Урок 10. Тестовые задания (40 вопросов)

09.10.2026 - Яна -

Математика
ЕГЭ
Профиль
Тесты

В тесте 40 заданий: 34 по функциям и графикам, 6 на повторение уравнений и неравенств. Задания 1-20 относятся к начальному уровню, 21-35 к среднему, 36-40 к повышенному. Сначала запишите ответ, затем откройте решение.

Изучить теорию и разобранные примеры Скачать задания в PDF Скачать ответы и решения в PDF

В общих тригонометрических решениях параметр $n\in\mathbb Z$ , то есть принимает все целые значения. Углы записываются в радианах.

Содержание теста

Начальный уровень - задания 1-20
Средний уровень - задания 21-35
Сложный уровень - задания 36-40
Как продолжить после теста

01. Начальный уровень - задания 1-20

Задание 1

Найдите значение функции при x = 3.

$f(x) = 2x + 1$

Ответ и решение к заданию 1

$f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Ответ: $f(3) = 7$

Задание 2

Найдите значение функции при x = −2.

$f(x) = x^{2} - 4$

Ответ и решение к заданию 2

$f( - 2) = ( - 2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

Ответ: $f( - 2) = 0$

Задание 3

Найдите значение функции при x = 7.

$f(x) = 5 - x$

Ответ и решение к заданию 3

$f(7) = 5 - 7 = - 2$

Ответ: $f(7) = - 2$

Задание 4

Запишите область определения функции.

$y = \frac{1}{x - 3}$

Ответ и решение к заданию 4

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Ответ: x ≠ 3

Задание 5

Запишите область определения функции.

$y = \sqrt{x + 2}$

Ответ и решение к заданию 5

$x + 2 \geq 0$

$x \geq - 2$

Ответ: $x \in \lbrack - 2; + \infty)$

Задание 6

Найдите нуль функции.

$y = 3x - 6$

Ответ и решение к заданию 6

$3x - 6 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

Задание 7

Найдите нули функции.

$y = x^{2} - 9$

Ответ и решение к заданию 7

$x^{2} - 9 = 0$

$x = \pm 3$

Ответ: $x = \pm 3$

Задание 8

При каких x функция положительна?

$y = x - 4$

Ответ и решение к заданию 8

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Ответ: $x > 4$

Задание 9

Назовите коэффициент наклона прямой.

$y = 2x - 1$

Ответ и решение к заданию 9

Коэффициент при x равен 2.

Ответ: $2$

Задание 10

Функция y = 3 − x возрастает или убывает?

Ответ и решение к заданию 10

Коэффициент при x равен −1 < 0, поэтому прямая убывает.

Ответ: убывает

Задание 11

Как называется график функции y = x²?

Ответ и решение к заданию 11

График квадратичной функции y = x² - парабола с ветвями вверх.

Ответ: парабола

Задание 12

Какую форму имеет график функции y = |x|?

Ответ и решение к заданию 12

Две прямые y = x при x ≥ 0 и y = −x при x < 0 образуют V-образный график.

Ответ: V-образную

Задание 13

Куда сдвинут график y = x²?

$y = (x - 2)^{2}$

Ответ и решение к заданию 13

Выражение x − 2 обращается в ноль при x = 2, поэтому вершина сместилась вправо.

Ответ: вправо на 2

Задание 14

Куда сдвинут график y = x²?

$y = x^{2} + 3$

Ответ и решение к заданию 14

Число +3 прибавляется ко всем значениям функции, поэтому график поднимается на 3.

Ответ: вверх на 3

Задание 15

Принадлежит ли точка A(2; 5) графику? Запишите 1, если принадлежит, и 0, если нет.

$y = 2x + 1$

Ответ и решение к заданию 15

$2 \cdot 2 + 1 = 5$

Координаты удовлетворяют формуле.

Ответ: 1

Задание 16

Заполните значения y для x = −1, 0, 1.

$y = x + 2$

Ответ и решение к заданию 16

$f( - 1) = 1,\quad f(0) = 2,\quad f(1) = 3$

Ответ: 1; 2; 3

Задание 17

По графику найдите f(2).

График прямой y = x + 1 с отмеченной точкой (2; 3) — Рисунок к заданию.

Ответ и решение к заданию 17

От x = 2 поднимаемся до графика и читаем вертикальную координату y = 3.

Ответ: 3

Повторение: уравнения и неравенства

Задание 18

Решите неравенство.

$x^{2} - 9 < 0$

Ответ и решение к заданию 18

$(x - 3)(x + 3) < 0$

$- 3 < x < 3$

Ответ: $x \in ( - 3;3)$

Задание 19

Решите уравнение.

$\sin x = 0$

Ответ и решение к заданию 19

$x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n$

Задание 20

Решите уравнение.

$\log_{2}(x - 1) = 3$

Ответ и решение к заданию 20

$x > 1$

$x - 1 = 8$

$x = 9$

Ответ: $x = 9$

02. Средний уровень - задания 21-35

Задание 21

Найдите нуль функции.

$y = - 2x + 6$

Ответ и решение к заданию 21

$- 2x + 6 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

Задание 22

Прямая проходит через точки (0; 2) и (2; 6). Найдите коэффициент наклона.

$k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Ответ и решение к заданию 22

$k = \frac{6 - 2}{2 - 0} = 2$

Ответ: $k = 2$

Задание 23

Найдите координаты вершины параболы.

$y = (x - 3)^{2} + 1$

Ответ и решение к заданию 23

Квадрат обращается в ноль при x = 3, тогда y = 1.

Ответ: (3; 1)

Задание 24

Найдите наименьшее значение функции и значение x, при котором оно достигается.

$y = (x + 1)^{2} - 4$

Ответ и решение к заданию 24

Квадрат неотрицателен и минимален при x + 1 = 0.

$x = - 1,\quad y_{\min} = - 4$

Ответ: −4 при x = −1

Задание 25

Найдите область определения функции.

$y = \sqrt{5 - x}$

Ответ и решение к заданию 25

$5 - x \geq 0$

$x \leq 5$

Ответ: $x \in ( - \infty;5\rbrack$

Задание 26

Найдите область определения функции.

$y = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Ответ и решение к заданию 26

$x^{2} - 4 \neq 0$

$(x - 2)(x + 2) \neq 0$

$x \neq \pm 2$

Ответ: x ≠ −2, x ≠ 2

Задание 27

Найдите нули функции.

$y = (x - 1)(x + 3)$

Ответ и решение к заданию 27

$(x - 1)(x + 3) = 0$

$x = 1\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = - 3$

Ответ: $x \in \{ - 3;1\}$

Задание 28

При каких x функция положительна?

$y = (x - 1)(x + 3)$

Ответ и решение к заданию 28

Корни −3 и 1. Произведение положительно вне корней.

$x < - 3\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x > 1$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$

Задание 29

По графику укажите, где функция убывает и где возрастает.

Парабола y = (x − 1)² с вершиной (1; 0) — Рисунок к заданию.

Ответ и решение к заданию 29

Вершина имеет абсциссу 1. Слева направо до вершины значения уменьшаются, после вершины увеличиваются.

Ответ: убывает при x < 1; возрастает при x > 1

Задание 30

Найдите координаты вершины графика.

$y = |x + 2| - 1$

Ответ и решение к заданию 30

Модуль равен нулю при x = −2; тогда y = −1.

Ответ: (−2; −1)

Задание 31

Прямая проходит через начало координат и точку (3; 6). Найдите её формулу.

$y = kx$

Ответ и решение к заданию 31

$6 = 3k$

$k = 2$

$y = 2x$

Ответ: $y = 2x$

Задание 32

Найдите абсциссы точек пересечения графиков.

$y = x^{2},\quad\quad y = 2x + 3$

Ответ и решение к заданию 32

$x^{2} = 2x + 3$

$x^{2} - 2x - 3 = 0$

$(x + 1)(x - 3) = 0$

$x = - 1\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = 3$

Ответ: $x \in \{ - 1;3\}$

Повторение: уравнения и неравенства

Задание 33

Решите неравенство.

$\frac{x + 2}{x - 4} \leq 0$

Ответ и решение к заданию 33

$x \neq 4$

Ноль числителя −2 включаем, ноль знаменателя 4 исключаем.

$x \in \lbrack - 2;4)$

Ответ: $x \in \lbrack - 2;4)$

Задание 34

Решите уравнение на промежутке [0; 2π].

$\cos x = \frac{1}{2}$

Ответ и решение к заданию 34

$x = \frac{\pi}{3}\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = \frac{5\pi}{3}$

Ответ: $x \in \{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\}$

Задание 35

Решите уравнение.

$2^{x + 1} = 32$

Ответ и решение к заданию 35

$32 = 2^{5}$

$x + 1 = 5$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$

03. Сложный уровень - задания 36-40

Задание 36

График функции проходит через точку (3; −2). Найдите k.

$y = kx + 4$

Ответ и решение к заданию 36

$- 2 = 3k + 4$

$3k = - 6$

$k = - 2$

Ответ: $k = - 2$

Задание 37

Найдите наименьшее значение функции.

$y = x^{2} - 4x + 3$

Ответ и решение к заданию 37

$y = (x - 2)^{2} - 1$

Квадрат минимален при x = 2, поэтому минимальное значение равно −1.

Ответ: −1

Задание 38

Найдите точки пересечения графиков.

$y = x^{2},\quad\quad y = x + 2$

Ответ и решение к заданию 38

$x^{2} = x + 2$

$(x + 1)(x - 2) = 0$

$x = - 1\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} x = 2$

$y = 1\mspace{6mu}\text{или}\mspace{6mu} y = 4$

Ответ: (−1; 1) и (2; 4)

Задание 39

Найдите область определения функции.

$y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}}$

Ответ и решение к заданию 39

$\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0,\quad x \neq - 2$

Критические точки −2 и 1. Отношение неотрицательно на внешних интервалах.

$x \in ( - \infty; - 2) \cup \lbrack 1; + \infty)$

Ответ: $x \in ( - \infty; - 2) \cup \lbrack 1; + \infty)$

Задание 40

По графику определите число решений уравнения x² = 2.

Парабола y = x² и прямая y = 2 пересекаются в двух точках — Рисунок к заданию.

Ответ и решение к заданию 40

Горизонтальная прямая y = 2 пересекает параболу y = x² в двух точках.

$x = \pm \sqrt{2}$

Ответ: 2

04. Как продолжить после теста

Если ответ не совпал, определите первый шаг, на котором возникло расхождение. Повторите соответствующее правило в теории, затем решите задание ещё раз без подсказки.

Вернуться к теории урока