Урок 10. Функции и графики: 40 заданий с решениями

Чётный корень определён ровно при неотрицательном подкоренном выражении. Условие $x-2\geq0$ равносильно $x\geq2$. В точке $2$ корень равен нулю и существует; все большие аргументы допустимы. Ответ. $[2;+\infty)$.

Деление определено при $x+4\ne0$. Поэтому исключаем только $x=-4$; при любом другом аргументе знаменатель ненулевой. Ответ. $(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty)$.

Квадрат $(x-1)^2$ неотрицателен, поэтому $y\geq3$. Граница достигается при $x=1$. Для любого $y\geq3$ существует аргумент $x=1+\sqrt{y-3}$. Так доказана достижимость всех значений. Ответ. $[3;+\infty)$.

Разложение $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ даёт $x=2$ или $x=3$. Оба значения допустимы и обращают исходную функцию в ноль. Других корней нет, поскольку произведение двух ненулевых множителей ненулевое. Ответ. $2$; $3$.

Нули множителей $-1$ и $2$ делят прямую на три промежутка. Знаки произведения слева направо: плюс, минус, плюс. Строгое неравенство исключает оба нуля. Ответ. $(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$.

Выделим полный квадрат: $x^2-4x+1=(x-2)^2-3$. Квадрат неотрицателен и равен нулю только при $x=2$. Значит вершина $(2;-3)$ и никакого меньшего значения функция не принимает. Ответ. Абсцисса $2$; наименьшее значение $-3$.

Исходная точка $(u;u^2)$ переходит в $(u+3;u^2+2)$: при $x=u+3$ новый аргумент $x-3$ равен $u$. Такое обратимое соответствие переносит весь график и вершину. Ответ. Сдвиг на $3$ вправо и на $2$ вверх.

Модуль $|x|\geq0$, поэтому $-|x|\leq0$. Значение $0$ достигается при $x=0$, любое $y<0$ достигается при $x=-y$. Это доказывает весь образ и максимум. Ответ. $E(f)=(-\infty;0]$; наибольшее значение $0$.

Подставим −x.

$$f( - x) = ( - x)^{4} + 2( - x)^{2} = x^{4} + 2x^{2} = f(x)$$

Область определения симметрична относительно нуля.

Ответ. чётная

Шаг 1. При $x=-2<0$ используем первую ветвь: $f(-2)=-2+3=1$. При $x=0$ действует вторая: $f(0)=0$.

Шаг 2. Первая ветвь даёт $(-\infty;3)$: число $3$ ею не достигается. Вторая даёт $[0;+\infty)$. Объединение этих множеств - вся числовая прямая.

Ответ. $f(-2)=1$, $f(0)=0$, $E(f)=\mathbb R$. На графике $(0;3)$ исключена, $(0;0)$ включена.

На пересечении ординаты равны: $2x+1=x+4$, откуда $x=3$. Подстановка даёт общую ординату $7$. Линейное уравнение с ненулевым коэффициентом имеет единственное решение. Ответ. Абсцисса $3$.

Уравнение равносильно $(x-2)(x+2)=0$. Получаем два разных корня $-2$ и $2$, оба лежат в области определения. Графики параболы и горизонтали имеют соответствующие две общие точки. Ответ. $2$ решения.

Для положительного числа $3$ равенство модуля распадается на $x-2=3$ или $x-2=-3$. Отсюда $x=5$ или $x=-1$. В обоих случаях расстояние до $2$ равно $3$. Ответ. $-1$; $5$.

Основание $2$ положительно и не равно $1$. Требуется $x-1>0$, то есть $x>1$. Граница исключена: логарифм нуля не существует. Ответ. $(1;+\infty)$.

При любом действительном $x$ значение $2^x$ положительно, значит $y>1$. Для любого $y>1$ аргумент $x=\log_2(y-1)$ даёт нужное значение. Число $1$ не достигается. Ответ. $(1;+\infty)$.

Шаг 1. По отмеченной точке получаем $f(3)=1$, поэтому $k=3\cdot1=3$.

Шаг 2. Значение аргумента $30$ не равно нулю, значит входит в область определения. Тогда $f(30)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.

Ответ. $0{,}1$.

Поскольку $8=2^3$ и основание $2>1$, функция строго возрастает. Поэтому $2^x>2^3$ равносильно $x>3$. При $x=3$ получается равенство, точка исключена. Ответ. $(3;+\infty)$.

ОДЗ: $x\ne-2$. Критические точки $-2$ и $1$. Дробь положительна на внешних промежутках и отрицательна на $(-2;1)$. Нуль $1$ включаем, нуль знаменателя $-2$ исключаем. Ответ. $(-2;1]$.

Все корни имеют вид $x=\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Условие $0\leq\pi n\leq2\pi$ даёт $n=0,1,2$. Оба конца отрезка включены. Ответ. $3$ корня: $0$, $\pi$, $2\pi$.

Левая часть неотрицательна, поэтому нужно $x\geq1$; это условие также обеспечивает существование корня. На нём возведение в квадрат равносильно: $x+1=(x-1)^2$, откуда $x(x-3)=0$. Значение $0$ не удовлетворяет ограничению. При $x=3$ обе части равны $2$. Ответ. $x=3$.

Для $x_1<x_2$ разность $f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)<0$. Поэтому функция строго убывает на всей числовой прямой; ограничений на аргументы нет. Ответ. Убывает на $\mathbb R$.

Шаг 1. Пересечения с осью абсцисс находятся при $x=1$ и $x=3$. Вершина имеет координаты $(2;-1)$.

Шаг 2. Слева от вершины график идёт вниз, справа - вверх. Функция убывает на $(-\infty;2]$ и возрастает на $[2;+\infty)$.

Шаг 3. Наименьшая ордината равна $-1$, и все большие значения достигаются. Это согласуется с формулой $y=(x-2)^2-1$.

Ответ. Нули $1$, $3$; вершина $(2;-1)$; убывание $(-\infty;2]$, возрастание $[2;+\infty)$; $E(f)=[-1;+\infty)$.

Модуль равен нулю ровно при нулевом выражении под ним. Поэтому $|x^2-4|=0$ равносильно $x^2=4$. Получаем два различных допустимых корня $-2$ и $2$. Ответ. $2$ нуля.

Шаг 1. При $x\geq0$ равенство имеет вид $x=x+2$ и невозможно.

Шаг 2. При $x<0$ получаем $-x=x+2$, откуда $x=-1$. Ограничение ветви выполнено.

Проверка. $|-1|=-1+2=1$. Других ветвей нет.

Ответ. $x=-1$.

Шаг 1. Выделим квадрат: $x^2-4x+5=(x-2)^2+1$. Минимум равен $1$.

Шаг 2. Уравнение пересечения $(x-2)^2=k-1$ даёт два различных корня только при $k-1>0$. При $k=1$ корень один, при $k<1$ их нет.

Ответ. $k>1$.

Аргумент логарифма обязан быть положительным: $5-x^2>0$. Основание $2$ допустимо. Из $x^2<5$ получаем $-\sqrt5<x<\sqrt5$. На границах аргумент равен нулю, поэтому они исключены.

Ответ. $D(f)=(-\sqrt5;\sqrt5)$.

Функция строго возрастает и принимает каждое действительное значение ровно один раз. Из $y=2x-3$ выражаем $x=\frac{y+3}{2}$ и меняем обозначения.

Проверка композициями: $f\left(\frac{x+3}{2}\right)=x$ и $\frac{f(x)+3}{2}=x$ при любом $x$.

Ответ. $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$, $D(f^{-1})=E(f^{-1})=\mathbb R$.

Модуль неотрицателен, и ноль достигается при $x=\pm2$. Для любого $y\geq0$ берём $x=\sqrt{y+4}$: тогда $|x^2-4|=y$. Доказана достижимость всего луча. Ответ. $[0;+\infty)$.

Правая часть должна быть неотрицательной: $x\leq2$.

При $x<1$ равенство превращается в $1-x=2-x$, что невозможно. При $1\leq x\leq2$ имеем $x-1=2-x$, откуда $x=\frac32$.

Значение принадлежит ветви, обе части равны $\frac12$. Разбиение покрывает всю ОДЗ.

Ответ. Одно решение: $x=\frac32$.

Выделим квадрат: $-x^2+6x-5=4-(x-3)^2\leq4$. При $x=3$ квадрат равен нулю, поэтому верхняя граница достигается. Ответ. Наибольшее значение $4$.

Равенство ординат $x^2=2x+3$ равносильно $(x-3)(x+1)=0$. Следовательно, $x=-1$ или $x=3$. Подстановка даёт точки $(-1;1)$ и $(3;9)$. Эти два корня исчерпывают квадратное уравнение. Ответ. $-1$; $3$.

Шаг 1. В исходной формуле $x\ne1$. На этой области сокращение даёт $f(x)=x+1$.

Шаг 2. График - прямая с выколотой точкой $(1;2)$. Значение $2$ потребовало бы $x=1$ и потому не достигается. Других ограничений нет.

Шаг 3. Нуль соответствует $x+1=0$, то есть $x=-1$, допустимому значению. Функция взаимно однозначна между $\mathbb R\setminus\{1\}$ и $\mathbb R\setminus\{2\}$.

Ответ. $D(f)=\mathbb R\setminus\{1\}$, $E(f)=\mathbb R\setminus\{2\}$; нуль $-1$; $f^{-1}(x)=x-1$ при $x\ne2$.

Шаг 1. Выделим полный квадрат:

$$x^{2} - 4x + 3 = (x - 2)^{2} - 1.$$

Левая часть модуля принимает значения от $- 1$ до $+ \infty$.

Шаг 2. При $a < 0$ решений нет. При $a = 0$ получаем $(x - 2)^{2} = 1$, то есть два корня: $x = 1$ и $x = 3$.

Шаг 3. Пусть $0 < a < 1$. Уравнение распадается на две системы:

$$(x - 2)^{2} = 1 + a,\quad\quad(x - 2)^{2} = 1 - a.$$

Обе правые части положительны. Каждое равенство даёт по два корня, причём наборы не пересекаются. Всего четыре корня.

Шаг 4. При $a = 1$ первое равенство даёт два корня, а второе - единственный корень $x = 2$, итого три. При $a > 1$ второе равенство невозможно, а первое даёт два корня.

Проверка и полнота. Рассмотрены все взаимно исключающие случаи относительно критических значений $0$ и $1$.

Ответ. Число корней: $0$ при $a < 0$; $2$ при $a = 0$ и $a > 1$; $4$ при $0 < a < 1$; $3$ при $a = 1$. Ровно четыре корня при $a \in (0;1)$.

Шаг 1. Знаменатель $x^{2} + 1$ положителен при любом $x$, поэтому ограничений и посторонних корней не возникает. После умножения получаем

$$(1 - a)x^{2} + 2x + (5 - a) = 0.$$

Шаг 2. Отдельно проверим вырожденный случай $a = 1$. Тогда квадратный член исчезает и остаётся $2x + 4 = 0$. Получаем единственный корень $x = - 2$.

Шаг 3. При $a \neq 1$ уравнение квадратное. Ровно один действительный корень существует тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю:

$$D = 4 - 4(1 - a)(5 - a) = 4\left( - a^{2} + 6a - 4 \right) = 0.$$

Отсюда

$$a^{2} - 6a + 4 = 0,\quad\quad a = 3 \pm \sqrt{5}.$$

Проверка и полнота. Значения $3 \pm \sqrt{5}$ не равны $1$, поэтому действительно относятся к квадратному случаю. Случай $a = 1$ проверен отдельно.

Ответ. $a \in \{ 1;\, 3 - \sqrt{5};\, 3 + \sqrt{5}\}$.

Шаг 1. Положим $t=|x-2|\geq0$. Положительное $t$ даёт два значения $x=2\pm t$, а $t=0$ - одно.

Шаг 2. При $0\leq t\leq1$ получаем $1-t^2=at+1$, то есть $t(t+a)=0$. Корень $t=0$ есть всегда; дополнительный $t=-a$ допустим при $-1\leq a\leq0$.

Шаг 3. При $t\geq1$ имеем $t^2-at-2=0$. По Виету корни разных знаков. Положительный корень $$t_+=\frac{a+\sqrt{a^2+8}}2$$ удовлетворяет $t_+\geq1$ ровно при $a\geq-1$: значение многочлена в $1$ равно $-a-1$, а $1$ лежит между отрицательным и положительным корнями тогда и только тогда, когда это значение неположительно.

Шаг 4. При $a=-1$ две ветви дают один и тот же $t=1$. При $a=0$ корень $t=-a$ совпадает с нулём. При $-1<a<0$ два положительных значения $t$ различны: одно меньше $1$, другое больше.

Ответ. Один корень при $a<-1$; три при $a=-1$ и при $a\geq0$; пять при $-1<a<0$. Разбиение двух ветвей исчерпывает все $t\geq0$.

Шаг 1. Знаменатель положителен. Значение $y$ достигается тогда и только тогда, когда уравнение $$(y-1)x^2-2ax+y-3=0$$ имеет действительный корень.

Шаг 2. При $y\ne1$ требуется $D\geq0$: $$D=4a^2-4(y-1)(y-3),\qquad (y-2)^2\leq a^2+1.$$ Если $a\ne0$, при $y=1$ остаётся $-2ax-2=0$ с корнем $x=-\frac1a$. Поэтому весь полученный замкнутый промежуток достигается; его концы соответствуют двойному корню.

Шаг 3. При $a=0$ значение $y=1$ даёт противоречие $-2=0$. Непосредственно $f_0(x)=1+\frac2{x^2+1}$, откуда $E(f_0)=(1;3]$.

Шаг 4. Длина в обоих случаях равна $2\sqrt{a^2+1}$. Условие длины $4$ даёт $a^2=3$.

Ответ. При $a=0$: $(1;3]$; при $a\ne0$: $[2-\sqrt{a^2+1};2+\sqrt{a^2+1}]$. Длина $4$ при $a=\pm\sqrt3$.

Шаг 1. При $a\leq0$ равенство невозможно: слева положительное число, справа неположительное. Точка $x=1$ никогда не является корнем.

Шаг 2. При $a>0$ на ветви $x<1$ получаем $x^2+ax+1-a=0$. Дискриминант $D_1=a^2+4a-4$ неотрицателен при $a\geq\alpha=2(\sqrt2-1)$. Вершина $-\frac a2<1$, значение в $1$ равно $2>0$, поэтому оба корня, когда они существуют, меньше $1$.

Шаг 3. На ветви $x>1$ имеем $x^2-ax+a+1=0$; $D_2=a^2-4a-4\geq0$ при $a\geq\beta=2+2\sqrt2$. Вершина $\frac a2>1$, значение в $1$ равно $2>0$, значит оба корня больше $1$.

Шаг 4. При нулевом дискриминанте соответствующая ветвь даёт один корень, при положительном - два. Ветви не пересекаются.

Ответ. $0$ корней при $a<\alpha$; $1$ при $a=\alpha$; $2$ при $\alpha<a<\beta$; $3$ при $a=\beta$; $4$ при $a>\beta$.

Шаг 1. При $x>0$ имеем $x+\frac1x\geq2$, поскольку $\frac{(x-1)^2}{x}\geq0$. Равенство только при $x=1$; каждое значение $t>2$ имеет два положительных прообраза по уравнению $x^2-tx+1=0$.

Шаг 2. На $t\geq2$ внешняя функция строго возрастает. Действительно, при $2\leq u<v$: $$f(v)-f(u)=(v-u)\left(1-\frac1{uv}\right)>0.$$ Её значения составляют $[\frac52;+\infty)$. Поэтому при $a<\frac52$ решений нет, при равенстве есть только $x=1$, а при $a>\frac52$ единственное промежуточное $t>2$ даёт два значения $x$.

Шаг 3. При $a=\frac{10}3$ уравнение $t+\frac1t=\frac{10}3$ даёт $t=3$ или $t=\frac13$. Второй корень не входит в образ внутренней функции. Из $x^2-3x+1=0$ получаем два допустимых корня.

Ответ. $0$, $1$, $2$ решения соответственно при $a<\frac52$, $a=\frac52$, $a>\frac52$. При $a=\frac{10}3$: $x=\frac{3\pm\sqrt5}2$.

Шаг 1. Замена $t=x-2$ взаимно однозначна. При $|t|\leq1$ уравнение $1-t^2=at+1$ даёт $t=0$ и $t=-a$. Второй корень допустим при $|a|\leq1$, совпадает с первым при $a=0$.

Шаг 2. На $|t|\geq1$ получаем $t^2-at-2=0$. Корни разных знаков. Положительный корень принадлежит $[1;+\infty)$ ровно при $a\geq-1$, поскольку значение многочлена в $1$ равно $-1-a$. Отрицательный корень принадлежит $(-\infty;-1]$ ровно при $a\leq1$, поскольку значение в $-1$ равно $a-1$.

Шаг 3. При $a=\pm1$ внутренний корень совпадает с одним из внешних; считать его дважды нельзя. При $a=0$ внутренние корни совпадают между собой, внешние различны.

Ответ. Два корня при $|a|>1$; три при $a\in\{-1;0;1\}$; четыре при $0<|a|<1$. Все три части прямой исследованы, совпадения на границах учтены.

Шаг 1. $f(x)=(x-2)^2-1$, поэтому $$f(f(x))=((x-2)^2-3)^2-1.$$ Положим $u=(x-2)^2\geq0$. Тогда $(u-3)^2=a+1$.

Шаг 2. При $a<-1$ корней нет. При $a\geq-1$ получаем $u=3\pm\sqrt{a+1}$. Каждое положительное $u$ даёт два корня $x=2\pm\sqrt u$, нулевое - один, отрицательное - ни одного.

Шаг 3. При $a=-1$ оба значения $u$ совпадают и равны $3$. При $-1<a<8$ они различны и положительны. При $a=8$ значения $u$ равны $0$ и $6$. При $a>8$ допустимо только значение со знаком плюс.

Ответ. $0$ корней при $a<-1$; $2$ при $a=-1$; $4$ при $-1<a<8$; $3$ при $a=8$; $2$ при $a>8$. Замена и подсчёт прообразов обеспечивают полноту ответа.