Урок 10. Функции и графики

01. Функция и её график

Функция сопоставляет каждому допустимому аргументу ровно одно значение. Разные аргументы могут давать одинаковое значение: например, $f(-2)=f(2)=4$ для $f(x)=x^2$. График - множество всех точек $(x;f(x))$, а не только нарисованный в окне фрагмент.

Вертикальная прямая $x=c$ пересекает график не более одного раза. Окружность целиком не является графиком одной функции $y=f(x)$: для некоторых $x$ она даёт две ординаты. Верхняя полуокружность задаёт функцию $y=\sqrt{1-x^2}$ при $-1\leq x\leq1$.

Главное различие. Область определения описывает аргументы, область значений - получающиеся значения. Их нельзя менять местами.

02. Область определения и сокращение

Ограничения берут из исходной записи: знаменатель отличен от нуля; подкоренное выражение чётного корня неотрицательно; аргумент логарифма положителен; его основание положительно и не равно единице. Если конструкций несколько, условия пересекают.

Пример. Для $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ условия $x\geq2$ и $x\ne4$, поэтому $D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)$.

Для $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ сначала $x\ne1$, затем $g(x)=x+1$. Получаем прямую с выколотой точкой $(1;2)$. Сокращение сохраняет значения на прежней области, но не расширяет её. Это важно и для множества значений: $E(g)=\mathbb R\setminus\{2\}$.

03. Область значений и достижимость границ

Чтобы найти $E(f)$, нужно доказать две вещи: значения вне предполагаемого множества невозможны, каждое значение внутри достигается.

Пример. $f(x)=(x-1)^2+3\geq3$. Для любого $y\geq3$ можно взять $x=1+\sqrt{y-3}$. Значит, $E(f)=[3;+\infty)$.

У $g(x)=1+\frac2{x^2+1}$ дробь лежит в $(0;2]$, поэтому $E(g)=(1;3]$. Значение $3$ достигается при $x=0$, а $1$ - лишь предел при неограниченном росте $|x|$. Чтобы проверить все промежуточные значения, решаем $x^2=\frac2{y-1}-1\geq0$ для $1<y\leq3$. Скобка у предельной границы должна быть круглой.

04. Нули, знак, монотонность и экстремумы

Нули - аргументы с $f(x)=0$. Знак функции определяется положением относительно оси абсцисс. Возрастание на промежутке означает: из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)<f(x_2)$. Для убывания знак сравнения обратный.

Пример. $f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$. Нули $1$ и $3$; между ними функция отрицательна, вне - положительна. Функция убывает до вершины $x=2$ и возрастает после неё.

Абсцисса минимума равна $2$, значение минимума $-1$, вершина $(2;-1)$. Локальный экстремум сравнивает близкие точки, наибольшее или наименьшее значение - всю указанную область. Граница области тоже может давать наибольшее значение на отрезке.

05. Опорные графики

Для прямой $y=kx+b$ коэффициент $k$ задаёт наклон, $b$ - пересечение с осью ординат. Для $k\ne0$ область значений вся числовая прямая; при $k=0$ она состоит из одного числа $b$.

Парабола $y=x^2$ и угол $y=|x|$ имеют минимум $0$. Корень $y=\sqrt x$ определён при $x\geq0$. Гипербола $y=\frac1x$ имеет две ветви и исключает ноль из обеих областей.

Экспонента $y=b^x$ при $b>0$, $b\ne1$ имеет образ $(0;+\infty)$, проходит через $(0;1)$. Логарифм $y=\log_b x$ определён при $x>0$, его образ $\mathbb R$; он проходит через $(1;0)$. При $b>1$ обе функции возрастают, при $0<b<1$ убывают. Свойства нужны для построения без сотен случайных точек.

06. Сдвиг: доказательство через координаты

Пусть $(u;f(u))$ принадлежит исходному графику. Для $g(x)=f(x-a)+b$ положим $x=u+a$. Тогда $g(u+a)=f(u)+b$. Точка переходит в $(u+a;f(u)+b)$: сдвиг на $a$ вправо и $b$ вверх, если числа положительны.

Соответствие обратимо, поэтому ветви не теряются. При отрицательных $a$ или $b$ направления меняются.

Пример. График $y=(x-3)^2+2$ получается из $y=x^2$ сдвигом на $3$ вправо и $2$ вверх. Вершина $(3;2)$. Знак внутри скобок объясняется уравнением $x-a=u$, а не правилом для запоминания.

07. Растяжение и отражение

В $g(x)=cf(x)$ ордината каждой точки умножается на $c$, абсцисса сохраняется. При $c<0$ график отражается относительно оси абсцисс. При $c=0$ остаётся нулевая функция на исходной области определения.

В $g(x)=f(kx)$ при $k\ne0$ старая абсцисса $u$ переходит в $\frac uk$. При $|k|>1$ график сжимается по горизонтали, при $0<|k|<1$ растягивается, при $k<0$ дополнительно отражается относительно оси ординат.

Пример. $y=-2(x-1)^2+3$ имеет вершину $(1;3)$, ветви направлены вниз, $E(f)=(-\infty;3]$. Сначала удобно выделить вершину, затем преобразовывать опорную параболу.

08. Два разных модуля

Модуль снаружи сохраняет части графика выше оси абсцисс и отражает нижние части вверх: $$|f(x)|=\begin{cases}f(x),&f(x)\geq0,\\-f(x),&f(x)<0.\end{cases}$$ Для $y=|x^2-4|$ нули остаются $-2$ и $2$, средняя дуга отражается; образ $[0;+\infty)$.

Модуль аргумента устроен иначе: $g(x)=f(|x|)$ сохраняет правую часть исходного графика и отражает её относительно оси ординат. Левая исходная часть больше не используется. Например, $f(x)=x-1$ даёт $g(x)=|x|-1$, а $|f(x)|=|x-1|$ - угол с вершиной $(1;0)$. Эти графики разные.

09. Чётность и периодичность

Для чётности или нечётности сначала требуется симметричная область: вместе с $x$ должен допускаться $-x$. Затем проверяют $f(-x)=f(x)$ или $f(-x)=-f(x)$. У $x^4+2x^2$ функция чётная; у $x^3-x$ нечётная. Функция $x+1$ не относится ни к одному типу.

Положительное $T$ - период, если сдвиг на $T$ сохраняет область и значения: $f(x+T)=f(x)$. Для $\sin(2x)$ наименьший положительный период $\pi$, для $\sin x$ - $2\pi$. Повторяющийся фрагмент рисунка без доказательства не устанавливает периодичность.

Чётность позволяет строить половину графика, но не заменяет проверку конкретной формулы и её области.

10. Кусочные функции и границы

Сначала выбирают ветвь по аргументу, затем подставляют его в соответствующую формулу. В условии $x<0$ точка $0$ исключена, в $x\geq0$ включена.

Пример. $f(x)=x+3$ при $x<0$ и $f(x)=x^2$ при $x\geq0$. Здесь $f(-2)=1$, $f(0)=0$, а левое предельное значение равно $3$. График содержит выколотую точку $(0;3)$ и закрашенную $(0;0)$; непрерывности в нуле нет.

Если ветви должны соединиться непрерывно, сравнивают левый предел, правый предел и само значение. Для $f(x)=x+c$ при $x<1$ и $f(x)=x^2$ при $x\geq1$ непрерывность требует $1+c=1$, то есть $c=0$.

11. Пересечение графиков и неравенства

Решения $f(x)=g(x)$ - различные абсциссы общих точек. Уравнение нужно рассматривать на пересечении областей обеих функций. Неравенство $f(x)>g(x)$ означает, что первый график выше второго.

Пример. $x^2=2x+3$ равносильно $(x-3)(x+1)=0$: абсциссы $-1$ и $3$, точки $(-1;1)$ и $(3;9)$. Между ними парабола ниже прямой: $x^2<2x+3$ при $-1<x<3$.

Рисунок помогает выбрать промежутки. Точные границы и полноту ответа обеспечивает разложение многочлена и проверка знака. Масштаб рисунка не даёт права округлять корни.

12. Обратная функция и композиция

Обратная функция существует на образе, если каждое значение исходной функции получается ровно при одном аргументе. У $x^2$ на всей прямой такого свойства нет; на $[0;+\infty)$ обратная равна $\sqrt x$.

Из $y=2x-3$ получаем $x=\frac{y+3}2$, поэтому $f^{-1}(x)=\frac{x+3}2$. Перестановка координат отражает график относительно $y=x$.

В композиции $f(g(x))$ нужны два условия: $x\in D(g)$ и $g(x)\in D(f)$. Например, $\sqrt{x^2-1}$ определена при $|x|\geq1$. Для числа решений сначала находят допустимые промежуточные значения, затем считают их прообразы. Одно промежуточное значение может давать несколько $x$.

13. Параметр как горизонтальный уровень

Уравнение $f(x)=a$ пересекает неподвижный график горизонталью $y=a$. Число пересечений меняется при прохождении экстремумов, исключённых значений и границ ветвей.

Разобранный пример. $|x^2-4|=a$. При $a<0$ решений нет. При $a=0$ два корня $\pm2$. При $0<a<4$ равенства $x^2=4+a$ и $x^2=4-a$ дают четыре различных корня. При $a=4$ второе даёт один корень $0$, первое - два, всего три. При $a>4$ остаются два корня.

Важно отдельно проверять критические уровни: ответ на границе нельзя переносить из соседнего открытого промежутка. Сложные задачи 33-40 развивают этот способ, включая наклонную прямую и композиции.

14. Область значений рациональной функции

Иногда удобнее решать $y=f(x)$ относительно $x$. Значение $y$ входит в образ ровно тогда, когда уравнение имеет допустимый действительный корень.

Пример. $f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$. Получаем $(y-1)x^2+y-3=0$. При $y\ne1$ значение $x^2=\frac{3-y}{y-1}$ должно быть неотрицательным: $1<y\leq3$. При $y=1$ уравнение вырождается в $-2=0$ и корней нет.

Для $\frac{x^2+2ax+3}{x^2+1}$ используют дискриминант, но коэффициент $y-1$ может исчезнуть. Случай $y=1$ проверяют как линейное уравнение отдельно. Именно пропуск вырожденного случая часто даёт ошибочную замкнутую границу.

15. Полный разбор композиции без производной

Пусть $f(x)=x+\frac1x$ при $x>0$. Тогда $f(x)-2=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0$, образ $[2;+\infty)$. При $t>2$ уравнение $x^2-tx+1=0$ имеет два положительных корня: дискриминант положителен, сумма положительна, произведение $1$.

Внешняя функция на $[2;+\infty)$ строго возрастает: при $v>u\geq2$ разность $(v-u)(1-\frac1{uv})$ положительна. Следовательно, $f(f(x))\geq\frac52$.

Уравнение $f(f(x))=a$ имеет ноль решений ниже $\frac52$, одно на границе и два выше неё. Мы не использовали производную: её изучаем в следующем уроке. Главное - исследовать внешний график только на образе внутренней функции.

16. Наклонная прямая и совпадающие корни

Если параметр стоит при аргументе, горизонтального уровня недостаточно: прямая $y=at+b$ меняет наклон. Точные критические значения определяются не рисунком, а условиями попадания корня в ветвь и совпадениями на её границе.

Разобранный пример. Для $|t^2-1|=at+1$ при $|t|\leq1$ получаем $t(t+a)=0$. Корень $0$ есть всегда, корень $-a$ допустим при $|a|\leq1$ и совпадает с нулём при $a=0$.

На внешних ветвях $t^2-at-2=0$. Один корень положительный, второй отрицательный. Подстановка границ $1$ и $-1$ даёт $-a-1$ и $a-1$. Положительный корень достигает правой ветви при $a\geq-1$, отрицательный - левой при $a\leq1$. При $a=\pm1$ корень на границе посчитан в двух ветвях, но в окончательном ответе учитывается один раз.

Итого два корня при $|a|>1$, три при $a=-1,0,1$, четыре при $0<|a|<1$. Критические значения связаны с конкретными событиями: выходом из ветви и слиянием. Если заменить $t$ на $|x-2|$, каждый положительный корень даст два $x$, а нулевой - один. Именно такой подсчёт прообразов нужен в задании 35.

17. Вырожденное уравнение и единственный корень

Разобранный пример. При каких $a$ равенство $\frac{x^2+2x+5}{x^2+1}=a$ имеет один действительный корень? Знаменатель всегда положителен. Умножение на него равносильно и даёт $(1-a)x^2+2x+5-a=0$.

При $a=1$ квадратный коэффициент исчезает. Остаётся $2x+4=0$, значит ровно один корень $-2$. Этот случай нельзя исследовать критерием дискриминанта квадратного уравнения.

При $a\ne1$ уравнение действительно квадратное. Единственный корень возникает при $D=4-4(1-a)(5-a)=0$. Получаем $a=3\pm\sqrt5$. Оба значения отличны от $1$ и потому допустимы для этой ветви.

Полный ответ: $a\in\{1;3-\sqrt5;3+\sqrt5\}$. В задачах с параметром первым проверяют значения, при которых степень уравнения понижается; затем исследуют остальные случаи.

18. Типичные ошибки и порядок самостоятельной работы

Не восстанавливайте выколотые точки после сокращения. Не включайте недостижимый предел в область значений. Не путайте $|f(x)|$ и $f(|x|)$. Не считайте один корень дважды, если он принадлежит границе двух ветвей.

Проверка решения. Запишите область; назовите опорный график; объясните преобразования координат; найдите точные особые точки; докажите число пересечений на каждом промежутке; отдельно проверьте границы и совпадения.

Практика: 1-16 - свойства и графики; 17-20 - повторение; 21-32 - связка методов и исключённые точки; 33-40 - полный разбор параметров. Ответ к задаче на число корней должен содержать все диапазоны параметра и обоснование полноты.

19. Скачать PDF

Материалы для печати собраны из тех же условий, формул, рисунков и решений.