Урок 14. Текстовые задачи: движение

01. Три величины движения

Для равномерного движения путь, скорость и время связаны равенством $s=vt$. Из него получаются $t=s/v$ и $v=s/t$. Здесь скорость постоянна на рассматриваемом участке, время положительно, а единицы согласованы: километры с часами или метры с секундами.

Перед составлением уравнения полезно сделать таблицу. В каждой строке - один участник или один этап пути, в столбцах - путь, скорость и время. Если величина неизвестна, выразите её через выбранную переменную. Не добавляйте в одну строку разные этапы с разными скоростями.

02. Встреча и догоняние

При движении навстречу расстояние между участниками за час уменьшается на сумму пройденных ими расстояний. Поэтому скорость сближения равна $v_1+v_2$, а время встречи - $S/(v_1+v_2)$.

При движении в одном направлении быстрый сокращает отрыв на $v_{\text{быстр}}-v_{\text{медл}}$ за час. Для догоняния нужно, чтобы эта разность была положительной. Если впереди более быстрый участник, догоняния при постоянных скоростях не будет.

Например, велосипедист со скоростью 12 км/ч получает двухчасовую фору: его отрыв равен 24 км. Второй едет 18 км/ч и сокращает отрыв на 6 км в час. Он догонит первого через 4 часа после своего старта; первый к этому моменту будет в пути 6 часов.

03. Движение по реке

Собственная скорость $v$ - скорость лодки относительно воды, скорость течения $u$ - скорость воды относительно берега. По течению относительно берега получается $v+u$, против течения - $v-u$. Для продвижения вверх по реке требуется $v>u$.

Из известных скоростей по течению и против него можно восстановить обе величины:

$$v=\frac{v_{\text{по}}+v_{\text{против}}}{2},\qquad u=\frac{v_{\text{по}}-v_{\text{против}}}{2}.$$

Если расстояния туда и обратно одинаковы, приравнивайте пути: $t_1(v+u)=t_2(v-u)$. Если дано общее время, складывайте времена: $S_1/(v+u)+S_2/(v-u)=T$. После решения уравнения проверьте $v>u$ и подставьте скорость в обе части маршрута.

04. Средняя скорость

Средняя скорость за поездку равна общему пути, делённому на всё затраченное время:

$$v_{\text{ср}}=\frac{s_1+s_2+\cdots}{t_1+t_2+\cdots}.$$

Среднее арифметическое скоростей подходит только для равных промежутков времени. На равных расстояниях медленный участок занимает больше времени и сильнее влияет на итог. Для двух равных участков без остановок получается $2v_1v_2/(v_1+v_2)$.

При скоростях 60 и 40 км/ч на равных расстояниях результат равен 48 км/ч. Он лежит между 40 и 60, но ниже их среднего арифметического. Остановка добавляет время и не добавляет путь, поэтому уменьшает среднюю скорость за всю поездку.

05. Поезда, платформы и тоннели

Чтобы поезд полностью прошёл столб, его передняя точка должна пройти длину поезда. Чтобы весь поезд миновал тоннель, нужно пройти сумму длин поезда и тоннеля. Для полного расхождения двух поездов относительный путь равен сумме их длин.

Если поезда движутся навстречу, относительная скорость - сумма; при обгоне в одном направлении - разность. Длины обычно даны в метрах, поэтому км/ч переводят в м/с до деления. Слово «полностью» определяет, какие длины надо сложить.

06. Движение по кругу

При старте из одной точки в противоположных направлениях первая встреча после старта произойдёт, когда сумма пройденных путей составит длину круга $L$: $t=L/(v_1+v_2)$. При одном направлении быстрый должен выиграть у медленного целый круг: $t=L/|v_1-v_2|$, если скорости различны.

07. Самопроверка модели

Укажите начало отсчёта времени, проверьте единицы и положительность всех времён. В ответе на вопрос о средней скорости учитывайте остановки, если речь о всей поездке. Найденный корень проверяйте исходным условием, особенно если при решении умножали на выражение с неизвестной в знаменателе.

08. Подробные объяснения и разобранные примеры

09. Опорные формулы

$$s = vt,\quad\quad t = \frac{s}{v},\quad\quad v = \frac{s}{t}$$

$$v_{\text{сближ}} = v_{1} + v_{2},\quad\quad v_{\text{дог}} = \left| v_{1} - v_{2} \right|$$

$$v_{\text{ср}} = \frac{s_{1} + s_{2} + \cdots}{t_{1} + t_{2} + \cdots}$$

$$v_{\text{по теч}} = v_{\text{соб}} + u,\quad\quad v_{\text{против}} = v_{\text{соб}} - u$$

10. Практика по теме

Перейти к 40 заданиям с ответами и решениями. Ответ каждого задания раскрывается отдельно.

11. Вопросы по теме

Когда скорости складывают, а когда вычитают?

При встречном движении скорости сближения складывают. При догонянии в одном направлении из большей скорости вычитают меньшую.

Можно ли найти среднюю скорость как среднее арифметическое?

Только при равных временах движения с каждой скоростью. В остальных случаях разделите весь путь на всё время, включая остановки, если учитывается вся поездка.

12. Самостоятельная работа

Сначала решите задания 1-20 в тесте. После проверки переходите к заданиям 21-35, затем к 36-40. Задания на повторение выделены отдельно. К каждому ошибочному ответу запишите причину и повторите решение без подсказки.

Предыдущая тема: Прикладные расчёты по формуле.