(x+4).
Выносим общий множитель

$f\prime(x) = 8e^{x + 4}x(x - 3)$

В скобках остаётся 8x²−24x=8x(x−3).
Находим критические точки

$x = 0;\ 3$

Экспонента всегда положительна и в ноль не обращается.
Определяем знак

$( + )\quad\underset{0}{|}\quad( - )\quad\underset{3}{|}\quad( + )$

Знак совпадает со знаком x(x−3).
Выбираем минимум

$f\prime(x):\ - \rightarrow + \ \text{при}\ x = 3$

В точке 3 функция переходит от убывания к возрастанию.

Проверка. При x=0 знак меняется +→−, поэтому это точка максимума; единственная точка минимума - x=3.

Типичная ошибка. Приравнять к нулю e^(x+4) или не применить правило производной произведения.

Ответ.

$3$

08. Основные формулы

$D\left( \frac{\sqrt{g(x)}}{h(x)} \right):\quad g(x) \geq 0,\ h(x) \neq 0$

$y = (x - a)^{2} + b\quad \Rightarrow \quad\text{вершина }(a;b)$

$f\prime(x) > 0 \Rightarrow f\ \text{возрастает},\quad\quad f\prime(x) < 0 \Rightarrow f\ \text{убывает}$

$f\prime(x):\ - \rightarrow + \quad \Rightarrow \quad\text{точка минимума }f$

09. Вопросы по теме

Чем нуль функции отличается от значения при x = 0?

Нуль функции - аргумент, при котором результат равен нулю. Значение при x = 0 - высота графика на вертикальной оси; оно может быть любым допустимым числом.

Что записывать в ответ: точку максимума или максимальное значение?

Если спрашивают точку максимума, в таких заданиях указывают её абсциссу x. Если спрашивают наибольшее значение функции, указывают соответствующее значение y. Сверяйтесь с формулировкой.

10. Практика по теме

Проверьте понимание правил на отдельной странице: 40 заданий с ответами и решениями. Начните с первого уровня; к следующему переходите, когда можете объяснить каждый шаг.

11. Самостоятельная работа

Сначала решите задания 1-20 в тесте. После проверки переходите к заданиям 21-35, затем к 36-40. Задания на повторение выделены отдельно. К каждому ошибочному ответу запишите причину и повторите решение без подсказки.

Предыдущая тема: Неравенства и метод интервалов.

Следующая тема: Производная и касательная.

Урок 10. Функции и графики

01. Функция, аргумент и значение

02. Область определения и множество значений

03. Что можно узнать по графику

Возрастание и положительность - разные свойства

04. Прямая и парабола

Вершинная форма и сдвиги

05. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

06. Первое знакомство с производной

07. Примеры с пошаговыми решениями

Разбор 1. Значение функции по формуле

Разбор 2. Область определения: корень и знаменатель

Разбор 3. Парабола в вершинной форме

Разбор 4. Нули и знак квадратичной функции

Разбор 5. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Разбор 6. Восстановление квадратичной функции по графику

Разбор 7. Точка максимума кубической функции

Разбор 8. Точка минимума произведения с экспонентой

08. Основные формулы

09. Вопросы по теме

Чем нуль функции отличается от значения при x = 0?

Что записывать в ответ: точку максимума или максимальное значение?

10. Практика по теме

11. Самостоятельная работа