Урок 2. Степени и корни: 40 заданий с решениями

1. При одинаковом ненулевом основании показатели при делении вычитаются.

2. Получаем $2^{7-5}=2^2$.

3. Числовое значение равно $4$.

Ответ. $4$

$3^{-2}=\frac19$, $9^{\frac12}=3$. Поэтому $\frac{\frac19\cdot27}{3}=1$.

Ответ. $1$.

1. При одинаковом ненулевом основании показатели при делении вычитаются.

2. Получаем $5^{4-2}=5^2$.

3. Числовое значение равно $25$.

Ответ. $25$

Отрицательная степень и знаменатель требуют $a\ne0$, $b\ne0$. Выражение равно $a^{-4}b^6a^5b^{-4}=ab^2$. Ограничения сохраняются после упрощения.

Ответ. $ab^2$, $a\ne0$, $b\ne0$.

1. Выделяем наибольший квадратный множитель: $72=6^2\cdot 2$.

2. Для неотрицательных множителей используем $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.

3. Получаем $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Ответ. $6\sqrt{2}$

Выделяем полные квадраты: $5\sqrt2-2\sqrt2+3\sqrt2=6\sqrt2$.

Ответ. $6\sqrt2$.

1. Выделяем наибольший квадратный множитель: $288={12}^2\cdot 2$.

2. Для неотрицательных множителей используем $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.

3. Получаем $\sqrt{288}=12\sqrt{2}$.

Ответ. $12\sqrt{2}$

$\sqrt{72a^2}=\sqrt{36\cdot2}\sqrt{a^2}=6\sqrt2\,|a|$. Модуль нужен, потому что арифметический корень неотрицателен.

Ответ. $6|a|\sqrt2$.

1. По определению $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$ при $a>0$.

2. $\sqrt[4]{16}=2$.

3. Следовательно, значение равно $2^3=8$.

Ответ. $8$

Сначала извлекаем кубический корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac32$. Затем возводим в квадрат: $\frac94$.

Ответ. $\frac94$.

1. По определению $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$ при $a>0$.

2. $\sqrt[4]{81}=3$.

3. Следовательно, значение равно $3^3=27$.

Ответ. $27$

Кубический корень из $-64$ равен $-4$, так как $(-4)^3=-64$. Арифметический квадратный корень из 16 равен 4. Сумма равна 0. У корня нечётной степени знак совпадает со знаком подкоренного числа.

Ответ. $0$.

1. Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.

2. Поэтому для любого действительного $u$ выполняется $\sqrt{u^2}=\left|u\right|$.

3. Здесь $\left|3\right|=3$.

Ответ. $3$

1. Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.

2. Поэтому для любого действительного $u$ выполняется $\sqrt{u^2}=\left|u\right|$.

3. Здесь $|-5|=5$.

Ответ. $5$

Это $|a-2|-(a-2)$. При $a\ge2$ разность равна 0; при $a<2$ получаем $2-a-a+2=4-2a$. Обе формулы дают 0 на границе.

Ответ. $\begin{cases}4-2a,&a<2,\\0,&a\ge2.\end{cases}$

1. Сопряжённое выражение к $\sqrt{5}-2$ равно $\sqrt{5}+2$.

2. Умножаем числитель и знаменатель на это ненулевое выражение.

3. В знаменателе получаем разность квадратов: $5-4=1$.

4. Числитель становится $\sqrt{5}+2$.

5. Итог: $\frac{\sqrt{5}+2}{1}$.

Ответ. $\frac{\sqrt{5}+2}{1}$

1. Сопряжённое выражение к $\sqrt{7}-2$ равно $\sqrt{7}+2$.

2. Умножаем числитель и знаменатель на это ненулевое выражение.

3. В знаменателе получаем разность квадратов: $7-4=3$.

4. Числитель становится $\sqrt{7}+2$.

5. Итог: $\frac{\sqrt{7}+2}{3}$.

Ответ. $\frac{\sqrt{7}+2}{3}$

Общий знаменатель равен $7-3=4$. Числитель $(\sqrt7+\sqrt3)^2+(\sqrt7-\sqrt3)^2=2(7+3)=20$.

Ответ. $5$.

1. Распознаём разность кубов: $x^3-27=x^3-3^3$.

2. Используем $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

3. Получаем $(x-3)(x^2+3x+9)$.

Ответ. $(x-3)(x^2+3x+9)$

$x^2-9=(x-3)(x+3)$. Исходный знаменатель ненулевой при $x\ne 3$. Сокращение даёт ответ: $x+3$ при $x\ne 3$.

1. Сопряжённое выражение к $\sqrt{13}-2$ равно $\sqrt{13}+2$.

2. Умножаем числитель и знаменатель на это ненулевое выражение.

3. В знаменателе получаем разность квадратов: $13-4=9$.

4. Числитель становится $\sqrt{13}+2$.

5. Итог: $\frac{\sqrt{13}+2}{9}$.

Ответ. $\frac{\sqrt{13}+2}{9}$

1. Ищем представление подкоренного выражения как ${(\sqrt{u}+\sqrt{v})}^2$.

2. Нужно $u+v=3$ и $uv=2$.

3. Подходят $u=2$ и $v=1$.

4. Следовательно, под корнем стоит ${(\sqrt{2}+1)}^2$.

5. Число $\sqrt{2}+1$ положительно, поэтому результат равен $\sqrt{2}+1$ без дополнительного модуля.

Ответ. $\sqrt{2}+1$

1. Ищем представление подкоренного выражения как ${(\sqrt{u}+\sqrt{v})}^2$.

2. Нужно $u+v=4$ и $uv=3$.

3. Подходят $u=3$ и $v=1$.

4. Следовательно, под корнем стоит ${(\sqrt{3}+1)}^2$.

5. Число $\sqrt{3}+1$ положительно, поэтому результат равен $\sqrt{3}+1$ без дополнительного модуля.

Ответ. $\sqrt{3}+1$

$7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$. Так как $2>\sqrt3$, получаем $|2-\sqrt3|=2-\sqrt3$.

Ответ. $2-\sqrt3$.

Под корнями квадраты $(\sqrt t+1)^2$ и $(\sqrt t-1)^2$. Получаем $\sqrt t+1+|\sqrt t-1|$. При $0\le t\le1$ это 2, при $t>1$ — $2\sqrt t$.

Ответ. $2$ при $0\le t\le1$; $2\sqrt t$ при $t>1$.

1. Рационализируем разность: $\sqrt{n}-k=\frac{n-k^2}{\sqrt{n}+k}$.

2. Здесь $n-k^2=50-49=1$.

3. Поэтому $\sqrt{50}-7=\frac{1}{\sqrt{50}+7}$.

4. Так как $\sqrt{50}>7$, знаменатель больше $14$.

5. При положительных знаменателях получаем $\sqrt{50}-7<\frac{1}{14}$.

Ответ. $\sqrt{50}-7<\frac{1}{14}$

Умножаем на сопряжённое: $\sqrt{a+1}-\sqrt a=\frac1{\sqrt{a+1}+\sqrt a}$. При увеличении $a$ обе функции в положительном знаменателе строго возрастают. Поэтому дробь строго убывает.

Ответ. Строго убывает на $[0;+\infty)$.

Шаг 1. Все выражения неотрицательны, поэтому допустимо сравнивать квадраты.

Шаг 2. Левая оценка после возведения в квадрат равносильна $a+b\le a+b+2\sqrt{ab}$, что верно. Равенство возникает при $ab=0$.

Шаг 3. Правая оценка равносильна $a+b+2\sqrt{ab}\le 2a+2b$, то есть $2\sqrt{ab}\le a+b$.

Шаг 4. Последнее неравенство следует из ${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2\ge 0$. Равенство в правой оценке достигается при $a=b$.

Проверка полноты. Неотрицательность разрешает обратный переход от квадратов, а условия равенства восстановлены из точных нулей.

Ответ. Левая граница: равенство при $ab=0$; правая: при $a=b\ge 0$.

Умножаем на сопряжённое к сумме $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ и числу $\sqrt{5}$. Получаем $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2-5}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$. Ответ: $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$. Все использованные множители ненулевые.

$\sqrt{{(x-3)}^2}=|x-3|$. При $x<3$ выражение под модулем отрицательно, поэтому $|x-3|=3-x$. Ответ: $3-x$.

Для числителя нужно $x-2\ge 0$. Знаменатель должен существовать и быть ненулевым, поэтому $5-x>0$. Пересечение условий $x\ge 2$ и $x<5$ даёт ответ: $[2;5)$. Точка 2 разрешена: нулевой числитель допустим.

Получаем $|x-1|+|x+1|$. При $x<-1$ оба выражения отрицательны, сумма равна $-2x$. При $-1\le x\le 1$ сумма равна $(1-x)+(x+1)=2$. При $x>1$ сумма равна $2x$. Ответ: $-2x$ при $x<-1$; $2$ при $-1\le x\le 1$; $2x$ при $x>1$.

Исходные условия: $x\ge 0$, $x\ne 4$. Разложим $x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$ и сократим ненулевой множитель. Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ при $x\ge 0$, $x\ne 4$. Хотя новая запись имеет смысл при $x=4$, исходная дробь там не определена.

Так как $3+2=5$ и $3\cdot 2=6$, подкоренные выражения равны ${(\sqrt{3}+\sqrt{2})}^2$ и ${(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^2$. Обе суммы после извлечения корня неотрицательны, причём $\sqrt{3}>\sqrt{2}$. Разность равна $(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$. Ответ: $2\sqrt{2}$.

Обозначим $u=a^{\frac{1}{4}}$, $v=b^{\frac{1}{4}}$. Из $a\ne b$ следует $u\ne v$, поэтому можно сократить $u-v$: $\frac{u^3-v^3}{u-v}=u^2+uv+v^2$. Возвращаем обозначения. Ответ: $\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b}$.

Рационализация даёт соответственно $\sqrt{2}-1$, $\sqrt{3}-\sqrt{2}$, $2-\sqrt{3}$, поскольку разность квадратов в каждом знаменателе равна 1. Промежуточные корни при сложении сокращаются. Ответ: $1$.

Оба числа положительны. Их квадраты равны $10+2\sqrt{21}$ и $10+4\sqrt{6}$. Сравним положительные $\sqrt{21}$ и $2\sqrt{6}$: их квадраты равны 21 и 24, поэтому первое меньше. Ответ: $\sqrt{7}+\sqrt{3}<\sqrt{6}+2$.

Положим $t=\sqrt{x-1}\ge 0$, тогда $x=t^2+1$. Получаем $\sqrt{{(t+1)}^2}+\sqrt{{(t-1)}^2}=t+1+|t-1|$. При $0\le t\le 1$ результат равен 2, а при $t>1$ равен $2t$. Все подкоренные выражения неотрицательны, поскольку являются квадратами. Ответ: $2$ при $1\le x\le 2$; $2\sqrt{x-1}$ при $x>2$.

Шаг 1. ОДЗ — все действительные $x$. Левая часть равна $|x-3|+|x+1|$ — сумме расстояний от $x$ до точек 3 и $-1$.

Шаг 2. Если $x<-1$, сумма равна $2-2x$; если $-1\le x\le3$, равна 4; если $x>3$, равна $2x-2$.

Шаг 3. При $a<4$ решений нет. При $a=4$ подходит весь отрезок $[-1;3]$. При $a>4$ получаем два корня $x=1-\frac a2<-1$ и $x=1+\frac a2>3$; условия ветвей выполнены.

Ответ. При $a<4$: $\varnothing$; при $a=4$: $[-1;3]$; при $a>4$: $1\pm\frac a2$.

Шаг 1. На заданном отрезке оба корня определены. Обозначим левую часть через $f(x)>0$. Тогда $f(x)^2=8+2\sqrt{16-x^2}$.

Шаг 2. На $[-3;0]$ величина $x^2$ убывает, поэтому $f$ строго возрастает от $1+\sqrt7$ до 4. На $[0;4]$ функция строго убывает от 4 до $2\sqrt2$. Это доказывает полноту подсчёта без приблизительного чтения графика.

Шаг 3. Уровень ниже $2\sqrt2$ или выше 4 не достигается. При $2\sqrt2\le a<1+\sqrt7$ есть одна точка правой ветви. При $1+\sqrt7\le a<4$ — по одной точке каждой ветви. При $a=4$ две ветви встречаются в единственной точке $x=0$.

Границы. При $a=2\sqrt2$ подходит только $x=4$ (точка $-4$ вне отрезка). При $a=1+\sqrt7$ подходят $x=-3$ и $x=3$.

Ответ. 0 при $a<2\sqrt2$ или $a>4$; 1 при $2\sqrt2\le a<1+\sqrt7$ или $a=4$; 2 при $1+\sqrt7\le a<4$.