Урок 11. Производная и чтение графиков: 40 заданий с решениями

Средняя скорость изменения равна отношению приращений: $k=\frac{6-2}{3-1}=2$. Знаменатель ненулевой. Это коэффициент секущей, а не обязательно производная в точках $A$ или $B$ .

Ответ. $2$ .

При $h\ne0$ разностное отношение равно $\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h$. При $h\to0$ предел существует и равен $6$. Сокращать на $h$ можно до перехода к пределу: в разностном отношении $h$ не равно нулю.

Ответ. $6$ .

Геометрический смысл производной даёт $k=f\prime(2)=-3$. При увеличении абсциссы точки на касательной на единицу её ордината уменьшается на $3$. Это отрицательный наклон, но он не определяет значение $f(2)$ .

Ответ. $-3$; касательная идёт вниз слева направо.

Касательная проходит через $(1;2)$ и имеет коэффициент $4$. Поэтому $y-2=4(x-1)$, то есть $y=4x-2$. При $x=1$ получаем $y=2$; наклон действительно равен $4$. Две заданные характеристики определяют прямую однозначно.

Ответ. $y=4x-2$ .

График производной выше оси на $(-2;1)$ и $(3;+\infty)$. По признаку монотонности функция возрастает на этих промежутках; благодаря непрерывности самой $f$ граничные точки можно присоединить. За каждым концом знак меняется на отрицательный, поэтому расширить промежутки нельзя.

Ответ. $f\prime>0$ на $(-2;1)\cup(3;+\infty)$; максимальные промежутки возрастания $[-2;1]$ и $[3;+\infty)$ .

Производная отрицательна между $-1$ и $2$, а вне этого промежутка положительна. Функция строго убывает внутри; непрерывность позволяет добавить оба конца. Дальнейшее расширение захватило бы участок возрастания.

Ответ. $[-1;2]$ .

В $-2$ знак производной меняется с плюса на минус: это локальный максимум. В $1$ знак остаётся отрицательным, поэтому экстремума нет. В $3$ минус меняется на плюс: это минимум, не максимум.

Ответ. $x=-2$ .

В $-1$ производная касается оси и остаётся положительной: экстремума нет. В $0$ знак меняется с плюса на минус, в $2$ с минуса на плюс. Других смен знака не задано.

Ответ. Два экстремума: максимум при $x=0$, минимум при $x=2$ .

Параллельные невертикальные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. У заданной прямой коэффициент $5$, поэтому производная в точке касания тоже $5$. Свободный член $-1$ на наклон не влияет.

Ответ. $5$ .

$f\prime(x)=3x^2$, поэтому нулевой наклон возможен только при $x=0$. Точка графика $(0;0)$, касательная $y=0$. Производная положительна с обеих сторон от нуля; сама кубическая функция строго возрастает и меняет знак в нуле. Экстремума нет.

Ответ. Единственная касательная $y=0$ в $(0;0)$; экстремума нет.

Исходная функция определена при $x>0$. По правилу произведения $f\prime(x)=2x\ln x+x^2\frac1x=2x\ln x+x$. Оба исходных множителя дифференцируемы на этой области, иных ограничений нет.

Ответ. $f\prime(x)=x(2\ln x+1)$ при $x>0$ .

На $x\ne1$ применяем правило частного: $$f\prime(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$ Проверка другим способом: $f(x)=x+1+\frac2{x-1}$, поэтому $f\prime=1-\frac2{(x-1)^2}$, что даёт ту же формулу. Точка $1$ не добавляется после упрощения.

Ответ. $\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$ при $x\ne1$ .

Область функции $[-\frac13;+\infty)$. При $x>-\frac13$ по правилу цепочки $f\prime(x)=\frac3{2\sqrt{3x+1}}$. На границе разностное отношение справа равно $\frac{\sqrt{3h}}h=\frac{\sqrt3}{\sqrt h}$ и неограниченно растёт при $h\to0+$ .

Ответ. $\frac3{2\sqrt{3x+1}}$ при $x>-\frac13$; конечной правой производной в $-\frac13$ нет.

$1+x^2>0$ для всех действительных $x$. Производная внешнего логарифма умножается на производную внутренней функции: $f\prime(x)=\frac{2x}{1+x^2}$. Знаменатель всегда положителен, поэтому производная существует на всей прямой.

Ответ. $\frac{2x}{1+x^2}$ ,$x\in\mathbb R$ .

$|x|\geq0=f(0)$, причём при $x\ne0$ неравенство строго. Это доказывает минимум. Разностное отношение $\frac{|h|-0}{h}$ равно $1$ при $h>0$ и $-1$ при $h<0$. Односторонние пределы различны, общего предела нет.

Ответ. Строгий минимум в $0$; производная не существует.

На касательной отмечены узловые точки $(-3;-3)$ и $(2;5)$. Они нужны для определения наклона; ни одну из них не требуется принимать за точку касания. Получаем $$f\prime(x_0)=\frac{5-(-3)}{2-(-3)}=\frac85=1{,}6.$$ Рост ординаты и абсциссы положителен, знак согласуется с рисунком.

Ответ. $1{,}6$ .

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1\geq0$. Это равносильно $x\geq1$. На границе функция равна нулю и определена.

Ответ. $[1;+\infty)$ .

$9=3^2$. Основание $3>1$, поэтому строгая монотонность сохраняет порядок: $3^x\leq3^2$ равносильно $x\leq2$. Граница даёт равенство и включена.

Ответ. $(-\infty;2]$ .

Разложение $(x-2)(x+2)$ даёт нули $-2$ и $2$. Между ними произведение неположительно, снаружи положительно. Неравенство нестрогое, оба нуля включены.

Ответ. $[-2;2]$ .

Все корни $x=\frac\pi2+\pi n$ ,$n\in\mathbb Z$. Из ограничений на отрезок получаем $-\frac12\leq n\leq\frac32$, то есть $n=0,1$. Концы отрезка не являются корнями.

Ответ. Два: $\frac\pi2$ и $\frac{3\pi}2$ .

$f\prime(x)=3(x-1)(x+1)$. Знаки слева направо: плюс, минус, плюс. Поэтому $f$ возрастает на $(-\infty;-1]$ и $[1;+\infty)$, убывает на $[-1;1]$. В $-1$ максимум, в $1$ минимум. Подставляем: $f(-1)=2$ ,$f(1)=-2$. Других критических точек у многочлена нет.

Ответ. Максимум $(-1;2)$, минимум $(1;-2)$; промежутки указаны выше.

$f(1)=1$ ,$f\prime(1)=3$. Касательная $y=1+3(x-1)=3x-2$. Для общих точек решаем $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$. Кроме точки касания $x=1$, есть пересечение при $x=-2$ ,$y=-8$. Касательная может пересекать график и в другой точке.

Ответ. $y=3x-2$; дополнительная общая точка $(-2;-8)$ .

Требуется $f\prime(x_0)=2x_0=6$, поэтому $x_0=3$ ,$f(3)=9$. Касательная $y-9=6(x-3)$, то есть $y=6x-9$. Уравнение наклона линейное, других точек касания нет.

Ответ. $(3;9)$ ;$y=6x-9$ .

Угловой коэффициент $k=\tan45^\circ=1$. Из $2x_0=1$ получаем $x_0=\frac12$ ,$f(x_0)=\frac14$. Поэтому $y-\frac14=x-\frac12$ .

Ответ. $\left(\frac12;\frac14\right)$ ;$y=x-\frac14$ .

ОДЗ: $x\ne1$. Производная $\frac{(x-1)^2-2}{(x-1)^2}$ обращается в ноль при $x=1\pm\sqrt2$. Знаменатель положителен на ОДЗ; числитель положителен вне этих корней и отрицателен между ними. При $1-\sqrt2$ плюс меняется на минус, при $1+\sqrt2$ минус на плюс. Разрыв в $1$ разделяет область на две части и не принадлежит функции.

Ответ. Максимум при $1-\sqrt2$, минимум при $1+\sqrt2$. Точка $1$ не критическая: она вне ОДЗ.

ОДЗ $x>0$. Производная $f\prime=\frac{x-1}x$: отрицательна до $1$, положительна после. Функция убывает на $(0;1]$ и возрастает на $[1;+\infty)$. Для всякого другого допустимого аргумента значение строго больше $f(1)=1$. Это доказывает глобальность и единственность без сравнения произвольно выбранных точек.

Ответ. Убывание $(0;1]$, возрастание $[1;+\infty)$; минимум $1$ при $x=1$ .

$f\prime=\frac1x-2x=\frac{1-2x^2}x$. Единственный положительный нуль $x_0=\frac1{\sqrt2}$. Производная меняет плюс на минус, это максимум. Значение $f(x_0)=-\frac{\ln2}2-\frac12$. Горизонтальная касательная равна этому постоянному значению.

Ответ. $y=-\frac{1+\ln2}2$, точка максимума с абсциссой $\frac1{\sqrt2}$ .

Здесь $s$ - координата, а не накопленный путь. Скорость $v(t)=s\prime(t)=3(t-1)(t-3)$ м/с. При $t=2$ она равна $-3$ м/с: движение в отрицательном направлении. Остановки $t=1,3$. Положительная скорость при $0\leq t<1$ и $3<t\leq4$; в моменты остановки скорость нулевая.

Ответ. $-3$ м/с; остановки $1$ и $3$ с; положительное направление на $[0;1)\cup(3;4]$ .

Квадрат не меняет знак при $1$. Производная отрицательна при $x<-2$ и положительна при $x>-2$, кроме нуля $1$. Поэтому $-2$ - минимум; в $1$ экстремума нет. На $[-1;2]$ функция строго возрастает: промежутки по обе стороны от $1$ возрастают, непрерывность соединяет их. Следовательно, $f(-1)<f(2)$. Прибавление любой константы сохраняет производную, поэтому сами значения не определены.

Ответ. Единственный экстремум - минимум при $-2$ ;$f(-1)<f(2)$; значения без дополнительного условия неизвестны.

В точке $x_0$ касательная $l(x)=x_0^2+2x_0(x-x_0)=2x_0x-x_0^2$. Для любого $x$ разность $x^2-l(x)=(x-x_0)^2\geq0$. Это точное тождество, а не вывод из формы рисунка. Равенство возможно только при $x=x_0$ .

Ответ. $x^2\geq2x_0x-x_0^2$ для всех $x,x_0\in\mathbb R$; равенство только в точке касания.

Шаг 1. $g\prime(x)=3x(x-2)$; функция возрастает до $0$, убывает до $2$, затем возрастает. Экстремальные значения $g(0)=0$ ,$g(2)=-4$. Крайние ветви неограниченны, на каждой строго монотонной ветви не более одного корня уровня.

Шаг 2. При $-4<a<0$ уровень пересекает три ветви; при $a<-4$ или $a>0$ одну. На граничных уровнях соседние пересечения сливаются.

Шаг 3. При $a=0$ имеем $x^2(x-3)=0$: корни $0,3$. При $a=-4$ имеем $(x-2)^2(x+1)=0$: корни $2,-1$. Кратный корень считаем один раз.

Ответ. Три корня при $-4<a<0$, два при $a=-4,0$, один при остальных $a$ .

Шаг 1. Положим $t=x^2\geq0$. Уравнение $(t-1)^2=a+1$ при $a\geq-1$ даёт $t=1\pm\sqrt{a+1}$. Положительное $t$ даёт два $x$, нулевое один, отрицательное ни одного.

Шаг 2. При $a<-1$ решений нет. При $a=-1$ значения $t$ совпадают: только $t=1$, два корня. При $-1<a<0$ оба значения положительны и различны, четыре корня. При $a=0$ получаем $t=0,2$, три корня $0,\pm\sqrt2$. При $a>0$ допустимо только значение со знаком плюс, два корня.

Ответ. Число корней по указанным случаям: $0,2,4,3,2$; ровно три при $a=0$ .

Шаг 1. $f_a\prime(x)=4x(x^2-a)$. При $a\leq0$ единственный нуль $0$, знак минус слева и плюс справа: один минимум с нулевым значением; убывание до $0$, возрастание после.

Шаг 2. При $a>0$ нули $-\sqrt a,0,\sqrt a$. Знаки: минус, плюс, минус, плюс. Поэтому минимумы при $\pm\sqrt a$ со значением $-a^2$, максимум при $0$ со значением $0$. Промежутки монотонности разделяются этими точками; концы присоединяются по непрерывности.

Шаг 3. Три критические точки требуют $a>0$. Разность равна $a^2$, откуда $a^2=16$, значит $a=4$. При $a=-4$ условие числа точек нарушено. Все нули производной рассмотрены.

Ответ. Искомый параметр $a=4$; полное исследование приведено выше.

Шаг 1. Для левой оценки возьмём $\varphi(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}$. На $[1;+\infty)$: $$\varphi(1)=0,\qquad\varphi\prime(x)=\frac1x-\frac4{(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geq0.$$ Функция не убывает, значит $\varphi(x)\geq0$ .

Шаг 2. Для правой оценки $\psi(x)=\frac{x-\frac1x}2-\ln x$. Тогда $\psi(1)=0$ и $\psi\prime(x)=\frac{(x-1)^2}{2x^2}\geq0$. Получаем $\psi(x)\geq0$ .

Шаг 3. На $(1;+\infty)$ обе производные строго положительны, поэтому при $x>1$ обе оценки строгие. Все знаменатели положительны на заданной области.

Ответ. Оценка доказана; равенство в каждой части только при $x=1$ .

Шаг 1. Непрерывность даёт $1+a=c$: справа предел $b\ln1+c=c$, слева значение $1+a$ .

Шаг 2. После обеспечения непрерывности сравниваем односторонние производные: $2+a=b$. Без первого условия совпадение формальных производных ветвей не устраняло бы скачок.

Шаг 3. Из $f(e)=b+c=7$ получаем $3+2a=7$. Отсюда $a=2$ ,$b=4$ ,$c=3$ .

Проверка. Оба предела и значение в $1$ равны $3$, односторонние производные равны $4$ ,$f(e)=7$. Линейная система имеет единственное решение.

Ответ. $(a,b,c)=(2,4,3)$ .

Шаг 1. $g\prime(x)=4x(x^2-2)$, нули $-\sqrt2,0,\sqrt2$. Знаки: минус, плюс, минус, плюс. Минимумы $g(\pm\sqrt2)=-4$, локальный максимум $g(0)=0$. На обоих бесконечных концах $g\to+\infty$ .

Шаг 2. Ниже $-4$ пересечений нет; на уровне $-4$ два; между $-4$ и $0$ по одному на каждой из четырёх ветвей; на уровне $0$ три, поскольку средние корни совпадают в $0$; выше $0$ только две крайние ветви.

Проверка. При $a=0$ разложение $x^2(x-2)(x+2)=0$ подтверждает корни $-2,0,2$. Монотонность и значения концов доказывают существование и единственность на каждой ветви.

Ответ. $0,2,4,3,2$ корней соответственно при $a<-4$ ,$a=-4$ ,$-4<a<0$ ,$a=0$ ,$a>0$ .

Шаг 1. $f\prime(x)=3((x-a)^2+b-a^2)$. Если $b<a^2$, производная отрицательна в окрестности $a$, следовательно там функция убывает. Такое семейство не подходит.

Шаг 2. Если $b>a^2$, производная всюду положительна, строгая монотонность следует из теоремы Лагранжа.

Шаг 3. На границе $b=a^2$ имеем $f(x)=(x-a)^3+a^3$. Кубическая функция строго возрастает, хотя производная в одной точке нулевая. Этот случай включаем; интеграл для доказательства не требуется.

Ответ. $b\geq a^2$. Необходимость и достаточность проверены отдельно.

Шаг 1. Рассмотрим $h(x)=e^x-ax$, ищем уровень $b$. Если $a<0$, то $h\prime=e^x-a>0$ ,$h\to-\infty$ при $x\to-\infty$ и $h\to+\infty$ при $x\to+\infty$. По непрерывности и строгому возрастанию при любом $b$ ровно один корень.

Шаг 2. Если $a=0$, уравнение $e^x=b$ имеет один корень $\ln b$ при $b>0$ и ни одного при $b\leq0$ .

Шаг 3. Если $a>0$, единственный нуль производной $x=\ln a$. До него $h$ убывает, после возрастает. На обоих концах $h\to+\infty$, минимум $m=a-a\ln a$. Следовательно, ниже $m$ корней нет, на нём один, выше два. Равенство на границе соответствует касанию.

Ответ. При $a<0$ один корень для всех $b$; при $a=0$ один для $b>0$, иначе ноль; при $a>0$ число $0,1,2$ для $b<m$ ,$b=m$ ,$b>m$, где $m=a(1-\ln a)$ .

Шаг 1. Для $g_a(x)=x^3-3ax$ имеем $g_a\prime=3(x^2-a)$. При $a<0$ производная положительна, при $a=0$ сама функция $x^3$ строго возрастает. В обоих случаях образ $\mathbb R$, поэтому при любом $b$ ровно один корень.

Шаг 2. При $a>0$ критические точки $-\sqrt a$ и $\sqrt a$. Первая - максимум $2a\sqrt a$, вторая - минимум $-2a\sqrt a$. На трёх ветвях функция строго монотонна, крайние значения неограниченны.

Шаг 3. Если $|b|<2a\sqrt a$, каждая ветвь даёт по одному корню. При равенстве два пересечения сливаются в критической точке, получаем два различных корня. При $|b|>2a\sqrt a$ остаётся одно пересечение крайней ветви. Например, на верхней границе $g_a(x)-2a\sqrt a=(x+\sqrt a)^2(x-2\sqrt a)$ .

Ответ. При $a\leq0$ один; при $a>0$ три, два, один соответственно для $|b|<2a\sqrt a$ ,$|b|=2a\sqrt a$ ,$|b|>2a\sqrt a$ .

Шаг 1. Точки касания удовлетворяют $h(u)=4u^3-4u=k$. Производная $h\prime(u)=12u^2-4$ имеет нули $\pm\frac1{\sqrt3}$. Экстремальные уровни $\pm K$, где $K=\frac8{3\sqrt3}$. Поэтому три различные точки касания существуют при $|k|<K$, две при $|k|=K$, одна при $|k|>K$ .

Шаг 2. Проверим, не совпадают ли прямые разных точек. Свободный член касательной $q(u)=f(u)-u f\prime(u)=-3u^4+2u^2$. Если $u\ne v$, но $h(u)=h(v)$, то $u^2+uv+v^2=1$. Равенство $q(u)=q(v)$ даёт $$(u-v)(u+v)\bigl(2-3(u^2+v^2)\bigr)=0.$$

Шаг 3. При $u+v=0$ равенство наклонов нечётной $h$ требует $k=0$; тогда разные точки $u,v$ равны $1,-1$. Вторая возможность $u^2+v^2=\frac23$ вместе с первым условием даёт $uv=\frac13$, откуда $(u-v)^2=0$, противоречие.

Шаг 4. При $k=0$ точки касания $-1,0,1$. В точках $\pm1$ одна и та же прямая $y=-1$, в нуле $y=0$. Всего две касательные. При $0<|k|<K$ совпадения исключены и прямых ровно три. На граничных уровнях точек лишь две, поэтому три прямые невозможны.

Ответ. $k\in\left(-\frac8{3\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\frac8{3\sqrt3}\right)$ .