Урок 11. Производная и чтение графиков

01. Секущая и мгновенная скорость

Средняя скорость изменения на отрезке с разными концами - наклон секущей: $$k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Она сравнивает два значения, но не описывает каждую промежуточную точку. Для координаты $s(t)$ отношение измеряется в метрах в секунду. Его знак показывает направление перемещения, не «отрицательную длину пути».

Если зафиксировать $x_0$ и приблизить второй аргумент $x_0+h$ к нему, разностное отношение показывает всё более локальное изменение. У функции $x^2$ при $x_0=2$ секущая через $x_0+h$ имеет наклон $4+h$: при $h\to0$ он стремится к $4$ .

02. Определение производной и проверка предела

Производная во внутренней точке - конечный двусторонний предел $$f\prime(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$ Внутри отношения $h\ne0$, поэтому сокращение на $h$ допустимо. Нужно проверить приближение с обеих сторон. Наличие одной формулы при $h>0$ не доказывает существование общей производной.

Вывод. Для $f(x)=x^2$ отношение $(2x_0h+h^2)/h=2x_0+h$, поэтому $f\prime(x_0)=2x_0$. Для постоянной функции приращение нулевое, производная $0$. Дифференцируемость в точке влечёт непрерывность: приращение функции равно $h$ умножить на отношение, имеющее конечный предел, и стремится к нулю.

03. Касательная: смысл и уравнение

Если производная конечна, касательная имеет наклон $f\prime(x_0)$ и проходит через $(x_0;f(x_0))$. Из уравнения прямой через точку следует $$y=f(x_0)+f\prime(x_0)(x-x_0).$$ Пример. Для $x^2$ при $x_0=2$: $y=4+4(x-2)=4x-4$. Проверка подстановкой точки обязательна. Касательная не обязана пересекать график только один раз: к кубической функции она может иметь дополнительную общую точку. Производная сама по себе не задаёт высоту графика.

04. Таблица производных и области применения

Основные формулы применяются на области дифференцируемости:

Для натуральной степени раскрывают $(x+h)^n$: после деления на $h$ единственный постоянный член $nx^{n-1}$, остальные содержат $h$ и стремятся к нулю. Степенное правило для отрицательных и дробных показателей требует соблюдения их областей; нельзя автоматически переносить его на границу корня.

05. Сумма, произведение и частное

Для дифференцируемых $u,v$: $$(u+v)\prime=u\prime+v\prime,\quad(Cu)\prime=Cu\prime,$$ $$(uv)\prime=u\prime v+uv\prime,\quad\left(\frac uv\right)\prime=\frac{u\prime v-uv\prime}{v^2}\quad(v\ne0).$$ Правило произведения следует из добавления и вычитания $u(x+h)v(x)$ в приращении произведения. После деления на $h$ два слагаемых переходят к $u\prime v$ и $uv\prime$; непрерывность дифференцируемых функций обеспечивает нужные пределы.

Пример. $(x^2\ln x)\prime=2x\ln x+x$ ,$x>0$. Ошибка - перемножить две производные. Для $\frac{x^2+1}{x-1}$ получаем $\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$ ,$x\ne1$; квадрат знаменателя не позволяет включить исключённую точку.

06. Сложная функция: производная внутренней части

Если $g$ дифференцируема в $x$ и $f$ в $g(x)$, то $$(f(g(x)))\prime=f\prime(g(x))g\prime(x).$$ Малое изменение внутреннего аргумента тоже имеет свою скорость; поэтому множитель $g\prime(x)$ необходим. Точное обоснование получают из линейных приближений приращений каждой функции, где остаток делённый на приращение стремится к нулю.

Примеры. $(\ln(1+x^2))\prime=\frac{2x}{1+x^2}$ на всей прямой; $(\sqrt{3x+1})\prime=\frac3{2\sqrt{3x+1}}$ при $x>-\frac13$. Сама корневая функция допускает границу $-\frac13$, но конечная производная там не существует. Области функции и производной могут различаться.

07. Почему знак производной задаёт монотонность

Теорема Лагранжа: если $f$ непрерывна на $[u;v]$ и дифференцируема внутри, то при некотором $c\in(u;v)$ $$f(v)-f(u)=f\prime(c)(v-u).$$ При $f\prime>0$ на промежутке правая часть положительна для любых $u<v$: функция строго возрастает. При $f\prime<0$ строго убывает; при неотрицательной производной не убывает. Важны условия теоремы: нельзя перескочить через точку вне области или через скачок.

Нулевая производная в отдельной точке не отменяет строгого возрастания. Например, $x^3$ строго возрастает, хотя производная в нуле $0$. На соседних возрастающих промежутках значения соединяются непрерывно; для пересекающих ноль точек $u<0<v$ непосредственно $u^3<0<v^3$ .

08. График функции и график её производной

Для графика $f$ подъём и спуск означают возрастание и убывание. Для графика $f\prime$ нужно смотреть, выше или ниже оси он расположен: положительная ордината означает возрастание исходной функции.

Убывающий участок производной может всё ещё лежать выше оси: наклон функции уменьшается, но функция продолжает расти. Нули производной - возможные горизонтальные касательные, а не нули самой функции. Добавление константы к $f$ не меняет $f\prime$, поэтому по одному графику производной нельзя найти точные значения $f$ без дополнительного условия.

На рисунках предел окна не объявляется концом области. Если вопрос относится к всей прямой, заранее задаются все нули и поведение крайних ветвей. Для конечного интервала ответ ограничивают указанной областью.

09. Локальные экстремумы и теорема Ферма

Внутренняя точка $x_0$ - локальный максимум, если в некоторой её окрестности $f(x)\leq f(x_0)$, минимум - при обратном неравенстве. Это локальное сравнение; глобальное значение относится ко всей указанной области.

Если в точке локального экстремума существует производная, то она нулевая. Для максимума разностное отношение справа неположительно, слева неотрицательно; общий предел может быть только $0$. Для минимума рассуждение аналогично.

Обратное неверно: $x^3$ имеет горизонтальную касательную в нуле, но экстремума нет. При непрерывности в точке и определённой производной по обе стороны смена плюса на минус даёт максимум, минуса на плюс - минимум. Если знак не меняется, экстремума нет. Нужны знаки, а не только список нулей.

10. Изломы и критические точки

В рамках этого курса критическими называем внутренние точки области, где производная равна нулю или не существует. Их исследуют как кандидатов. Точка вне области, например $x=1$ у $\frac{x^2+1}{x-1}$, критической точкой функции не является.

У $|x|$ в нуле минимум, но отношение $|h|/h$ имеет односторонние пределы $-1$ и $1$. График имеет излом. У $\sqrt x$ на границе $0$ конечной правой производной нет; это граничная точка, не внутренняя критическая. При задачах на отрезке границы проверяют отдельно; подробно глобальные значения изучаются в следующем уроке.

11. Полный разбор кубической функции

Возьмём $f(x)=x^3-3x$. Область вся прямая, производная $3(x-1)(x+1)$. Внешние промежутки дают плюс, средний минус. Поэтому возрастание $(-\infty;-1]$ и $[1;+\infty)$, убывание $[-1;1]$; максимум $f(-1)=2$, минимум $f(1)=-2$ .

Включённые концы промежутков монотонности допустимы по непрерывности. При этом строгая положительность производной относится к открытым промежуткам. Не нужно объявлять эти два вида ответа противоречащими друг другу.

Горизонтальный уровень между $-2$ и $2$ имеет три пересечения; на экстремальных уровнях два различных, вне - одно. Кратный корень считается однажды. Строгая монотонность каждой ветви доказывает, что других пересечений нет.

12. Касательная заданного направления

Для параллельности прямой $y=kx+b$ решают $f\prime(x_0)=k$. Затем восстанавливают $f(x_0)$ и свободный член касательной. При угле $\alpha$ к положительному направлению оси $k=\tan\alpha$; вертикальная касательная не описывается конечным коэффициентом.

Пример. Для $x^2$ и $k=6$ получаем $x_0=3$, точку $(3;9)$ и $y=6x-9$. Для $k=0$ решают нули производной, но всё ещё проверяют тип точки. По двум отмеченным точкам на самой касательной коэффициент вычисляют как у секущей: эти точки не обязаны быть точкой касания.

13. Рациональная функция: разрыв разделяет знаки

Для $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac2{x-1}$ область $x\ne1$. Производная $\frac{(x-1)^2-2}{(x-1)^2}$ имеет нули $1\pm\sqrt2$. Производная положительна вне этих нулей, отрицательна между ними, но область разрезана в $1$ .

Поэтому интервалы убывания $[1-\sqrt2;1)$ и $(1;1+\sqrt2]$ рассматриваются отдельно. Объединение не является одним промежутком монотонности: значения по разные стороны разрыва нельзя сравнивать по одной теореме Лагранжа. В $1-\sqrt2$ максимум, в $1+\sqrt2$ минимум. График помогает увидеть разрыв, точные выводы получаются из формулы и знаков.

14. Производная как инструмент доказательства

Для оценки $\ln x\leq x-1$ ,$x>0$, рассмотрим разность $g(x)=x-1-\ln x$. Производная $(x-1)/x$ отрицательна до $1$ и положительна после; минимум $g(1)=0$. Следовательно, оценка верна, равенство только при $1$ .

Доказательная задача требует выбрать разность, установить её область, определить знак производной и проверить случай равенства. Численные значения на сетке не заменяют рассуждение для всех аргументов. Более точную двойную оценку в задании 34 получают двумя разностями, каждая начинается с нулевого значения при $1$ .

15. Непрерывная и дифференцируемая склейка

Для кусочной функции сначала сравнивают значение и пределы в точке соединения, а затем односторонние производные. Совпадение производных формул при разных высотах не устраняет скачок.

Пример. $x^2+ax$ при $x\leq1$ и $b\ln x+c$ при $x>1$. Непрерывность требует $c=1+a$; после неё равенство односторонних производных $b=2+a$ обеспечивает дифференцируемость. Дополнительное условие $f(e)=7$ даёт $a=2,b=4,c=3$ .

При найденных параметрах оба значения в точке соединения равны $3$, оба наклона $4$. Нельзя подставлять логарифм в ветвь там, где условием выбрана другая формула.

16. Параметр и строгая монотонность

Для $x^3-3ax^2+3bx$ производная $3((x-a)^2+b-a^2)$. Её минимум равен $3(b-a^2)$. Если он отрицательный, функция убывает на некотором интервале и не может строго возрастать всюду. Если положительный, всюду возрастает.

На границе $b=a^2$ производная в одной точке нулевая, но функция $(x-a)^3+a^3$ строго возрастает. Значит полный критерий $b\geq a^2$, а не только $b>a^2$. Для каждого граничного параметра нужно обоснование, а не перенос ответа из открытого случая.

17. Семейства уровней: существование и полнота

Для $x^3-3ax=b$ при $a\leq0$ функция строго возрастает на всей прямой и принимает все действительные значения: корень один для всякого $b$. При $a>0$ максимум $2a\sqrt a$ и минимум $-2a\sqrt a$, три монотонные ветви. Между уровнями три корня, на границе два, вне один.

Для $e^x=ax+b$ используют $h=e^x-ax$. При $a>0$ минимум в $\ln a$ со значением $a(1-\ln a)$; на обоих концах $h\to+\infty$. Поэтому число корней $0,1,2$ в зависимости от положения $b$ относительно минимума. Случаи $a=0$ и $a<0$ проверяют отдельно: меняется поведение на левом бесконечном конце.

Каждую ветвь исследуют на монотонность и образ. Это доказывает не только невозможность лишних корней, но и существование каждого посчитанного.

18. Разные точки касания и разные прямые

Уравнение $f\prime(u)=k$ считает абсциссы точек касания. Прямая имеет вид $y=kx+q(u)$, где $q(u)=f(u)-u f\prime(u)$. Если два значения $u$ дают одинаковые $k$ и $q$, это одна прямая.

У $f(x)=x^4-2x^2$ при $k=0$ точки касания $-1,0,1$. В точках $\pm1$ горизонталь $y=-1$ одна и та же, в нуле $y=0$: всего две разные касательные. Это важный контрольный случай. В задаче 40 совпадения проверяются алгебраически, и нулевой наклон исключается из ответа о трёх прямых.

Чтобы исследовать число решений $f\prime(u)=k$, допускается ещё раз продифференцировать уже полученную функцию $h(u)=f\prime(u)$. Это то же правило исследования, а не отдельное предположение о форме графика.

19. Проверка решения и работа с практикой

Сначала записывайте область функции. Затем вычисляйте производную с областью её существования, находите нули и точки недифференцируемости, отдельно отмечайте разрывы. Составьте таблицу знаков на каждом промежутке. По ней докажите монотонность и типы экстремумов; при необходимости подставьте координаты точек.

В касательных проверяйте точку и коэффициент. В параметрах перечисляйте вырожденные значения, касания, совпадающие корни и одинаковые прямые. Рисунок - средство проверки, но точные границы и полнота требуют доказательства.

Задания 1-16 знакомят со смыслом и правилами, 17-20 повторяют прежние темы, 21-30 связывают методы, 31-40 требуют развёрнутого исследования, доказательства или разбора параметров. Задание 16 взято из официальной демоверсии 2026; остальные - авторские учебные задачи, а не заявленные официальные задания №18.

20. Скачать PDF

Материалы для печати собраны из тех же условий, формул, рисунков и решений.