Урок 7. Тригонометрические уравнения: 40 заданий с решениями

1. На единичной окружности отмечаем точки с ординатой $0$.

2. Записываем соответствующие углы и учитываем период $2\pi$.

3. Получаем $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

1. На единичной окружности отмечаем точки с ординатой $\frac{1}{2}$.

2. Записываем соответствующие углы и учитываем период $2\pi$.

3. Получаем $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

Шаг 1. Для $u=2x-\frac\pi6$ получаем $u=-\frac\pi6+2\pi k$ или $u=\frac{7\pi}6+2\pi k$.

Шаг 2. Прибавляем $\frac\pi6$ и делим обе части на 2. Период по $x$ становится равным $\pi$.

Ответ. $x=\pi k$ или $x=\frac{2\pi}3+\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

1. На единичной окружности отмечаем точки с ординатой $1$.

2. Записываем соответствующие углы и учитываем период $2\pi$.

3. Получаем $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

Для любого действительного $x$ выполнено $-1\le\sin x\le1$. Значение $\frac32$ не достигается. Ответ. Решений нет.

1. На единичной окружности ищем точки с абсциссой $0$.

2. Учитываем симметрию косинуса и его период $2\pi$.

3. Получаем $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

1. На единичной окружности ищем точки с абсциссой $\frac{1}{2}$.

2. Учитываем симметрию косинуса и его период $2\pi$.

3. Получаем $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

Шаг 1. $3x+\frac\pi4=\pm\frac{2\pi}3+2\pi k$.

Шаг 2. Из каждой ветви отдельно выражаем $x$.

Ответ. $x=\frac{5\pi}{36}+\frac{2\pi k}3$ или $x=-\frac{11\pi}{36}+\frac{2\pi k}3$, $k\in\mathbb Z$.

Равенство означает $\cos x=1$ или $\cos x=-1$. Две семьи $2\pi k$ и $\pi+2\pi k$ объединяются в одну. Ответ. $x=\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Подставляем $\sin^2x=1-\cos^2x$. Получаем $\cos x(1-\cos x)=0$. Каждая ветвь допустима. Ответ. $x=\frac\pi2+\pi k$ или $x=2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Тангенс равен нулю при аргументе $\pi k$. Поэтому $2x-\frac\pi3=\pi k$. Найденные значения не обращают косинус аргумента в нуль. Ответ. $x=\frac\pi6+\frac{\pi k}2$, $k\in\mathbb Z$.

Шаг 1. ОДЗ: $\cos x\ne-1$, то есть $x\ne\pi+2\pi k$.

Шаг 2. Числитель равен нулю при $x=\pi k$. Из этой семьи исключаем нечётные кратные $\pi$.

Ответ. $x=2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Шаг 1. При $\cos x=0$ левая часть равна 1. Таких корней нет, поэтому можно делить на $\cos^2x$.

Шаг 2. При $t=\tan x$ получаем $(t-2)(t+1)=0$.

Ответ. $x=\arctan2+\pi k$ или $x=-\frac\pi4+\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Левая часть равна $2\sin(x+\frac\pi3)$. Максимум достигается только при $x+\frac\pi3=\frac\pi2+2\pi k$. Ответ. $x=\frac\pi6+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

1. Выбираем преобразование: перенос, разложение на множители или формулу суммы в произведение.

2. Получаем равносильную запись $cosx\ne 0$ и $tanx=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

3. Решаем каждое простейшее тригонометрическое уравнение отдельно.

4. Проверяем, что деление не использовалось без контроля нулевого множителя.

5. Объединяем серии: $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

1. Выбираем преобразование: перенос, разложение на множители или формулу суммы в произведение.

2. Получаем равносильную запись $2x=\pi k$.

3. Решаем каждое простейшее тригонометрическое уравнение отдельно.

4. Проверяем, что деление не использовалось без контроля нулевого множителя.

5. Объединяем серии: $x=\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$

1. $16=2^4$.

2. Приравниваем показатели: $x+1=4$.

3. Получаем $x=3$.

Ответ. $3$

1. ОДЗ: $x>1$.

2. $x-1=3^2=9$.

3. $x=10$ входит в ОДЗ.

Ответ. $10$

1. Амплитуда равна $\sqrt{3^2+4^2}$.

2. Получаем 5.

3. Представление через синус с фазовым сдвигом существует.

4. Максимум синуса равен 1.

5. Поэтому максимум равен 5.

Ответ. $5$

1. Требуется $x\ge 0$.

2. Квадрат даёт $x+6=x^2$.

3. $x^2-x-6=0$.

4. Кандидаты 3 и -2.

5. Условие знака оставляет 3.

Ответ. $3$

1. Выбираем преобразование: перенос, разложение на множители или формулу суммы в произведение.

2. Получаем равносильную запись $2x-\frac{\pi }{3}=2\pi k$.

3. Решаем каждое простейшее тригонометрическое уравнение отдельно.

4. Проверяем, что деление не использовалось без контроля нулевого множителя.

5. Объединяем серии: $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

1. Выбираем преобразование: перенос, разложение на множители или формулу суммы в произведение.

2. Получаем равносильную запись $sinx=0$ или $cosx=\frac{1}{2}$.

3. Решаем каждое простейшее тригонометрическое уравнение отдельно.

4. Проверяем, что деление не использовалось без контроля нулевого множителя.

5. Объединяем серии: $x=\pi k$ или $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\pi k$ или $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

Шаг 1. ОДЗ: $\cos x\ne0$.

Шаг 2. Числитель: $\sin x(2\sin x-1)=0$. Отсюда $\sin x=0$ или $\sin x=\frac12$.

Шаг 3. Во всех найденных точках косинус отличен от нуля.

Ответ. $x=\pi k$; $x=\frac\pi6+2\pi k$; $x=\frac{5\pi}6+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Шаг 1. Вводим $t=\sin x+\cos x\in[-\sqrt2;\sqrt2]$. Тогда $\sin2x=t^2-1$.

Шаг 2. Уравнение принимает вид $t=t^2$. Оба значения $t=0,1$ допустимы.

Шаг 3. Для $t=0$ имеем $\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)=0$. Для $t=1$ получаем две серии синуса.

Ответ. $x=-\frac\pi4+\pi k$; $x=2\pi k$; $x=\frac\pi2+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

1. Выбираем преобразование: перенос, разложение на множители или формулу суммы в произведение.

2. Получаем равносильную запись $2sin2xcosx=0$.

3. Решаем каждое простейшее тригонометрическое уравнение отдельно.

4. Проверяем, что деление не использовалось без контроля нулевого множителя.

5. Объединяем серии: $x=\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$

1. Выбираем преобразование: перенос, разложение на множители или формулу суммы в произведение.

2. Получаем равносильную запись $2sin2xsinx=0$.

3. Решаем каждое простейшее тригонометрическое уравнение отдельно.

4. Проверяем, что деление не использовалось без контроля нулевого множителя.

5. Объединяем серии: $x=\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ. $x=\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$

Шаг 1. Записываем общие серии. $x=\frac\pi6+2\pi k$ и $x=\frac{5\pi}6+2\pi k$. Условия отбора дают $-\frac1{12}\le k\le\frac{11}{12}$ и $-\frac5{12}\le k\le\frac7{12}$. В обеих сериях только $k=0$.

Ответ. $\frac{\pi}{6},\ \frac{5 \pi}{6}$.

Шаг 1. Записываем общие серии. $x=\frac{2\pi}3+2\pi k$ и $x=-\frac{2\pi}3+2\pi k$. Диапазоны $-\frac56\le k\le\frac16$ и $-\frac16\le k\le\frac56$ содержат только $k=0$.

Ответ. $- \frac{2 \pi}{3},\ \frac{2 \pi}{3}$.

Шаг 1. Записываем общие серии. $x=\frac\pi4+\pi k$. Из $-\pi\le x\le\pi$ получаем $-\frac54\le k\le\frac34$, поэтому $k=-1,0$. Точки $\pm\frac\pi2$ не входят в ОДЗ и среди найденных корней отсутствуют.

Ответ. $- \frac{3 \pi}{4},\ \frac{\pi}{4}$.

Шаг 1. Записываем общие серии. $x=\frac{\pi k}2$. Условие отбора даёт $0\le k\le4$, то есть $k=0,1,2,3,4$. Обе границы отрезка входят в ответ.

Ответ. $0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3 \pi}{2},\ 2 \pi$.

Шаг 1. Подставим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Получаем $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$.

Шаг 2. При $t=\sin x$ корни равны $t=\frac{1}{2}$ и $t=-2$. Второе значение невозможно, поэтому $\sin x=\frac{1}{2}$.

Шаг 3. Общие решения: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in Z$.

Шаг 4. На $[-2\pi ;0]$ попадают $x=-\frac{11\pi }{6}$ и $x=-\frac{7\pi }{6}$.

Проверка полноты. Недопустимый корень $t=-2$ исключён до отбора; обе серии $\sin x=\frac{1}{2}$ рассмотрены.

Ответ. а) $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$; б) $-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6}$.

Шаг 1. Используем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и переносим всё влево: $\cos x(2\sin x-1)=0$.

Шаг 2. Первая ветвь даёт $\cos x=0$, то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Вторая - $\sin x=\frac{1}{2}$, то есть $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$.

Шаг 3. На $[0;2\pi ]$ получаем $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{3\pi }{2}$.

Проверка полноты. Деления на $\cos x$ не было, поэтому ветвь $\cos x=0$ не потеряна; все три серии отобраны независимо.

Ответ. а) $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in Z$; б) $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$.

Шаг 1. Положим $t=\cos x$ и используем $\cos 2x=2t^2-1$. Получаем $2t^2+t-1=0$.

Шаг 2. Отсюда $t=\frac{1}{2}$ или $t=-1$. Поэтому $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$ либо $x=\pi +2\pi k,k\in Z$.

Шаг 3. На $[-\pi ;\pi ]$ первая серия даёт $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{\pi }{3}$, а вторая - обе граничные точки $-\pi$ и $\pi$.

Проверка полноты. Значения $t$ допустимы для косинуса; обе равные по модулю, но разные точки закрытого отрезка учтены.

Ответ. а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=\pi +2\pi k,k\in Z$; б) $-\pi ,-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\pi$.

Шаг 1. Представим левую часть как $\sqrt{2}·\sin (x+\frac{\pi }{4})$. Тогда $\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2. Получаем $x=2\pi k$ или $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in Z$.

Шаг 3. На заданном отрезке лежат $0,\frac{\pi }{2}$ и $2\pi$.

Проверка полноты. Обе стандартные серии для синуса учтены; правая граница $2\pi$ входит в отрезок.

Ответ. а) $x=2\pi k$ или $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; б) $0,\frac{\pi }{2},2\pi$.

Шаг 1. Используем $\cos(\pi-2x)=-\cos2x$ и $1-\cos2x=2\sin^2x$. После переноса получаем $$(2\sin x-\sqrt3)(2\sin x+\sqrt2)=0.$$ Шаг 2. Все серии: $$x=\frac\pi3+2\pi k,\quad x=\frac{2\pi}3+2\pi k,$$ $$x=-\frac\pi4+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}4+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$ Шаг 3. Условие $3\pi\le x\le\frac{9\pi}2$ для четырёх серий даёт соответственно $\frac43\le k\le\frac{25}{12}$; $\frac76\le k\le\frac{23}{12}$; $\frac{13}8\le k\le\frac{19}8$; $\frac78\le k\le\frac{13}8$. Целые индексы: 2; ни одного; 2; 1.

Ответ. а) четыре серии выше; б) $\frac{13\pi}4,\frac{15\pi}4,\frac{13\pi}3$.

Шаг 1. ОДЗ: $\sin x\cos x\ne 0$. На ОДЗ $\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$.

Шаг 2. Поэтому $\sin 2x=\frac{1}{2}$, откуда $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{12}+\pi k$.

Шаг 3. На $(0;\pi )$ остаются $\frac{\pi }{12}$ и $\frac{5\pi }{12}$; обе точки допустимы.

Проверка полноты. Формула получена только на ОДЗ; отбор по обеим сериям выполнен на открытом интервале.

Ответ. а) $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{12}+\pi k,k\in Z$; б) $\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}$.

Шаг 1. По формуле разности $\sin 3x-\sin x=2\cos 2x·\sin x$. Поэтому $\sin x=0$ или $\cos 2x=0$.

Шаг 2. Общие решения: $x=\pi k$ либо $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in Z$.

Шаг 3. На $[0;2\pi ]$ получаем $0,\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},2\pi$.

Проверка полноты. Две ветви произведения не пересекаются на найденных точках и вместе исчерпывают все решения.

Ответ. а) $x=\pi k$ или $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in Z$; б) $0,\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},2\pi$.

Шаг 1. Сгруппируем крайние слагаемые: $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$.

Шаг 2. Тогда уравнение принимает вид $\cos 2x(2\cos x+1)=0$.

Шаг 3. Первая ветвь: $\cos 2x=0$, то есть $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$. Вторая: $\cos x=-\frac{1}{2}$, то есть $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$.

Шаг 4. На $[0;2\pi ]$ получаем $\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{4\pi }{3},\frac{7\pi }{4}$.

Проверка полноты. Равносильное разложение на множители не содержит деления; совпадений между двумя отобранными сериями нет.

Ответ. а) $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$ или $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in Z$; б) $\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{4\pi }{3},\frac{7\pi }{4}$.

Шаг 1. Уравнение равносильно $(\cos x-a)^2=\frac14$. Значения замены $t=\cos x$ равны $a-\frac12$ и $a+\frac12$ и всегда различны.

Шаг 2. Каждый уровень строго внутри $(-1;1)$ даёт два угла; уровень $-1$ или $1$ даёт один; вне $[-1;1]$ углов нет. Точка $2\pi$ исключена.

Шаг 3. Уровни пересекают границы диапазона при $a=-\frac32,-\frac12,\frac12,\frac32$. Суммируем числа углов для обоих уровней.

Ответ. 4 корня при $|a|<\frac12$; 3 при $|a|=\frac12$; 2 при $\frac12<|a|<\frac32$; 1 при $|a|=\frac32$; 0 при $|a|>\frac32$.

Шаг 1. Обозначим $t=\sin x$. Требуется $-1\le t\le1$ и $t\ne a$. Числитель равен $(2t-a)(t-1)$.

Шаг 2. Уровень $t=1$ даёт один угол, кроме случая $a=1$, когда он запрещён. Уровень $t=\frac a2$ существует при $|a|\le2$, запрещён при $a=0$ и совпадает с первым при $a=2$.

Шаг 3. При $-2<a<2$ и $a\notin\{0;1\}$ второй уровень даёт два угла, первый ещё один. При $a=-2$ получаем два крайних уровня, при $a=1$ только $t=\frac12$. При $a=0$ остаётся $t=1$; при $a=2$ два уровня совпадают, поэтому корень один.

Ответ. 3 корня при $a\in(-2;0)\cup(0;1)\cup(1;2)$; 2 при $a\in\{-2;1\}$; 1 при $a\in(-\infty;-2)\cup\{0\}\cup[2;+\infty)$.