Урок 11. Тестовые задания (40 вопросов)

$$f\prime(x) = 2x$$

$$f\prime(3) = 2 \cdot 3 = 6$$

Ответ: $6$

$$f\prime(x) = 3x^{2}$$

$$f\prime(2) = 3 \cdot 2^{2} = 12$$

Ответ: $12$

$$f\prime(x) = 5$$

Ответ: $5$

Постоянная функция не меняется, поэтому скорость изменения равна нулю.

$$f\prime(x) = 0$$

Ответ: $0$

$$f\prime(x) = 2x - 4$$

$$f\prime(1) = 2 - 4 = - 2$$

Ответ: $- 2$

$$k = \frac{3 - ( - 1)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $2$

$$k = \tan 45^{\circ} = 1$$

Ответ: $1$

Положительная производная означает положительный наклон касательных.

Функция возрастает.

Ответ: возрастает

Отрицательная производная означает отрицательный наклон касательных.

Функция убывает.

Ответ: убывает

У горизонтальной прямой коэффициент наклона равен нулю.

$$f\prime\left( x_{0} \right) = 0$$

Ответ: $0$

Берём две отмеченные точки касательной: (0; −1) и (1; 1).

$$f\prime(1) = k = \frac{1 - ( - 1)}{1 - 0} = 2$$

Ответ: $2$

При x = 0 график имеет ординату −4.

$$f\prime(0) = - 4$$

Ответ: $- 4$

$$x^{2} - 4 > 0$$

$$(x - 2)(x + 2) > 0$$

$$x \in ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$$

Ответ: $( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

$$x^{2} - 4 = 0$$

$$x = - 2\text{ или }x = 2$$

Ответ: $2$

$$y = 5 + 3(x - 2)$$

$$y = 3x - 1$$

Ответ: $y = 3x - 1$

$$f(2) = 4,\quad\quad f\prime(x) = 2x,\quad\quad f\prime(2) = 4$$

$$y = 4 + 4(x - 2) = 4x - 4$$

Ответ: $y = 4x - 4$

$$v(t) = s\prime(t) = 2t + 2$$

$$v(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8$$

Ответ: 8 м/с

Делим единицы функции на единицы аргумента: километры на часы.

Ответ: км/ч

$$f\prime(x) = 3x^{2} - 6x + 4$$

$$f\prime(1) = 3 - 6 + 4 = 1$$

Ответ: $1$

$$f\prime(x) = 4x^{3} - 4x$$

$$f\prime(1) = 4 - 4 = 0$$

Ответ: $0$

$$f\prime(x) = - \frac{1}{x^{2}}$$

$$f\prime(2) = - \frac{1}{4}$$

Ответ: $- \frac{1}{4}$

$$f\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$f\prime(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$

$$f\prime\left( x_{0} \right) = k = \frac{10 - 2}{3 - ( - 1)} = \frac{8}{4} = 2$$

Ответ: $2$

$$y = 2 - 3(x - 1)$$

$$y = - 3x + 5$$

Ответ: $y = - 3x + 5$

$$f( - 1) = 2,\quad\quad f\prime(x) = 2x,\quad\quad f\prime( - 1) = - 2$$

$$y = 2 - 2(x + 1) = - 2x$$

Ответ: $y = - 2x$

Функция возрастает там, где производная положительна.

$$(x + 3)(x - 1) > 0$$

$$x \in ( - \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$$

Ответ: $( - \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$

Максимум возникает при смене знака производной с «+» на «−». Это происходит при x = −3 и x = 4.

Ответ: $2$

Минимум возникает при смене знака производной с «−» на «+». Это происходит только при x = 1.

Ответ: $1$

$$v(t) = s\prime(t) = 3t^{2} - 12t + 9$$

$$v(1) = 3 - 12 + 9 = 0$$

Ответ: 0 м/с

Параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент наклона.

$$f\prime(x) = 2x = 4$$

$$x = 2$$

Ответ: $2$

$$f\prime(x) = 2(2x - 1) \cdot 2 = 4(2x - 1)$$

$$f\prime(1) = 4$$

Ответ: $4$

Пусть абсцисса точки касания равна a. Касательная имеет вид y = 2ax − a².

$$- a^{2} = - 4$$

$$a = \pm 2$$

$$( - 2) + 2 = 0$$

Ответ: $0$

$$f\prime(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$

$$x = - 1\text{ или }x = 1$$

$$f( - 1) = 2,\quad\quad f(1) = - 2$$

Ответ: $( - 1;2),\ (1; - 2)$

$$x \neq 0,\quad\quad f\prime(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$$

$$1 - \frac{1}{x^{2}} = 0$$

$$x^{2} = 1,\quad\quad x = \pm 1$$

Ответ: $- 1;\ 1$

$$f(3) = 3,\quad\quad f\prime(x) = 2x - 2,\quad\quad f\prime(3) = 4$$

$$y = 3 + 4(x - 3) = 4x - 9$$

На оси Oy имеем x = 0, поэтому y = −9.

Ответ: $- 9$

Во всех трёх нулях производная меняет знак. Значит каждый нуль соответствует экстремуму функции.

Ответ: $3$